RKI 
Долгожитель
|
   
Цитата: vikycik написал 23 сен. 2009 22:25
2.Задан ряд распределения:
Х 2 3 5 6 7 10
р 0,40 0,20 0,20 0,05 0,10 0,05
Найдите М(Х), среднее квадратическое отклонение(Х) и М(2Х^2 + 3).
X 2 3 5 6 7 10
P 0.4 0.2 0.2 0.05 0.1 0.05
M(X) = 2*(0.4) + 3*(0.2) + 5*(0.2) + 6*(0.05) + 7*(0.1) + 10*(0.05) =
= 0.8 + 0.6 + 1 + 0.3 + 0.7 + 0.5 = 3.9
M(X^2) = 4*(0.4) + 9*(0.2) + 25*(0.2) + 36*(0.05) + 49*(0.1) + 100*(0.05) =
= 1.6 + 1.8 + 5 + 1.8 + 4.9 + 5 = 20.1
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 20.1 - 15.21 = 4.89
б(X) = sqrt(D(X)) = sqrt(4.89) ~ 2.211334439...
M(2(X^2) + 3) = M(2(X^2)) + M(3) = 2M(X^2) + 3 =
= 2*(20.1) + 3 = 43.2
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 24 сен. 2009 11:21 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: vikycik написал 23 сен. 2009 22:25
3.Даны законы распределения независимых случайных величин:
Х -4 0 4
р 0,1 0,5 0,4
Y 2 4
р 0,5 0,5
Найдите М(Z) и D(Z), если Z = (X + Y)/2.
X -4 0 4
P 0.1 0.5 0.4
M(X) = (-4)*(0.1) + 0*(0.5) + 4*(0.4) = - 0.4 + 0 + 1.6 = 1.2
M(X^2) = 16*(0.1) + 0*(0.5) + 16*(0.4) = 1.6 + 0 + 6.4 = 8
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 8 - 1.44 = 6.56
Y 2 4
P 0.5 0.5
M(Y) = 2*(0.5) + 4*(0.5) = 1 + 2 = 3
M(Y^2) = 4*(0.5) + 16*(0.5) = 2 + 8 = 10
D(Y) = M(Y^2) - (M(Y))^2 = 10 - 9 = 1
Z = (X + Y)/2
M(Z) = M((X+Y)/2) = (1/2)M(X+Y) = (1/2)(M(X) + M(Y)) =
= (1/2)*(1.2 + 3) = 2.1
D(Z) = D((X+Y)/2) = (1/4)D(X+Y) =
= [случайные величины X и Y независимы] =
= (1/4)(D(X) + D(Y)) = (1/4)*(6.56 + 1) = 1.89
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 24 сен. 2009 11:29 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: vikycik написал 23 сен. 2009 22:25
4.Два товароведа проверяют партию изделий. Производительность их труда соотносится 5 : 4. Вероятность определения брака первым товароведом составляет 85%, вторым – 90%. Из проверенных изделий отбирают четыре. Найдите: а) математическое ожидание и б) дисперсию числа годных изделий среди отобранных.
H1 = {проверка проводится первым товароведом}
H2 = {проверка проводится вторым товароведом}
P(H1) = 5/9
P(H2) = 4/9
A = {изделие бракованное}
A|H1 = {изделие бракованное при условии, что проверка проводится первым товароведом}
P(A|H1) = 0.85
A|H2 = {изделие бракованное при условии, что проверка проводится вторым товароведом}
P(A|H2) = 0.9
По формуле полной вероятности
P(A) = P(H1)P(A|H1) + P(H2)P(A|H2) =
= (5/9)*(0.85) + (4/9)*(0.9) = (4.25)/9 + (3.6)/9 = (7.85)/9 =
= 785/900 = 157/180
Случайная величина X - число годных изделий из 4 отобранных. Данная случайная может принимать следующие значения: 0, 1, 2, 3 и 4.
Событие {X=n} означает, что n годных изделий и (4-n) бракованных изделий.
Случайная величина X имеет распределение Бернулли.
P(X=n) = C(n;4)*(p^n)*(q^(4-n)), n = 0, 1, 2, 3, 4.
n = 4
q = P(A) = 157/180 - вероятность того,что изделие бракованное
p = 1 - q = 1 - 157/180 = 23/180 - вероятность того, что изделие годное
M(X) = np = 4*(23/180) = 23/45
D(X) = npq = 4*(23/180)*(157/180) = 3611/8100
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 24 сен. 2009 11:45 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: vikycik написал 23 сен. 2009 22:25
5.В магазин поступили электролампы с трех заводов в пропорции 2 : 3 : 5. Доля брака в продукции первого завода – 5%, второго – 2%, третьего – 3%. Покупатель приобрел 3 лампочки. Найдите: а) математическое ожидание и б) среднее квадратичное отклонение числа качественных лампочек среди купленных.
