RKI 
Долгожитель
|
   
Цитата: Yulika написал 23 сен. 2009 5:16
5.В лифт 6-этажного дома сели 4 пассажира. Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что: а) все вышли на разных этажах; б) по крайней мере, трое сошли на одном этаже.
Посчитаем число n всевозможных исходов. Первый пассажир может выйти на любом из пяти этажей (второй, третий, четвертый, пятый или шестой), то есть первый пассажир имеет n1 = 5 альтернатив. Аналогично для второго, третьего и четвертого пассажиров, то есть n2 = n3 = n4 = 5. По правилу умножения
n = n1*n2*n3*n4 = 5*5*5*5 = 625
а) A = {все 4 пассажира вышли на разных этажах}
Посчитаем число m исходов, благоприятных событию A. Первый пассажир может выйти на любом из пяти этажей (со второго по шестой), то есть он имеет m1 = 5 альтернатив. Второй пассажир не может выйти на том же самом этаже, на котором вышел первый пассажир, Следовательно, второй пассажир имеет только m2 = 4 альтернативы. Третий пассажир не может выйти на тех двух этажах, на которых вышли первый и второй пассажиры. Следовательно, третий пассажир имеет m3 = 3 варианта. Аналогично рассуждая, получаем, что четвертый пассажир может выйти только на m4 = 2 этажах. По правилу умножения
m = m1*m2*m3*m4 = 5*4*3*2 = 120
По классическому определению вероятности
P(A) = m/n = 120/625 = 0.192
б) B = {по крайней мере, трое сошли на одном этаже}
B = B1 + B2
B1 = {трое пассажиров сошли на одном этаже}
B2 = {все четверо пассажиров сошли на одном этаже}
Посчитаем число k исходов, благоприятных событию B1. выберем три пассажира, которые сойдут на одном этаже. Способов выбрать три пассажира из четырех имеющихся:
k1 = C(3;4) = 4!/3!1! = 4. Данная группа пассажиров может выбрать любой из k2 = 5 этажей и выйти на нем. Оставшийся четвертый пассажир может выйти на любом из оставшихся k3 = 4 этажей. По правилу умножения
k = k1*k2*k3 = 4*5*4 = 80
По классическому определению вероятности
P(B1) = k/n = 80/625 = 0.128
Посчитаем число l исходов, благоприятных событию B2. Первый пассажир может выбрать любой из 5 этажей, то есть он имеет l1 = 5 альтернатив. Второй, третий и четвертый пассажиры выйдут на том же самом этаже. Следовательно, они могут выбрать только один (тот же самый) этаж, то есьб l2 = l3 = l4 = 1. По правилу умножения
l = l1*l2*l3*l4 = 5*1*1*1 = 5.
По классическому определению вероятности
P(B2) = l/n = 5/625 = 0.008
P(B) = P(B1 + B2) = [события B1 и B2 несовместны] =
= P(B1) + P(B2) = 0.128 + 0.008 = 0.136
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 23 сен. 2009 10:46 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Yulika написал 23 сен. 2009 5:16
9.Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Произведено 3 выстрела. Какова вероят-ность, что будет: а) три попадания; б) один промах; в) хотя бы одно попадание?
n = 3 - количество выстрелов
p = 0.7 - вероятность попадания при одном выстреле
q = 1 - p = 1 - 0.7 = 0.3
m - количество попаданий при трех выстрелах
а) A = {три попадания}
P(A) = P(m=3) = [по формуле Бернулли] = (0.7)^3 = 0.343
б) B = {один промах} = {один промах и два попадания}
P(B) = P(m=2) = [по формуле Бернулли] =
= C(2;3)*((0.7)^2)*(0.3) = 3*(0.49)*(0.3) = 0.441
в) C = {хотя бы одно попадание}
P(C) = P(m >= 1) = 1 - P(m=0) = [по формуле Бернулли] =
= 1 - (0.3)^3 = 1 - 0.027 = 0.973
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 23 сен. 2009 10:51 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Yulika написал 23 сен. 2009 5:16
11.Бросаются три монеты. Определить зависимы или нет события А={выпал орел на первой монете} и В={выпала хотя бы одна решка}.
A = {на первой монете выпал орел}
B = {выпала хотя бы одна решка}
События A и B являются независимыми, если P(AB) = P(A)P(B). Посчитаем вероятности P(A), P(B), P(AB).
A = {на первой монете выпал орел}.
Пространство элеменатрных исходов имеет вид {орел; решка}. Следовательно, число всевозможных исходов равно n = 2.
Пространство благоприятных исходов имеет вид {орел}. Следовательно, число благоприятных исходов равно m = 1.
По классическому определению вероятности
P(A) = m/n = 1/2.
B = {выпала хотя бы одна решка}
не B = {не выпало ни одной решки}
Посчитаем число k всевозможных исходов. На каждой из трех монет может выпасть либо орел, либо решка. Таким образом, каждая из трех монет имеет две альтернативы: k1 = k2 = k3 = 2. По правилу умножения k = k1*k2*k3 = 2*2*2 = 8.
