RKI 
Долгожитель
|
   
Цитата: Hoodlum написал 12 мая 2009 9:05
4.Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией F(x)
Найти:
а)вероятность попадания случайной величины Х в интервал (a,b);
б)дифференциальную функцию (функцию плотности вероятностей) f(x);
в)математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х;
{0, x<=0
F(x)= {x^2/П^2, 0<x<=П, a=1, b=2
{1, x>П
F(x) = {0, x <= 0
{(x^2)/(П^2), 0 < x <= П
{1, x > П
а) P(1 < X < 2) = F(2) - F(1) = 4/(П^2) - 1/(П^2) = 3/(П^2)
б) f(x) = F'(x)
f(x) = {0, x < 0
{(2x)/(П^2), 0 < x < П
{0, x > П
в) M(X) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xf(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} xf(x)dx + int_{0}^{П} xf(x)dx +
+ int_{П}^{+бесконечность} xf(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} x*0*dx +
+ int_{0}^{П} 2(x^2)dx/(П^2) +
+ int_{П}^{+бесконечность} x*0*dx =
= 0 + (2/П^2)*int_{0}^{П} (x^2)dx + 0 =
= (2/3(П^2))(x^3) |_{0}^{П} = 2П/3
M(X^2) =
= int_{-бесконечность}^{+бесконечность} (x^2)f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} (x^2)f(x)dx +
+ int_{0}^{П} (x^2)f(x)dx +
+ int_{П}^{+бесконечность} (x^2)f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} (x^2)*0*dx +
+ int_{0}^{П} 2(x^3)dx/(П^2) +
+ int_{П}^{+бесконечность} (x^2)*0*dx =
= 0 + (2/П^2)*int_{0}^{П} (x^3)dx + 0 =
= (1/2(П^2))(x^4) |_{0}^{П} = (П^2)/2
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = (П^2)/2 - 4(П^2)/9 =
= (П^2)/18
б(X) = sqrt(D(X)) = П/sqrt(18) = П/3sqrt(2)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 12 мая 2009 16:12 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Buffy написал 12 мая 2009 11:16
1) НСВ Х задана дифференциальной функцией f(x):
{0, 0 < x или х < -Pi/2
f(x) ={cos x, -Pi/2 < x < 0.
а) Найти функцию распределения CВ Х: F(x). - Готово
б) Построить графики F(x) и f(x).
(По каким параметрам нужно строить ?)
Здесь нет никаких параметров. Это обыкновенные функциональная зависимость от x
в) Найти вероятность попадания CВ Х в интервал (-Pi/3; -Pi/4).
F(x) = {0, x < -П/2
{sinx + 1, - П/2 <= x < 0
{1, x >= 0
P(-П/3 < X < П/4) = F(П/4) - F(-П/3) =
= 1 - sin(-П/3) - 1 = sin(П/3) = sqrt(3/2)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 12 мая 2009 16:18 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Buffy написал 12 мая 2009 11:16
2) Непрерывная Случайная величина задана интегральной функцией F(x).
Найти:
a) Вероятность попадания случайной велечины Х в интервал(a,b);
б) Дифференциальную функцию (функцию плотности вероятностей) f(x);
в) Математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х;
г) Построить графики функций F(x) и f(x).
(По каким параметрам нужно строить ?)
F(x) = {0, x <=0, a = 0, b = 2.
{1-e^-2x, x > 0.
F(x) = {0, x <= 0
{1 - (e^(-2x)), x > 0
f(x) = {0, x <= 0
{2(e^(-2x)), x > 0
По виду F(x) и f(x) можно утверждать, что случайная величина X обладает показательным распределением с параметром a=2.
Известно, что
M(X) = 1/a = 1/2
D(X) = 1/(a^2) = 1/4
б(X) = 1/a = 1/2
----------------------------------------------------------------------------
3) Непрерывная Случайная величина задана интегральной функцией F(x).