H1 = {лампа с первого завода}
H2 = {лампа со второго завода}
H3 = {лампа с третьего завода}
P(H1) = 2/10 = 0.2
P(H2) = 3/10 = 0.3
P(H3) = 5/10 = 0.5
A = {качественная лампа}
A|H1 = {лампа качественная при условии, что она с первого завода}
P(A|H1) = 1 - 0.05 = 0.95
A|H2 = {лампа качественная при условии, что она со второго завода}
P(A|H2) = 1 - 0.02 = 0.98
A|H3 = {лампа качественная при условии, что она с третьего завода}
P(A|H3) = 1 - 0.03 = 0.97
По формуле полной вероятности
P(A) = P(H1)P(A|H1) + P(H2)P(A|H2) + P(H3)P(A|H3) =
= (0.2)*(0.95) + (0.3)*(0.98) + (0.5)*(0.97) =
= 0.19 + 0.294 + 0.485 = 0.969
Случайная величина X - число годных лампочек среди 3 купленных. Данная случайная величина может принимать значения: 0, 1, 2 или 3.
Событие {X=n} означает n годных лампочек и (3-n) бракованных лампочек.
Случайная величина X Имеет распределение Бернулли.
P(X=n) = C(n;3)*(p^n)*(q^(3-n)), n = 0,1,2,3.
p = P(A) = 0.969 - вероятность того, что лампочка качественная
q = 1-p = 1 - 0.969 = 0.031 - вероятность того, что лампочка бракованная
M(X) = np = 3*(0.969) = 2.907
D(X) = npq = 3*(0.969)*(0.031) = 0.090117
б(X) = sqrt(D(X)) = sqrt(0.090117) ~ 0.300194937...
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 24 сен. 2009 12:07 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: vikycik написал 23 сен. 2009 22:25
6.Стороны прямоугольного участка Х и Y в результате погрешностей измерения оказываются случайными величинами с такими распределениями:
Х 19,5 19,7 20,0 20,2
р 0,20 0,05 0,70 0,05
Y 29,5 29,8 30,0 30,1
р 0,15 0,15 0,65 0,005
Найдите математическое ожидание площади участка, если известно, что измерения проводились независимыми способами.
X 19.5 19.7 20.0 20.2
P 0.2 0.05 0.7 0.05
M(X) = (19.5)*(0.2) + (19.7)*(0.05) + (20.0)*(0.7) + (20.2)*(0.05) =
= 3.9 + 0.985 + 14 + 1.01 = 19.895
Y 29.5 29.8 30.0 30.1
P 0.15 0.15 0.65 0.05
M(Y) = (29.5)*(0.15) + (29.8)*(0.15) + (30.0)*(0.65) + (30.1)*(0.05) =
= 4.425 + 4.47 + 19.5 + 1.505 = 29.9
S = XY
M(S) = M(XY) = [случайные величины X и Y независимы] =
= M(X)M(Y) = (19.895)*(29.9) = 594.8605
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 24 сен. 2009 12:16 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: vikycik написал 23 сен. 2009 22:25
7. Математическое ожидание числа отказов радиоаппаратуры за 1000 часов работы равно 5. Определите вероятность отказа радиоаппаратуры за 20 часов работы.
X - число отказов за 1 час
1000X - число отказов за 1000 часов
M(1000X) = 5
1000M(X) = 5
M(X) = 0.005
20X - число отказов за 20 часов
M(20X) = 20M(X) = 20*(0.005) = 0.1
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 24 сен. 2009 12:20 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Yulusik написал 23 сен. 2009 18:23
5.Среди 10 лотерейных билетов 6 выигрышных. Наудачу взяли 4 билета. Определить вероятность того, что среди них хотя бы 2 выигрышных.
