anton5567
Новичок
|
   
На пути движения автомобиля четыре светофора. Каждый из них с вероятностью 2/3 разрешает и с вероятностью 1/3 запрещает автомобилю дальнейшее движение. Составить ряд, функцию распределения и числовые характеристики числа светофоров, пройденных автомобилем без остановки. Найти вероятность того, что придётся стоять у двух светофоров.
|
Всего сообщений: 23 | Присоединился: май 2009 | Отправлено: 18 июля 2009 0:13 | IP
|
|
RKI 
Долгожитель
|
Цитата: anton5567 написал 18 июля 2009 0:08
Для участия в студенческих отборочных соревнованиях выделено из 1-й группы 4 студента, из 2-й -6, из 3-й - 5. Вероятности того, что отобранный студент из 1, 2 или 3 - й группы попадёт в сборную, равны соответственно 0.5, 0.4, 0.3. Наудачу выбранный участник соревнований попал в сборную. К какой из трёх групп он вероятнее всего принадлежит?
H1 = {студент из первой группы}
H2 = {студент из второй группы}
H3 = {студент из третьей группы}
P(H1) = 4/(4+6+5) = 4/15
P(H2) = 6/15
P(H3) = 5/15
A = {студент попадет в сборную}
A|H1 = {студент попадет в сборную при условии, что он из первой группы}
A|H2 = {студет попадет в сборную при условии, что он из второй группы}
A|H3 = {студент попадет в сборную при условии, что он из третьей группы}
P(A|H1) = 0.5
P(A|H2) = 0.4
P(A|H3) = 0.3
По формуле полной вероятности
P(A) = P(H1)P(A|H1) + P(H2)P(A|H2) + P(H3)P(A|H3) =
= (4/15)*(0.5) + (6/15)*(0.4) + (5/15)*(0.3) =
= 2/15 + (2.4)/15 + (1.5)/15 = (5.9)/15
H1|A = {студент из первой группы при условии, что он попал в сборную}
H2|A = {студент из второй группы при условии, что он попал в сборную}
H3|A = {студент из третьей группы при условии, что он попал в сборную}
По формуле Байеса
P(H1|A) = P(H1)P(A|H1)/P(A) = (4/15)*(0.5)/(5.9)/15 = 2/(5.9) =
= 20/59
P(H2|A) = P(H2)P(A|H2)/P(A) = (6/15)*(0.4)/(5.9)/15 =
= (2.4)/(5.9) = 24/59
P(H3|A) = P(H3)P(A|H3)/P(A) = (5/15)*(0.3)/(5.9)/15 =
= (1.5)/(5.9) = 15/59
P(H2|A) > P(H1|A) > P(H3|A)
ответ. ко второй
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 18 июля 2009 11:29 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: anton5567 написал 18 июля 2009 0:13
На пути движения автомобиля четыре светофора. Каждый из них с вероятностью 2/3 разрешает и с вероятностью 1/3 запрещает автомобилю дальнейшее движение. Составить ряд, функцию распределения и числовые характеристики числа светофоров, пройденных автомобилем без остановки. Найти вероятность того, что придётся стоять у двух светофоров.
Случайная величина X - число светофоров, пройденных автомобилем без остановки. Данная случайная величина может принимать следующие значения:
{X=0} - на всех 4 светофорах автомобиль останавливается
{X=1} - автомобиль останавливается на 3 светофорах, и 1 светофор преодолевает без остановки
{X=2} - автомобиль останавливается на 2 светофорах, и 2 светофора преодолевает без остановки
{X=3} - автомобиль останавливается на 1 светофоре, и 3 светофора преодолевает без остановки
{X=4} - автомобиль проезжает все 4 светофора без остановки
n = 4
p = 2/3 - вероятность дальнейшего движения на светофоре
q = 1/3
По формуле Бернулли
P(X=0) = (1/3)^4 = 1/81
P(X=1) = C(1;4)*(2/3)*((1/3)^3) = 4*(2/3)*(1/27) = 8/81
P(X=2) = C(2;4)*((2/3)^2)*((1/3)^2) = 6*(4/9)*(1/9) = 24/81
P(X=3) = C(3;4)*((2/3)^3)*(1/3) = 4*(8/27)*(1/3) = 32/81
P(X=4) = (2/3)^4 = 16/81
Ряд распределения случайной величины X имеет вид:
X 0 1 2 3 4
P 1/81 8/81 24/81 32/81 16/81
Случайная величина X имеет распределени Бернулли.
X ~ B(4; 2/3)
Следовательно,
M(X) = np = 4*(2/3) = 8/3
D(X) = npq = 4*(2/3)*(1/3) = 8/9
б(X) = sqrt(D(X)) = sqrt(8/9) = 2sqrt(2)/3 ~ 0.942809042...
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 18 июля 2009 11:38 | IP
|
|
anton5567
Новичок
|
RKI, большое спасибо. С матстатистикой поможешь?
|
Всего сообщений: 23 | Присоединился: май 2009 | Отправлено: 18 июля 2009 11:53 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Напишите Ваши задания в раздел Математическая статистика. Если я не смогу помочь, то возможно кто-нибудь ответит.
