Форум - Решение задач по теории вероятности [294]

Форум	» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация \| Профиль \| Войти \| Забытый пароль \| Присутствующие \| Справка \| Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация

	Форум Математика Решение задач по теории вероятности
	Отметить все сообщения как прочитанные [ Помощь ] » Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>

Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise

Delonge

Новичок
Огромное спасибо!Прошлую задачу засчитали и все благодаря вам! но задали еще одну...

Среди преступлений 10 % составляют
убийства, 25% – кражи. Раскрывают 2 из каж-
дых 3 убийств, 3 из каждых 5 краж и каждое
второе преступление других видов. Определи-
те вероятность того, что нераскрытое пре-
ступление – кража.

Помогите...обратиться больше некуда..простите за доставленное беспокойство..

Всего сообщений: 4 | Присоединился: сентябрь 2009 | Отправлено: 27 сен. 2009 22:13 | IP

RKI

Долгожитель

Цитата: Delonge написал 27 сен. 2009 22:13

Среди преступлений 10 % составляют
убийства, 25% – кражи. Раскрывают 2 из каж-
дых 3 убийств, 3 из каждых 5 краж и каждое
второе преступление других видов. Определи-
те вероятность того, что нераскрытое пре-
ступление – кража.

H1 = {преступление - убийство}
H2 = {преступление - кража}
H3 = {преступление другого вида}

P(H1) = 0.1
P(H2) = 0.25
P(H3) = 1 - P(H1) - P(H2) = 1 - 0.1 - 0.25 = 0.65

A = {преступление не раскрыто}

не A = {преступление раскрыто}

не A|H1 = {преступление раскрыто при условии, что это убийство}
не A|H2 = {преступление раскрыто при условии, что это кража}
не A|H3 = {преступление раскрыто при условии, что это преступление другого вида}

P(не A|H1) = 2/3
P(не A|H2) = 3/5
P(не A|H3) = 1/2

P(A|H1) = 1 - P(не A|H1) = 1 - 2/3 = 1/3
P(A|H2) = 1 - P(не A|H2) = 1 - 3/5 = 2/5
P(A|H3) = 1 - P(не A|H3) = 1 - 1/2 = 1/2

По формуле полной вероятности
P(A) = P(H1)P(A|H1) + P(H2)P(A|H2) + P(H3)P(A|H3) =
= (0.1)*(1/3) + (0.25)*(2/5) + (0.65)*(1/2) =
= (0.1)/3 + 0.1 + 0.325 = (0.1 + 0.3 + 0.975)/3 =
= (1.375)/3

По формуле Байеса
P(H2|A) = P(H2)P(A|H2)/P(A) = (0.25)*(2/5)/(1.375)/3 =
= (0.1)/(1.375)/3 = (0.3)/(1.375) = 300/1375 = 12/55

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 28 сен. 2009 10:56 | IP

RKI

Долгожитель

Цитата: vikycik написал 27 сен. 2009 16:50
1.Плотность вероятности случайной величины Х задана формулой
g(x)= система: 0, при х<0
C(e^-x)2x,при х>=0
Найти: а) постоянную С; б) вероятность, что величина Х примет значение из интервала (0; 1).

g(x) = {0, x < 0
{2Cx(e^(-x)), x >= 0

а) $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} g(x)dx = 1$

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} g(x)dx = \int\limits_{-\infty}^{0} g(x)dx + \int\limits_{0}^{+\infty} g(x)dx =$

$= \int\limits_{-\infty}^{0} 0dx + \int\limits_{0}^{+\infty} 2Cx e^{-x} dx = 0 + 2C\int\limits_{0}^{+\infty} x e^{-x} dx =$

$= - 2C\int\limits_{0}^{+\infty} xd(e^{-x}) = - 2Cx e^{-x} |_{0}^{+\infty} + 2C\int\limits_{0}^{+\infty} e^{-x} dx =$

$= 0 - 2C e^{-x} |_{0}^{+\infty} = 0 - 0 + 2C = 2C = 1$

$C = \frac{1}{2}$

g(x) = {0, x < 0
{x(e^(-x)), x >= 0

б) $P(0 < X < 1) = \int\limits_{0}^{1} g(x)dx = \int\limits_{0}^{1} x e^{-x} dx =$