Найти:
a) Вероятность попадания случайной велечины Х в интервал(a,b);
б) Дифференциальную функцию (функцию плотности вероятностей) f(x);
в) Математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х;
г) Построить графики функций F(x) и f(x).
(Опять же по каким параметрам построить график ? )
F(x) = {0, x <=0, a = 0, b = 2.
{1-e^-2x, x > 0.
Решение:
F(x) = {0, x <= 0
{1 - (e^(-2x)), x > 0
f(x) = {0, x <= 0
{2(e^(-2x)), x > 0
По виду F(x) и f(x) можно утверждать, что случайная величина X обладает
показательным распределением с параметром a=2.
Известно, что
M(X) = 1/a = 1/2
D(X) = 1/(a^2) = 1/4
б(X) = 1/a = 1/2
2 и 3 задача аналогичные
Опять же повторюсь - никаких параметров в F(x) и f(x) нет
Это обыкновенные функции
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 12 мая 2009 16:22 | IP
|
|
Hoodlum
Новичок
|
Спасибо большое!
Посылаю тебе Лучи добра и счастья! =)
|
Всего сообщений: 13 | Присоединился: май 2009 | Отправлено: 12 мая 2009 16:36 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Buffy написал 12 мая 2009 11:16
4)Дана плотность распределения f(x) случайной величины х. Найти параметр с, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения случайной величины x, вероятность выполнения неравенства X1<X<X2
f(x)= {a, x принадлежит [c,b],
{0, x не принадлежит [c,b].
1 = int_{-бесконечность}^{бесконечность} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{c} f(x)dx + int_{c}^{b} f(x)dx +
+ int_{b}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{c} 0*dx + int_{c}^{b} adx +
+ int_{b}^{+бесконечность} 0*dx =
= 0 + a*int_{c}^{b} dx + 0 =
= a(b-c)
a(b-c) = 1
b - c = 1/a
c = b - 1/a
f(x) = {a, b-1/a <= x <= b
{0, x < b-1/a, x > b
-----------------------------------------------------------------------
M(X) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xf(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{b - 1/a} xf(x)dx +
+ int_{b - 1/a}^{b} xf(x)dx +
+ int_{b}^{+бесконечность} xf(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{b - 1/a} x*0*dx +
+ int_{b - 1/a}^{b} axdx +
+ int_{b}^{+бесконечность} x*0*dx =
= 0 + a*int_{b - 1/a}^{b} xdx + 0 =
= (a/2)(x^2) |_{b - 1/a}^{b} =
= (a/2)(b^2) - (a^2)(b - 1/a)^2 =
= (a/2)(b^2 - b^2 + 2b/a - 1/(a^2)) =
= (a/2)(2b/a - 1/(a^2)) =
= b - 1/(2a)
M(X^2) =
= int_{-бесконечность}^{+бесконечность} (x^2)f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{b - 1/a} (x^2)f(x)dx +
+ int_{b - 1/a}^{b} (x^2)f(x)dx +
+ int_{b}^{+бесконечность} (x^2)f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{b - 1/a} (x^2)*0*dx +
+ int_{b - 1/a}^{b} a(x^2)dx +
+ int_{b}^{+бесконечность} (x^2)*0*dx =
= 0 + a*int_{b - 1/a}^{b} (x^2)dx + 0 =
= (a/3)(x^3) |_{b - 1/a}^{b} =
= (a/3)(b^3) - (a/3)(b - 1/a)^3 =
= (a/3)(b^3 - b^3 + 3(b^2)/a - 3b/(a^2) + 1/(a^3)) =