Посчтаем число l исходов, благоприятных событию не B. На каждой из трех монет выпал только орел. Соледовательно, каждая из трех монет имеет только один вариант: l1 = l2 = l3 = 1. По правилу умножения l = l1*l2*l3 = 1*1*1 = 1.
По классическому определению вероятности
P(не B) = l/k = 1/8
P(B) = 1 - P(не B) = 1 - 1/8 = 7/8
AB = {на первой монете выпал орел и выпала хотя бы одна решка}
Посчитаем число r всевозможных исходов. На каждой из трех монет может выпасть либо орел, либо решка. Таким образом, каждая из трех монет имеет две альтернативы: r1 = r2 = r3 = 2. По правилу умножения r = r1*r2*r3 = 2*2*2 = 8.
Пространство благоприятных исходов имеет вид:
{(орел, орел, решка); (орел, решка, орел); (орел, решка, решка)}. Число благоприятных исходов равно s = 3.
По классическому определению вероятности
P(AB) = s/r = 3/8
P(A)P(B) = (1/2)*(7/8) = 7/16
P(AB) = 3/8
P(A)P(B) и P(AB) Не равны между собой. Следовательно, события A и B являются зависимыми.
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 23 сен. 2009 11:03 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Yulika написал 23 сен. 2009 5:16
8.В сфере радиуса 2 случайно и независимо друг от друга разбросано 10 точек. Найти вероятность того, что расстояние от центра до ближайшей точки не меньше 1.
Данную задачу можно переформулировать следующим образом. В сфере радиуса 2 случайно и независимо друг от друга разбросано 10 точек. Найти вероятность того, что все 10 точек лежат в кольце с меньшим радиусом 1 и большим радиусом 2.
Для начала посчитаем вероятность следующего события:
A = {точка, брошенная в круг радиуса 2, лежит в кольце с меньшим радиусом 1 и больши радиусом 2}
Пространство всевозможных исходов представляет собой круг С радиуса 2.
S(C) = П(2^2) = 4П
Пространство событий, длагоприятных событию A представляет собой кольцо K с меньшим радиусом 1 и большим радиусом 2.
S(K) = П(2^2) - П(1^1) = 4П - П = 3П
По геометрическому определению вероятности
P(A) = S(K)/S(C) = (3П)/(4П) = 3/4 = 0.75
B = {расстояние от центра до ближайшей точки не меньше 1} = {все 10 точек лежат в кольце с меньшим радиусом 1 и большим радиусом 2}
n = 10 - количество точек
p = P(A) = 0.75 - вероятность того, что точка попала в кольцо
m - количество точек, попавших в кольцо
P(B) = P(m=10) = [по формуле Бернулли] = (0.75)^10 =
= 0.05631351470947265625
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 23 сен. 2009 11:14 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Yulika написал 23 сен. 2009 5:16
7.Моменты начала двух событий наудачу распределены в промежутке времени длиной 200 минут. Одно из событий длится 10 мин., другое - 5 мин. Определить вероятность того, что: а) события «перекрыва-ются» по времени; б) «не перекрываются».
Данная задача является задачей на геометрическую вероятность, поэтому к ней будет необходимо сделать простейший геометрический рисунок.
Пространство всевозможных исходов представляет собой прямоугольник
П = {(x;y): 0 <= x <= 200; 0 <= y <= 200}
S(П) = (200 - 0)*(200 - 0) = 200*200 = 40 000
б) A = {события не перекрываются по времени}
Пространством событий, благоприятных событию A, является прямоугольник
A = {(x;y): 10 <= x <= 200; 5 <= y <= 200}
S(A) = (200 - 10)*(200 - 5) = 190*195 = 37 050
По геометрическому определению вероятности
P(A) = S(A)/S(П) = 37050/40000 = 0.92625
а) B = {события перекрываются по времени}
B = не A
P(B) = P(не A) = 1 - P(A) = 1 - 0.92625 = 0.07375
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 23 сен. 2009 11:21 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Yulika написал 23 сен. 2009 5:16
6.В отрезке единичной длины наудачу выбираются две точки. Определить вероятность того, что расстоя-ние между точками не превосходит ¼
Запишите задачу четко
В частности непонятен знак ¼
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 23 сен. 2009 11:24 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: vikycik написал 22 сен. 2009 23:46
1.Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, последовательно вытаскивают по 2 шара (каждый раз возвращая их обратно) до появления двух шаров одного цвета. Составь закон распределения для числа вытаскивания шаров. Найдите математическое ожидание данной величины.
Случайная величина X - число вытаскивания двух шаров до тех пор, пока не будут вытащены два шара одного цвета
Случайная величина X имеет геометрическое распределение
p - вероятность первого успеха, то есть события, когда два шара одного цвета вытащены в первый раз
p = (C(2;2) + C(2;3))/C(2;5) = (1 + 3)/10 = 4/10 = 0.4
q - вероятность того, что вытащили два шара разного цвета
q = (2*3)/C(2;5) = 6/10 = 0.6
Случайная величина X является бесконечной. Она может принимать значения 1, 2, 3, 4, ...