$= - \int\limits_{0}^{1} xd(e^{-x}) = - x e^{-x} |_{0}^{1} + \int\limits_{0}^{1} e^{-x} dx =$

$= - e^{-1} + 0 - e^{-x} |_{0}^{1} = - e^{-1} - e^{-1} + 1 = 1 - 2e^{-1} \sim 0.264241118...$

(Сообщение отредактировал RKI 28 сен. 2009 11:14)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 28 сен. 2009 11:06 | IP

Omni

Новичок

Помогите, пож-та, решить:
Было посажено 500 кустарников, вероятность прижиться каждому из которых равна 0,8. Оценить вероятность того, что приживутся от 100 до 440 кустарников (включительно). Вычислить вероятность того же события, используя следствие из интегральной теоремы Муавра-Лапласа. Пояснить различие результатов.
Во втором номере я начала так:

Случайная величина X имеет биномиальный закон распределения. Поэтому a=M(X)=500*0.8=400, D(X)=500*0.8*0.2=80.
По интегральной теореме Муавра-Лапласа.
P(100≤X≤440)=1/2 [Φ((440-400)/√80)-Φ((100-400)/√80) ]=1/2 [Φ(4.4721360)-Φ(-33.5410197) ]= ..а вот дальше не могу понять как делать, потому что получается странный результат...
И как найти вероятность другим путем и сравнить результаты?

Всего сообщений: 7 | Присоединился: сентябрь 2009 | Отправлено: 28 сен. 2009 11:20 | IP

RKI

Долгожитель

Цитата: vikycik написал 27 сен. 2009 16:50

2.Случайная величина Х имеет плотность вероятности
g(x)= cистема: 0,при |х|>=П/2
cos x/2,при |х|<П/2
Найти интегральную функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию.

g(x) = {0, x <= -П/2
{(1/2)cosx, -П/2 < x < П/2
{0, x >= П/2

1) интегральная функция распределения
$F(x) = \int\limits_{-\infty}^{x} g(t)dt$

Если $x \le -\frac{\pi}{2}$ , то
$F(x) = \int\limits_{-\infty}^{x} g(t)dt = \int\limits_{-\infty}^{x} 0dt = 0.$

Если $-\frac{\pi}{2} < x \le \frac{\pi}{2}$ , то
$F(x) = \int\limits_{-\infty}^{x} g(t)dt = \int\limits_{-\infty}^{-\frac{\pi}{2} } g(t)dt + \int\limits_{-\frac{\pi}{2} }^{x} g(t)dt =$

$= \int\limits_{-\infty}^{-\frac{\pi}{2} } 0dt + \int\limits_{-\frac{\pi}{2} }^{x} \frac{\cos{t} }{2}dt = 0 + \frac{\sin{t} }{2} |_{-\frac{\pi}{2} }^{x} =$

$= \frac{\sin{x} }{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} (\sin{x} + 1)$

Если $x > \frac{\pi}{2}$ , то
$F(x) = \int\limits_{-\infty}^{x} g(t)dt = \int\limits_{-\infty}^{-\frac{\pi}{2} } g(t)dt + \int\limits_{-\frac{\pi}{2} }^{\frac{\pi}{2} } g(t)dt + \int\limits_{\frac{\pi}{2} }^{x} g(t)dt =$

$= \int\limits_{-\infty}^{-\frac{\pi}{2} } 0dt + \int\limits_{-\frac{\pi}{2} }^{\frac{\pi}{2} } \frac{\cos{t} }{2}dt + \int\limits_{\frac{\pi}{2} }^{x} = 0 + \frac{\sin{t} }{2} |_{-\frac{\pi}{2} }^{\frac{\pi}{2} } + 0 = 1$

F(x) = {0, x <= - П/2
{(1/2)(sinx + 1), - П/2 < x <= П/2
{1, x > П/2

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 28 сен. 2009 11:28 | IP

RKI

Долгожитель

Цитата: vikycik написал 27 сен. 2009 16:50

2.Случайная величина Х имеет плотность вероятности
g(x)= cистема: 0,при |х|>=П/2
cos x/2,при |х|<П/2
Найти интегральную функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию.