A = {хотя бы 2 выигрышных}
не A = {нет выигрышных билетов ИЛИ 1 выигрышный билет}
не A = A1 + A2
A1 = {нет выигрышных билетов}
A2 = {1 выигрышный билет}
Посчитаем число n всевозможных исходов. Способов выбрать 4 билета из 10 имеющихся
n = C(4;10) = 10!/4!6! = (7*8*9*10)/(1*2*3*4) = 210
Посчитаем число m исходов, благоприятных событию A1. Всего невыигрышных билетов 10 - 6 = 4. Способов выбрать 4 билета из 4 имеющихся невыигрышных билетов
m = C(4;4) = 4!/4!0! = 1
По классическому определению вероятности
P(A1) = m/n = 1/210
Посчитаем число k событий, благоприятных событию A2. Способов выбрать 1 выигрышный билет из 6 имеющихся
k1 = C(1;6) = 6!/1!5! = 6.
Способов выбрать 3 невыигрышных билета из 4 имеющихся
k2 = C(3;4) = 4!/3!1! = 4.
По правилу умножения k = k1*k2 = 6*4 = 24.
По классическому определению вероятности
P(A2) = k/n = 24/210
P(не A) = P(A1 + A2) = [события A1 и A2 несовместны] =
= P(A1) + P(A2) = 1/210 + 24/210 = 25/210 = 5/42
P(A) = 1 - P(не A) = 1 - 5/42 = 37/42
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 24 сен. 2009 12:35 | IP
|
|
Yulesha
Новичок
|
Помогите плиз.. Дан график плотности распределения f(x) случайной величины Х. Как изменится график, если:
1. прибавить у случайной величине 1;
2. вычесть из случайной величины 2;
3. умножить случайную величину на 2;
4. изменить знак величины на обратный?
|
Всего сообщений: 3 | Присоединился: сентябрь 2009 | Отправлено: 24 сен. 2009 13:46 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Yulesha написал 24 сен. 2009 13:46
Помогите плиз.. Дан график плотности распределения f(x) случайной величины Х. Как изменится график, если:
1. прибавить у случайной величине 1;
2. вычесть из случайной величины 2;
3. умножить случайную величину на 2;
4. изменить знак величины на обратный?
Пусть случайная величина X имеет функцию распределения F(x) и плотность распределения f(x).
1. Y = X+1
Обозначим через G(x) функцию распределения случайной величины Y, а через g(x) - плотность распределения случайной величины Y.
G(x) = P(Y < x) = P(X+1 < x) = P(X < x-1) =
= int_{-бесконечность}^{x-1} f(x)dx
g(x) = G'(x) = f(x-1)
Таким образом, если к случайной величине прибавить 1, то график функции f(x) необходимо сдвинуть относительно оси абсцисс вправо на 1 единицу.
2. Z = X-2
Обозначим через H(x) функцию распределения случайной величины Z, а через h(x) - плотность распределения случайной величины Z.
H(x) = P(Z < x) = P(X-2 < x) = P(X < x+2) =
= int_{-бесконечность}^{x+2} f(x)dx
h(x) = H'(x) = f(x+2)
Таким образом, если из случайной величины вычесть 2, то график функции f(x) необходимо сдвинуть относительно оси абсцисс влево на 2 единицы.
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 24 сен. 2009 14:07 | IP
|
|
Yulika
Новичок
|
Спасибо!!!
А с этими задачами никто не может помочь, пожалуйста!
1. Доказать тождество:
отрицание всего выражения [(A-B)+(A-C)]=отрицание только (A)+BC.
2.Мышь может выбрать наугад один из 5 лабиринтов. Известно, что вероятности её выхода из различных лабиринтов за три минуты равны 0,5; 0,6; 0,2; 0,1; 0,1. Пусть оказалось, что мышь выбралась из лаби-ринта через три минуты. Какова вероятность того, что она выбрала первый лабиринт? Второй лаби-ринт?
3.Монета бросается до тех пор, пока орел не выпадет 3 раза. Определить вероятность того, что при этом решка выпадет 2 раза.
4.Урна содержит 12 занумерованных шаров с номерами от 1 до 12. Шары извлекаются по одному без возвращения. Рассматриваются следующие события: А - номера шаров в порядке поступления образу-ют последовательность 1,2,...,12; В - хотя бы один раз совпадает номер шара и порядковый номер из-влечения; С - нет ни одного совпадения номера шара и порядкового номера извлечения. Определить ве-роятности событий А, В, С. Найти предельные значения вероятностей при числе шаров в урне стремя-щемся к бесконечности.
|
Всего сообщений: 24 | Присоединился: сентябрь 2009 | Отправлено: 24 сен. 2009 14:11 | IP
|
|
|
Форум
Решение задач по теории вероятности