(Сообщение отредактировал RKI 18 июля 2009 12:03)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 18 июля 2009 12:02 | IP
|
|
Finance
Новичок
|
предлагается задача которая предназначена для моделирования некоторого процесса; сам процесс может быть описан и представлен здесь, но интересно решить процесс именно в пределах описанной здесь модели
электрический пулемет способен стрелять в цель со случайным интервалом (распределние Пуассона)
целью являются паралельные полосы изображающие число, примерно такое 1.7123 (то есть точность числа всегда одинаковая), следующее число 1.7124 на единицу расстояния выше, 1.1723 - это паралельная полоса на единицу расстояния ниже
новой целью становится то число, в которое попал «пулемет»
при этом отклоненение от мишени распределено по нормальному закону
______________________________
Требуется формула для определения наиболее вероятного числового интервала, соотвествующего определенному периоду времени.
То есть, предположим известно
1 минута - 0.0011
5 минут - 0.0037
20 минут — ?
______________________________
Реально это — длина свечи для котировок форекс для определенного интервала времени. Форекс моделируется указанной выше моделью.
|
Всего сообщений: 1 | Присоединился: июль 2009 | Отправлено: 29 июля 2009 23:26 | IP
|
|
loyosh
Новичок
|
Помогите, пожалуйста, с задачей.
Случайная величина Х задана функцией распределения F (x). Найти плотность вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины:
F(x) = { 0, x < или = 0
2sinx, 0 < x
1, x > x/6
Заранее спасибо большое.
|
Всего сообщений: 5 | Присоединился: август 2009 | Отправлено: 3 авг. 2009 17:16 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: loyosh написал 3 авг. 2009 17:16
Помогите, пожалуйста, с задачей.
Случайная величина Х задана функцией распределения F (x). Найти плотность вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины:
F(x) = { 0, x < или = 0
2sinx, 0 < x
1, x > x/6
Заранее спасибо большое.
Я думаю, что Вы записали Ваше задание не точно. Функция распределения случайной величины, более вероятно, имеет вид:
F(x) = {0, x <= 0
{2(sinx), 0 < x <= П/6
{1, x > П/6
-----------------------------------------------------------------------
f(x) = F'(x)
Плотность распределения случайной величины X имеет вид:
f(x) = {0, x < 0
{2(cosx), 0 < x < П/6
{0, x > П/6
-------------------------------------------------------------------
M(X) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xf(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} xf(x)dx + int_{0}^{П/6} xf(x)dx +
+ int_{П/6}^{+бесконечность} xf(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} x*0*dx +
+ int_{0}^{П/6} 2x(cosx)dx +
+ int_{П/6}^{+бесконечность} x*0*dx =
= 0 + int_{0}^{П/6} 2xd(sinx) + 0 = [по частям] =
= 2x(sinx) |_{0}^{П/6} - int_{0}^{П/6} (sinx)d(2x) =
= 2*(П/6)*sin(П/6) - 2*0*(sin0) - int_{0}^{П/6} 2(sinx)dx =
= 2*(П/6)*(1/2) - 0 - int_{0}^{П/6} 2(sinx)dx =
= П/6 - int_{0}^{П/6} 2(sinx)dx =
= П/6 + 2(cosx) |_{0}^{П/6} =
= П/6 + 2cos(П/6) - 2(cos0) =
= П/6 + 2*(sqrt(3)/2) - 2*1 =
= П/6 + sqrt(3) - 2
Математическое ожидание M(X) = П/6 + sqrt(3) - 2
------------------------------------------------------------------------
M(X^2) =
= int_{-бесконечность}^{+бесконечность} (x^2)f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} (x^2)f(x)dx +
+ int_{0}^{П/6} (x^2)f(x)dx +
+ int_{П/6}^{+бесконечность} (x^2)f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} (x^2)*0*dx +
+ int_{0}^{П/6} 2(x^2)(cosx)dx +
+ int_{П/6}^{+бесконечность} (x^2)*0*dx =
= 0 + int_{0}^{П/6} 2(x^2)d(sinx) + 0 = [по частям] =
= 2(x^2)(sinx) |_{0}^{П/6} - int_{0}^{П/6} (sinx)d(2(x^2)) =
= 2((П^2)/36)sin(П/6) - 0 - int_{0}^{П/6} 4x(sinx)dx =
= 2((П^2)/36)*(1/2) + int_{0}^{П/6} 4xd(cosx) =
= (П^2)/36 + 4x(cosx) |_{0}^{П/6} - int_{0}^{П/6} (cosx)d(4x)
= (П^2)/36 + 4*(П/6)*cos(П/6) - 0 - int_{0}^{П/6} 4(cosx)dx =
= (П^2)/36 + 4*(П/6)*(sqrt(3)/2) - 4(sinx) |_{0}^{П/6} =
= (П^2)/36 + П/(sqrt(3)) - 4sin(П/6) + 0 =
= (П^2)/36 + П/(sqrt(3)) - 4*(1/2) =
= (П^2)/36 + П/(sqrt(3)) - 2
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 =
= (П^2)/36 + П/(sqrt(3)) - 2 - [П/6 + sqrt(3) - 2]^2 =
= (П^2)/36 + П/sqrt(3) - 2 - [(П^2)/36 + 3 + 4 + П/sqrt(3) -
- 2П/3 - 4sqrt(3)] =
= (П^2)/36 + П/sqrt(3) - 2 - (П^2)/36 - 3 - 4 - П/sqrt(3) +
+ 2П/3 + 4sqrt(3) =
= 2П/3 + 4sqrt(3) - 9
Дисперсия D(X) = 2П/3 + 4sqrt(3) - 9
(Сообщение отредактировал RKI 3 авг. 2009 19:58)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 3 авг. 2009 19:36 | IP
|
|
loyosh
Новичок
|
Вы совершенно правы. Не так записал. Огромнейшее вам спасибо за решение. Наберусь наглости и спрошу, правильно ли решены вот эти задачи:
1.В магазине из 30 лампочек 2 неисправные. Найти вероятность того, что из двух купленных одним покупателем лампочек обе неисправны.