g(x) = {0, x <= -П/2
{(1/2)cosx, -П/2 < x < П/2
{0, x >= П/2

2) математическое ожидание

$M(X) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} xg(x)dx = \int\limits_{-\infty}^{-\frac{\pi}{2} } xg(x)dx + \int\limits_{-\frac{\pi}{2} }^{\frac{\pi}{2} } xg(x)dx + \int\limits_{\frac{\pi}{2} }^{+\infty} xg(x)dx =$

$= \int\limits_{-\infty}^{-\frac{\pi}{2} } x0dx + \int\limits_{-\frac{\pi}{2} }^{\frac{\pi}{2} } \frac{1}{2}x\cos{x}dx + \int\limits_{\frac{\pi}{2} }^{+\infty} x0dx = 0 + \frac{1}{2} \int\limits_{-\frac{\pi}{2} }^{\frac{\pi}{2} } x\cos{x}dx + 0 =$

$= \frac{1}{2} \int\limits_{-\frac{\pi}{2} }^{\frac{\pi}{2} } x\cos{x}dx = \frac{1}{2} \int\limits_{-\frac{\pi}{2} }^{\frac{\pi}{2} } xd(\sin{x}) = \frac{1}{2}x\sin{x} |_{-\frac{\pi}{2} }^{\frac{\pi}{2} } - \frac{1}{2} \int\limits_{-\frac{\pi}{2} }^{\frac{\pi}{2} } \sin{x}dx =$

$= 0 + \frac{1}{2}\cos{x} |_{-\frac{\pi}{2} }^{\frac{\pi}{2} } = 0$

$M(X) = 0$

(Сообщение отредактировал RKI 28 сен. 2009 11:39)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 28 сен. 2009 11:37 | IP

RKI

Долгожитель

Цитата: vikycik написал 27 сен. 2009 16:50

2.Случайная величина Х имеет плотность вероятности
g(x)= cистема: 0,при |х|>=П/2
cos x/2,при |х|<П/2
Найти интегральную функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию.

3) дисперсия

g(x) = {0, x <= -П/2
{(1/2)cosx, -П/2 < x < П/2
{0, x >= П/2

$M(X^2) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x^{2} g(x)dx =$

$= \int\limits_{-\infty}^{-\frac{\pi}{2} } x^{2} g(x)dx + \int\limits_{-\frac{\pi}{2} }^{\frac{\pi}{2} } x^{2} g(x)dx + \int\limits_{\frac{\pi}{2} }^{+\infty} x^{2} g(x)dx =$

$= \int\limits_{-\infty}^{-\frac{\pi}{2} } x^{2} 0dx + \int\limits_{-\frac{\pi}{2} }^{\frac{\pi}{2} } \frac{1}{2}x^{2} \cos{x}dx + \int\limits_{\frac{\pi}{2} }^{+\infty} x^{2} 0dx =$

$= 0 + \frac{1}{2} \int\limits_{-\frac{\pi}{2} }^{\frac{\pi}{2} } x^{2} \cos{x}dx + 0 =$

$= \frac{1}{2} \int\limits_{-\frac{\pi}{2} }^{\frac{\pi}{2} } x^{2} \cos{x}dx = \frac{1}{2} \int\limits_{-\frac{\pi}{2} }^{\frac{\pi}{2} } x^{2} d(\sin{x}) = \frac{1}{2}x^{2}\sin{x} |_{-\frac{\pi}{2} }^{\frac{\pi}{2} } - \frac{1}{2} \int\limits_{-\frac{\pi}{2} }^{\frac{\pi}{2} } \sin{x}d(x^{2}) =$

$= \frac{\pi^{2} }{4} - \int\limits_{-\frac{\pi}{2} }^{\frac{\pi}{2} } x\sin{x}dx = \frac{\pi^{2} }{4} + \int\limits_{-\frac{\pi}{2} }^{\frac{\pi}{2} } xd(\cos{x}) =$