= (a/3)(3(b^2)/a - 3b/(a^2) + 1/(a^3)) =
= b^2 - b/a + 1/3(a^2)
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 =
= b^2 - b/a + 1/3(a^2) - (b - 1/(2a))^2 =
= b^2 - b/a + 1/3(a^2) - b^2 + b/a - 1/4(a^2) =
= 1/3(a^2) - 1/4(a^2) =
= 1/12(a^2)
--------------------------------------------------------------------
F(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt
Если x < b - 1/a, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{x} 0*dt = 0
Если b - 1/a <= x <= b, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{b-1/a} f(t)dt +
+ int_{b-1/a}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{b-1/a} 0*dt +
+ int_{b-1/a}^{x} adt =
= 0 + a*int_{b-1/a}^{x} dt =
= a*t |_{b-1/a}^{x} =
= a(x - b + 1/a) =
= ax + 1 - ab
Если x > b, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{b-1/a} f(t)dt +
+ int_{b-1/a}^{b} f(t)dt +
+ int_{b}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{b-1/a} 0*dt +
+ int_{b-1/a}^{b} adt +
+ int_{b}^{x} 0*dt =
= 0 + a*int_{b-1/a}^{b} dt + 0 =
= a*t |_{b-1/a}^{b} + 0 =
= a(b - b + 1/a) = 1
F(x) = {0, x < b - 1/a
{ax + 1 - ab, b - 1/a <= x <= b
{1, x > b
--------------------------------------------------------------------
Про X1 и X2 что-нибудь известно или они произвольные
(Сообщение отредактировал RKI 12 мая 2009 16:50)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 12 мая 2009 16:49 | IP
|
|
Buffy
Новичок
|
Про X1 и X2 что-нибудь известно или они произвольные
В задачи ни чего об этои ни говрится, написано как есть.
Найти....вероятность выполнения неравенства X(1) < X < X(2)
|
Всего сообщений: 4 | Присоединился: май 2009 | Отправлено: 12 мая 2009 17:17 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Vavaka написал 12 мая 2009 14:41
1) Случайная величина E принимает значение -1, 0, 2 c вероятностями 0,4; 0,2; 0,4 соответственно. Найти D(2E+1).
E -1 0 2
P 0.4 0.2 0.4
M(E) = (-1)*(0.4) + 0*(0.2) + 2*(0.4) = - 0.4 + 0.8 = 0.4
M(E^2) = 1*(0.4) + 0*(0.2) + 4*(0.4) = 0.4 + 1.6 = 2
M(2E+1) = M(2E) + M(1) = 2M(E) + 1 = 2*(0.4) + 1 = 1.8
M((2E+1)^2) = M(4E^2 + 4E + 1) = M(4E^2) + M(4E) + M(1) =
= 4M(E^2) + 4M(E) + 1 = 4*2 + 4*(0.4) + 1 =
= 8 + 1.6 + 1 = 10.6
D(2E+1) = 10.6 - 3.24 = 7.36
2)Из урны содержащей 6 белых и 4 черных шара, по схеме выбора без возвращения извлекают шары. Пусть E - число чёрных шаров,которые извлекают до появления 1-го белого шара. Найти закон распределения Е.
E - число чёрных шаров, которые извлекают до появления первого белого шара
P(E=0) = 6/10 = 3/5
P(E=1) = (4/10)*(6/9) = 4/15
P(E=2) = (4/10)*(3/9)*(6/8) = 1/10
P(E=3) = (4/10)*(3/9)*(2/8)*(6/7) = 1/35
P(E=4) = (4/10)*(3/9)*(2/8)*(1/7)*(6/6) = 1/210
E 0 1 2 3 4
P 3/5 4/15 1/10 1/35 1/210
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 12 мая 2009 17:48 | IP
|
|
enn
Новичок
|
если не сложно... 