Событие {X=n} означает: первые (n-1) испытания были вытащены шары разного цвета; при n испытании были вытащены шары одного цвета
P(X=n) = (q^(n-1))p = (0.4)((0.6)^(n-1))
Закон распределения случайной величины X имеет вид
X 1 2 3 4 ...
P 0.4 0.24 0.144 0.0864 ...
Математическое ожидание случайной величины X, распределенной по геометрическому закону, равно
M(X) = 1/p = 1/(0.4) = 2.5
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 23 сен. 2009 12:00 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: vikycik написал 22 сен. 2009 23:46
2.В урне 6 белых и 4 черных шара. Из нее пять раз подряд извлекают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают в урну и шары перемешивают. Приняв за случайную величину Х число извлеченных белых шаров, составьте закон распределения этой величины, определите ее математическое ожидание и дисперсию.
Случайная величина X - число извлеченных белых шаров при пяти извлечениях.
n = 5 - число испытаний
p - вероятность того, что при одном испытании был вытащен белый шар (вероятность успеха)
p = 6/(6+4) = 6/10 = 0.6
q - вероятность того, что при одном испытании был вытащен черный шар (вероятность неудачи)
q = 4/(6+4) = 4/10 = 0.4
Случайная величина X имеет распределение Бернулли. Данная случайная величина может принимать следующие значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Событие {X=n} означает, что при пяти испытаниях n раз был вытащен белый шар и (5-n) раз был вытащен черный шар.
По формуле Бернулли
P(X=n) = C(n;5)*(p^n)*(q^(5-n)) =
= C(n;p)*((0.6)^n)*((0.4)^(5-n))
P(X=0) = C(0;5)*((0.6)^0)*((0.4)^5) = (0.4)^5 = 0.01024
P(X=1) = C(1;5)*(0.6)*((0.4)^4) = 5*(0.6)*(0.0256) = 0.0768
P(X=2) = C(2;5)*((0.6)^2)*((0.4)^3) = 10*(0.36)*(0.064) =
= 0.2304
P(X=3) = C(3;5)*((0.6)^3)*((0.4)^2) = 10*(0.216)*(0.16) =
= 0.3456
P(X=4) = C(4;5)*((0.6)^4)*(0.4) = 5*(0.1296)*(0.4) = 0.2592
P(X=5) = C(5;5)*((0.6)^5)*((0.4)^0) = (0.6)^5 = 0.07776
Закон распределения случайной величины X имеет вид:
X 0 1 2 3 4 5
P 0.01024 0.0768 0.2304 0.3456 0.2592 0.07776
Для случайной величины X, имеющей распределение Бернулли, известно следующее:
M(X) = np = 5*(0.6) = 3
D(X) = npq = 5*(0.6)*(0.4) = 1.2
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 23 сен. 2009 12:14 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: vikycik написал 22 сен. 2009 23:46
3.Монету подбрасывают до тех пор, пока не выпадет орел. Составьте таблицу распределения для числа бросаний. Найдите математическое ожидание данной СВ.
Случайная величина X - число подбрасываний монеты до тех пор, пока не выпадет орел
Случайная величина X имеет геометрическое распределение
p - вероятность первого успеха, то есть события, когда выпадет орел
p = 1/2
q - вероятность того, что выпала решка
q = 1/2
Случайная величина X является бесконечной. Она может принимать значения 1, 2, 3, 4, ...
Событие {X=n} означает: первые (n-1) испытания выпала решка; при n испытании выпал орел
P(X=n) = (q^(n-1))p = (1/2)*((1/2)^(n-1)) = (1/2)^n
Закон распределения случайной величины X имеет вид
X 1 2 3 4 ...
P 1/2 1/4 1/8 1/16 ...
Математическое ожидание случайной величины X, распределенной по геометрическому закону, равно
M(X) = 1/p = 1/(1/2) = 2
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 23 сен. 2009 12:18 | IP
|
|
ALEXser
Новичок
|
Цитата: ALEXser написал 20 сен. 2009 17:15
Помогите пожалуйста с решением двух задач:
1. В 1995 г. в Ростовской области обследовано 12 промышленных предприятий и 14 строительных (подрядных) организаций. Средняя балансовая прибыль промышленных предприятий оказалась равной 25 ∙107 руб., а строительных организаций – 12 ∙108 руб. исправленная выборочная дисперсия прибыли промышленных предприятий составила 64 ∙1016 руб. 2 , строительных организаций - 16 ∙1016 руб. 2 . На уровне значимости а = 0,01 определите, являются ли различия в результатах финансовой деятельности промышленных предприятий и строительных организаций случайными.
2. Имеются выборочные данные о глубине вспашки полей под озимые культуры (Х, см) и их урожайности (Y, ц/га):
Х1015202530
Y510162024
При а = 0,05 установить значимость статистической связи между признаками Х и Y. Если признаки коррелируют, постройте уравнение регрессии и объясните его смысл. Сделайте прогноз урожайности пшеницы при глубине вспашки 22 см.
|
Всего сообщений: 6 | Присоединился: сентябрь 2009 | Отправлено: 23 сен. 2009 12:27 | IP
|
|
|
Форум
Решение задач по теории вероятности