$= \frac{\pi^{2} }{4} + x\cos{x} |_{-\frac{\pi}{2} }^{\frac{\pi}{2} } - \int\limits_{-\frac{\pi}{2} }^{\frac{\pi}{2} } \cos{x}dx = \frac{\pi^{2} }{4} + 0 - 0 + \sin{x} |_{-\frac{\pi}{2} }^{\frac{\pi}{2} } =$

$= \frac{\pi^{2} }{4} + 2$

$M(X^2) = \frac{\pi^{2} }{4} + 2$

$D(X) = M(X^2) - M^{2}(X) = \frac{\pi^{2} }{4} + 2 - 0 = \frac{\pi^{2} }{4} + 2$

(Сообщение отредактировал RKI 28 сен. 2009 11:50)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 28 сен. 2009 11:48 | IP

RKI

Долгожитель

Цитата: vikycik написал 27 сен. 2009 16:50

3.Найти плотность вероятности случайной величины Х, которая имеет функцию распределения:
F(x)=система: 0, при х<=0
1/П (х-1/2 sin 2x), при 0<x<П
1, при х>=П

F(x) = {0, x <= 0
{(1/П)(x - (1/2)sin2x), 0 < x < П
{1, x >= П

g(x) = F'(x)

g(x) = {0, x <= 0
{(1/П)(1 - cos2x), 0 < x < П
{0, x >= П

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 28 сен. 2009 11:53 | IP

RKI

Долгожитель

Цитата: Omni написал 28 сен. 2009 11:20

Было посажено 500 кустарников, вероятность прижиться каждому из которых равна 0,8. Оценить вероятность того, что приживутся от 100 до 440 кустарников (включительно). Вычислить вероятность того же события, используя следствие из интегральной теоремы Муавра-Лапласа. Пояснить различие результатов.

Пусть случайная величина X - число прижившихся кустарников из заданных 500.

n = 500 - общее количество кустарников

p = 0.8 - вероятность прижиться для одного отдельно взятого кустарника

q = 1 - p = 1 - 0.8 = 0.2

Случайная величина X имеет распределение Бернулии. Следовательно,
M(X) = np = 500*(0.8) = 400
D(X) = npq = 500*(0.8)*(0.2) = 80

P(100 <= X <= 440) > P(360 <= X <= 440) = [взяли в рассмотрение меньший диапазон кустаников (не от 100 до 440, а от 360 до 440), поэтому исходная вероятность умеьшилась] =

= P(360 - M(X) <= X - M(X) <= 440 - M(X)) =

= P(360 - 400 <= X - M(X) <= 440 - 400) =

= P(-40 <= X - M(X) <= 40) = P(|X - M(X)| <= 40) >

> [по неравенству Чебышева] > 1 - D(X)/1600 = 1 - 80/1600 =

= 1 - 0.05 = 0.95

Таким образом, используя неравенство Чебышева, была получена оценка

P(100 <= X <= 440) > 0,95

По интегральной формуле Муавра - Лапласа

P(100 <= X <= 440) ~

~ Ф((440-400)/sqrt(80)) - Ф((100-400)/sqrt(80)) ~

~ Ф(4.47) - Ф(- 33.54) ~ Ф(4.47) + Ф(33.54) ~

~ 0.499997 + 0.5 ~ 0.99997

Интегральная формула Муавра-Лапласа дает более точный результат

(Сообщение отредактировал RKI 28 сен. 2009 12:26)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 28 сен. 2009 12:09 | IP

Omni

Новичок
Спасибо, RKI !
Понятно, по неравенству Чебышева > 0,95. а по Муавру-Лапласу. я правильно стала вычислять :
P(100≤X≤440)=1/2 [Φ((440-400)/√80)-Φ((100-400)/√80) ]=1/2 [Φ(4.4721360)-Φ(-33.5410197) ] ? я только не пойму как мне вычислить окончательный результат? какие-то странные числа получились...
объясните, пожалуйста, ....

Всего сообщений: 7 | Присоединился: сентябрь 2009 | Отправлено: 28 сен. 2009 12:23 | IP