RKI 
Долгожитель
|
   
Цитата: malutka написал 28 авг. 2009 11:44
3.29.1. Случайная величина Х равна числу появлений «герба» в серии из 5 бросаний монеты. Найти закон распределения и функцию распределения F(x) этой случайной величины; вычислить ее математическое ожидание MX и дисперсию DX; построить график F(x).
Случайная величина X - число появлений герба при 5 бросаниях монеты.
Данная случайная величина может принимать следующие значения:
{X=0} - 5 раз выпала решка
{X=1} - 1 раз выпал герб и 4 раза - решка
{X=2} - 2 раза выпал герб и 3 раза - решка
{X=3} - 3 раза выпал герб и 2 раза - решка
{X=4} - 4 раза выпал герб и 1 раз - решка
{X=5} - 5 раз выпал герб
По формуле Бернулли посчитаем вероятности указанных событий.
n = 5
p = 1/2 - вероятность выпадения герба
q = 1-p = 1/2 - вероятность выпадения решки
P(X=0) = (1/2)^5 = 1/32
P(X=1) = C(1;5)*(1/2)*((1/2)^4) = 5/32
P(X=2) = C(2;5)*((1/2)^2)*((1/2)^3) = 10/32 = 5/16
P(X=3) = C(3;5)*((1/2)^3)*((1/2)^2) = 10/32 = 5/16
P(X=4) = C(4;5)*((1/2)^4)*(1/2) = 5/32
P(X=5) = (1/2)^5 = 1/32
Закон распределения случайной величины X имеет вид:
X 0 1 2 3 4 5
P 1/32 5/32 5/16 5/16 5/32 1/32
Функция распределения случайной величины X имеет вид:
F(x) = {0, x <= 0
{1/32, 0 < x <= 1
{3/16, 1 < x <= 2
{1/2, 2 < x <= 3
{13/16, 3 <= x < 4
{31/32, 4 <= x < 5
{1, x >= 5
Таким образом, случайная величина X имеет распределение Бернулли с параметрами n=5 и p=1/2.
Известно, что M(X) = np = 5*(1/2) = 5/2 = 2.5
D(X) = npq = 5*(1/2)*(1/2) = 5/4 = 1.25
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 28 авг. 2009 12:29 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: malutka написал 28 авг. 2009 11:44
3.29.2. Закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид:
xi -2 -1 0 1 3
pi 0,2 0,1 0,2 p4 p5
Найти вероятности p4, p5, и дисперсию DX, если математическое ожидание MX=-0,5+0,5*1+0,1*2.
X -2 -1 0 1 3
P 0.2 0.1 0.2 p4 p5
0.2 + 0.1 + 0.2 + p4 + p5 = 1
0.5 + p4 + p5 = 1
p4 + p5 = 0.5
p4 = 0.5 - p5
M(X) = (-2)*(0.2) + (-1)*(0.1) + 0*(0.2) + 1*p4 + 3*p5 =
= - 0.4 - 0.1 + p4 + 3p5 = - 0.5 + p4 + 3p5 =
= - 0.5 + 0.5 - p5 + 3p5 = 2p5 = 0.2
p5 = 0.1
p4 = 0.5 - p5 = 0.5 - 0.1 = 0.4
X -2 -1 0 1 3
P 0.2 0.1 0.2 0.4 0.1
M(X) = 0.2
M(X^2) = 4*(0.2) + 1*(0.1) + 0*(0.2) + 1*(0.4) + 9*(0.1) =
= 0.8 + 0.1 + 0 + 0.4 + 0.9 = 2.2
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 2.2 - 0.04 = 2.16
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 28 авг. 2009 12:35 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: malutka написал 28 авг. 2009 11:44
3.29.3. Плотность распределения непрерывной случайной величины X имеет вид:
0 при минус бесконечность <x_< 1
f(x) = { a*(x-1)/2 при 2 <x<3
0 при3 _<x< +бесконечность
Найти:
а) параметр а; б) функцию распределения F(x) ;
в) вероятность попадания случайной величины X в интервал
(1 +2/2 , 4)
г) математическое ожидание MX и дисперсию DX.
Построить график функций f(x) иF(x) .