Решение:
P = 1/30
2.Два брата входят в состав двух разных спортивных команд по 12 человек каждая. В двух урнах имеется по 12 билетов с номерами от 1 до 12. Член каждой команды вынимает по одному билету из своей урны без возвращения. Найти вероятность, что оба брата вытащат номер 6.
Решение: P = 1/12
3.Дискретная случайная величина Х может принимать только значения: х₁ и х₂, причем х₁<х₂. Известны: вероятность р₁ возможного значения х₁, математическое ожидание М[Х], дисперсия D[X]. Найти закон распределения этой случайной величины: р₁=0,6; М[Х]= 1,4; D[X]= 0,24.
Решение: Сумма вероятностей всех возможных значений дискретной случайной величины равна единице, поэтому вероятность того, что Х примет значение х2, равна 1- 0,6 = 0,4
Хх1х2
р0,60,4
По условию М(Х) = 1,4, следовательно,
0,6 х1 + 0,4 х2 = 1,4
Закон распределения Х²
Х² х²1х²2
р0,60,4
Находим М(Х²):
М(Х²) =0,6 х²1 + 0,4 х²2
Находим дисперсию:
D(Х) = 0,6 х²1 + 0,4 х²2 -1,4²
Учитывая, что D[X]= 0,24, получаем:
0,6 х²1 + 0,4 х²2 = 2,2
Получаем систему уравнений:
{ 0,6 х1 + 0,4 х2 = 1,4
0,6 х²1 + 0,4 х²2 = 2,2
Получаем два решения:
х1 = 1; х2 = 2 и х1 = 1,8; х2 = 0,8
Так как по условию задачи х1 < х2, подходит только первое решение:
х1 = 1; х2 = 2
Получаем закон распределения:
Х12
р0,60,4
|
Всего сообщений: 5 | Присоединился: август 2009 | Отправлено: 3 авг. 2009 20:03 | IP
|
|
loyosh
Новичок
|
странно как-то отобразилось. Попробую еще раз.
3.Дискретная случайная величина Х может принимать только значения: х1 и х2, причем х1<х2. Известны: вероятность р1 возможного значения х1, математическое ожидание М[Х], дисперсия D[X]. Найти закон распределения этой случайной величины: р1=0,6; М[Х]= 1,4; D[X]= 0,24.
Решение: Сумма вероятностей всех возможных значений дискретной случайной величины равна единице, поэтому вероятность того, что Х примет значение х2, равна 1- 0,6 = 0,4
Хх1х2
р0,60,4
По условию М(Х) = 1,4, следовательно,
0,6 х1 + 0,4 х2 = 1,4
Закон распределения Х²
Х(2вверху) х(2 вверху)1х(2 вверху)2
р0,60,4
Находим М(Х(2 вверху)):
М(Х(2 вверху)) =0,6 х(2 вверху)1 + 0,4 х(2 вверху)2
Находим дисперсию:
D(Х) = 0,6 х(2 вверху)1 + 0,4 х(2 вверху)2 -1,4(2 вверху)
Учитывая, что D[X]= 0,24, получаем:
0,6 х(2 вверху)1 + 0,4 х(2 вверху)2 = 2,2
Получаем систему уравнений:
{ 0,6 х1 + 0,4 х2 = 1,4
0,6 х(2 вверху)1 + 0,4 х(2 вверху)2 = 2,2
Получаем два решения:
х1 = 1; х2 = 2 и х1 = 1,8; х2 = 0,8
Так как по условию задачи х1 < х2, подходит только первое решение:
х1 = 1; х2 = 2
Получаем закон распределения:
Х12
р0,60,4
|
Всего сообщений: 5 | Присоединился: август 2009 | Отправлено: 3 авг. 2009 20:09 | IP
|
|
|
Форум
Решение задач по теории вероятности