При выстреле по мишени стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,5; в девятку - 0,3; в восьмерку - 0,1; в семерку - 0,05; в шестерку - 0,05. Стрелок сделал 100 выстрелов. Какова вероятность тог, что он набрал:
а) более 980 очков;
б) более 920 очков?
|
Всего сообщений: 5 | Присоединился: май 2009 | Отправлено: 12 мая 2009 18:26 | IP
|
|
dini
Новичок
|
Помогите, пожалуйста: Вероятность обнаружения затонувшего судна за время поиска задается формулами P(t) = 1-exp(-a*t), a>0. Определить математическое ожидание случайной величины Т - время поиска затонувшего судна.
|
Всего сообщений: 47 | Присоединился: март 2007 | Отправлено: 12 мая 2009 20:12 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: HarukiSamui написал 12 мая 2009 10:38
Дана плотность распределения f(x) случайной величины х. Найти параметр с, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения случайной величины x, вероятность выполнения неравенства X1<X<X2
f(x)= {1/(c-a), x принадлежит [a;b]
{o, x не принадлежит [a;b]
Заранее спасибо!
f(x) = {1/(c-a), a <= x <= b
{0, x < a, x > b
1 = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{a} f(x)dx + int_{a}^{b} f(x)dx +
+ int_{b}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{a} 0*dx +
+ int_{a}^{b} dx/(c-a) +
+ int_{b}^{+бесконечность} 0*dx =
= 0 + (1/(c-a))*int_{a}^{b} dx + 0 =
= (b-a)/(c-a)
(b-a)/(c-a) = 1
b - a = c - a
c = b
f(x) = {1/(b-a), a <= x <= b
{0, x < a, x > b
M(X) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xf(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{a} xf(x)dx +
+ int_{a}^{b} xf(x)dx +
+ int_{b}^{+бесконечность} xf(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{a} x*0*dx +
+ int_{a}^{b} xdx/(b-a) +
+ int_{b}^{+бесконечность} x*0*dx =
= 0 + (1/(b-a))*int_{a}^{b} xdx + 0 =
= (x^2)/2(b-a) |_{b}^{a} =
= (b^2 - a^2)/2(b-a) = (b-a)(b+a)/2(b-a) = (a+b)/2
M(X^2) =
= int_{-бесконечность}^{+бесконечность} (x^2)f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{a} (x^2)f(x)dx +
+ int_{a}^{b} (x^2)f(x)dx +
+ int_{b}^{+бесконечность} (x^2)f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{a} (x^2)*0*dx +
+ int_{a}^{b} (x^2)dx/(b-a) +
+ int_{b}^{+бесконечность} (x^2)*0*dx =
= 0 + (1/(b-a))*int_{a}^{b} (x^2)dx + 0 =
= (x^3)/3(b-a) |_{b}^{a} =
= (b^3 - a^3)/3(b-a) = (b-a)(a^2 + ab + b^2)/3(b-a) =
= (a^2 + ab + b^2)/3
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 =
= (a^2 + ab + b^2)/3 - (a+b)^2/4 =
= (a^2 + ab + b^2)/3 - (a^2 + 2ab + b^2)/4 =
= (4a^2 + 4ab + 4b^2 - 3a^2 - 6ab - 3b^2)/12 =
= (a^2 - 2ab + b^2)/12 = ((a-b)^2)/12
F(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt
Если x < a, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{x} 0*dt = 0
Если a <= x <= b, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{a} f(t)dt +
+ int_{a}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{a} 0*dt + int_{a}^{x} dt/(b-a) =
= 0 + (1/(b-a))*int_{a}^{x} dt =
= t/(b-a) |_{a}^{x} = (x-a)/(b-a)
Если x > b, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{a} f(t)dt +
+ int_{a}^{b} f(t)dt + int_{b}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{a} 0*dt + int_{a}^{b} dt/(b-a) +
+ int_{b}^{x} 0*dt =
= 0 + (1/(b-a))*int_{a}^{b} dt + 0 =
= t/(b-a) |_{a}^{b} = (b-a)/(b-a) = 1
F(x) = {0, x < a
{(x-a)/(b-a), a <= x <= b
{1, x > b
P(X1 < X < X2) = F(X2) - F(X1)
Или
P(X1 < X < X2) = int_{X1}^{X2} f(x)dx
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 12 мая 2009 21:32 | IP
|
|
|
Форум
Решение задач по теории вероятности