Проверьте запись функции f(x)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 28 авг. 2009 12:38 | IP
|
|
malutka
Новичок
|
внешняя ссылка удалена
RKI к сожелению я не могу правильно списать мне знаки никак не подобрать, я скинула вам ссылку, если не сложно там в методичке есть теория вероятности, случайные велечины 3.29.3.,3.29.4 больше никак не могу дать более точную информацию.......(
|
Всего сообщений: 16 | Присоединился: август 2009 | Отправлено: 28 авг. 2009 14:06 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: malutka написал 28 авг. 2009 11:44
3.29.3. Плотность распределения непрерывной случайной величины X имеет вид:
0 при минус бесконечность <x_< 1
f(x) = { a*(x-1)/2 при 2 <x<3
0 при3 _<x< +бесконечность
Найти:
а) параметр а; б) функцию распределения F(x) ;
в) вероятность попадания случайной величины X в интервал
(1 +2/2 , 4)
г) математическое ожидание MX и дисперсию DX.
Построить график функций f(x) иF(x) .
f(x) = {0, x <= 1
{a(x-1)/2, 1 < x < 3
{0, x >= 3
а) 1 = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{1} f(x)dx + int_{1}^{3} f(x)dx +
+ int_{3}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{1} 0*dx +
= int_{1}^{3} a(x-1)dx/2 +
+ int_{3}^{+бесконечность} 0*dx =
= 0 + (a/2)*int_{1}^{3} (x-1)dx + 0 =
= a((x-1)^2)/4 |_{1}^{3} = a - 0 = a
a = 1
f(x) = {0, x <= 1
{(x-1)/2, 1 < x < 3
{0, x >= 3
б) F(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt
Если x <= 1, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{x} 0*dt = 0
Если 1 < x <= 3, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{1} f(t)dt + int_{1}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{1} 0*dt + int_{1}^{x} (t-1)dt/2 =
= 0 + ((t-1)^2)/4 |_{1}^{x} = ((x-1)^2)/4 - 0 = ((x-1)^2)/4
Если x > 3, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{1} f(t)dt + int_{1}^{3} f(t)dt +
+ int_{3}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{1} 0*dt + int_{1}^{3} (t-1)dt/2 +
+ int_{3}^{x} 0*dt =
= 0 + ((t-1)^2)/4 |_{1}^{3} + 0 = 1 - 0 = 1
F(x) = {0, x <= 1
{((x-1)^2)/4, 1 < x <= 3
{1, x > 3
в) P(2 < X < 4) = F(4) - F(2) = 1 - 1/4 = 3/4
г) M(X) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xf(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{1} xf(x)dx + int_{1}^{3} xf(x)dx +
+ int_{3}^{+бесконечность} xf(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{1} x*0*dx +
+ int_{1}^{3} x(x-1)dx/2 +
+ int_{3}^{+бесконечность} x*0*dx =
= 0 + (1/2)*int_{1}^{3} (x^2 - x)dx + 0 =
= (1/2)*((x^3)/3 - (x^2)/2) |_{1}^{3} =
= (1/2)*(9 - 9/2 - 1/3 + 1/2) = (1/2)*(14/3) = 7/3
M(X) = 7/3
M(X^2) =
= int_{-бесконечность}^{+бесконечность} (x^2)f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{1} (x^2)f(x)dx +
+ int_{1}^{3} (x^2)f(x)dx +
+ int_{3}^{+бесконечность} (x^2)f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{1} (x^2)*0*dx +
+ int_{1}^{3} (x^2)(x-1)dx/2 +
+ int_{3}^{+бесконечность} (x^2)*0*dx =
= 0 + (1/2)*int_{1}^{3} (x^3 - x^2)dx + 0 =
= (1/2)*((x^4)/4 - (x^3)/3) |_{1}^{3} =
= (1/2)*(81/4 - 9 - 1/4 + 1/3) = (1/2)*(34/3) = 17/3
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 17/3 - 49/9 = 2/9
(Сообщение отредактировал RKI 28 авг. 2009 16:00)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 28 авг. 2009 15:56 | IP
|
|
malutka
Новичок
|
RKI большущие спасибо))))))))))
|
Всего сообщений: 16 | Присоединился: август 2009 | Отправлено: 28 авг. 2009 16:13 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: malutka написал 28 авг. 2009 14:06
случайные велечины 3.29.3.,3.29.4
3.29.4
Как я понимаю, а Вашем задании m=1, n=2
а) Случайная величина X1 имеет равномерное распределение на некотором отрезке [a;b].
также по условиям задачи M(X1) = m+n = 3, D(X1) = (n^2)/3 = 4/3.
Для случайной величины X1, равномерно распределенной на отрезке [a;b], имеют место следующие формулы:
M(X) = (a+b)/2; D(X) = ((a-b)^2)/12.
Таким образом,
(a+b)/2 = 3; ((a-b)^2)/12 = 4/3
a+b = 6; (a-b)^2 = 16
a+b = 6; b-a = 8
a+b = 6; b = 8+a
a+8+a = 6; b = 8+a
2a = -2; b = 8+a
a = -1; b = 8+a
a = -1; b = 7
Получаем, что случайная величина X1 равномерно распределена на отрезке [-1;7]. Плотность распределения случайной величины X1 имеет вид:
f(x) = {1/8, -1 <= x <= 7
{0, иначе
P(m-1 < X < m+1) = P(0 < X < 2) =
= int_{0}^{2} f(x)dx = int_{0}^{2} (1/8)dx =
= (1/8)*int_{0}^{2} dx = (1/8)(2 - 0) = 2/8 = 1/4
б) Случайная величина X2 имеет пуассоновское распределение с параметром l.
По условиям задачи M(X2) = 3.
Для случайной величины X2, имеющей распределение Пуассона с параметром l, имеет место следующая формула:
M(X2) = l.
Таким образом, l = 3.
P(0 <= X2 <= 2) = P(X2=0) + P(X2=1) + P(X2=2) =
= (3^0)(e^(-3))/0! + (3^1)(e^(-3))/1! + (3^2)(e^(-3))/2! =
= (e^(-3)) + 3(e^(-3)) + (4.5)(e^(-3)) = (8.5)(e^(-3)) ~
~ 0.423190081...
в) Случайная величина X3 имеет показательное распределение с параметром m.
По условиям задачи известно, что M(X3) = 3.
Для случайной величины X3, имеющей показательное распределение с параметром m, справедлива следующая формула: M(X3) = 1/m.
Таким образом, 1/m = 3
m = 1/3
Случайная величина X3 имеет показательное распределение с параметром 1/3. Плотность распределения случайной величины X3 имеет вид:
f(x) = {(1/3)(e^(-x/3)), x >= 0
{0, x < 0
P(n <= X3 <= m+n) = P(2 <= X3 <= 3) =
= int_{2}^{3} f(x)dx = int_{2}^{3} (1/3)(e^(-x/3))dx =
= - (e^(-x/3)) |_{2}^{3} = - (e^(-1)) + (e^(-2/3)) =
= (e^(-2/3)) - (e^(-1)) ~ 0.145537678...
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 28 авг. 2009 16:24 | IP
|
|
malutka
Новичок
|
да правильно m=1, n=2))))))))))))))вы просто прелесть....спасибо))
|
Всего сообщений: 16 | Присоединился: август 2009 | Отправлено: 28 авг. 2009 16:30 | IP
|
|
Nice
Новичок
|
Помогите, пожалста, решить:
В партии саженцев имеется 10 штук 1-го сорта и 3 штуки 2-го сорта. Наудачу отобрали 5 саженцев. Найти вероятность того, что среди отобранных саженцев окажутся 4 штуки 1-го сорта
|
Всего сообщений: 6 | Присоединился: август 2009 | Отправлено: 29 авг. 2009 13:23 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Nice написал 29 авг. 2009 13:23
В партии саженцев имеется 10 штук 1-го сорта и 3 штуки 2-го сорта. Наудачу отобрали 5 саженцев. Найти вероятность того, что среди отобранных саженцев окажутся 4 штуки 1-го сорта
C(4;10)*C(1;3)/C(5;13) = 210*3/1287 = 70/143
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 29 авг. 2009 14:51 | IP
|
|
|
Форум
Решение задач по теории вероятности
