RKI 
Долгожитель
|
   
Цитата: oms52 написал 4 мая 2009 14:02
1. Сколько прямых линий можно провести через 8 точек, если известно, что любые три из них не лежат на одной прямой?
Решение
Через каждую пару точек можно провести лишь одну прямую, то число всех прямых равно числу сочетаний из 8 по 2, то есть
С (8;2) = 8! / (8-2)!*2! = 56/2 = 28
Верно
2. В группе из 8 спортсменов 6 мастеров спорта. Найти вероятность того, что из двух случайным образом отобранных спортсменов хотя бы один – мастер спорта.
Пару идей было, как решить задачу. Вот только смущает вопрос “хотя бы один – мастер спорта”.
Возможно решение такое:
А1 = первый отобранный спортсмен – мастер спорта
Р(А1)= 6/8 = 0,75
А2 = второй отобранный спортсмен – мастер спорта
Р(А2)=5/7 = 0,71
В задаче возможны три исхода: оба отобранный спортсмена – мастера спорта (А1А2); первый спортсмен – мастер спорта, второй – нет (А1А2’); второй спортсмен – мастер спорта, первый – нет (А1’А2).
Тогда, Р (А1А2+ А1А2’+ А1’А2) = Р(А1А2) + Р(А1А2’) + Р(А1’А2) = 0,75*0,71 + 0,75*0,29 + 0,25*0,71 = 0,9275
A = {из 2 спортсменов хотя бы один явялется мастером спорта}
не A = {из 2 спортсменов ни один не является мастером спорта}
P(не A) = C(2;2)/C(2;8) = 1/28
P(A) = 1 - P(не A) = 1 - 1/28 = 27/28
3. На участке кросса для мотоциклиста-гонщика имеется три препятствия. Вероятность успешного прохождения первого препятствия равна 0,4, второго – 0,5, третьего – 0,6. Найти вероятность успешного преодоления:
А) трех препятствий
Б) не менее двух препятствий
В) двух препятствий
Возможно задача решается по методике задачи 2.
(х = 3) – преодолено три препятствия
(х =3) = (1П 2П 3П)
Р(х=3) = 0,4*0,5*0,6 = 0,12
(х>=2) – преодолено не менее двух препятствий
(х>=2) = (1П 2П 3Н; 1П 2Н 3П; 1Н 2П 3П; 1П 2П 3П)
(х>=2) = 0,4*0,5*0,4 + 0,4*0,5*0,6 + 0,6*0,5*0,6 + 0,4*0,5*0,6 = 0,08+0,12+0,18+0,12 = 0,5
(х=2) – преодолено два препятствия
(х=2) = (1П 2П 3Н; 1П 2Н 3П; 1Н 2П 3П)
(х=2) = 0,4*0,5*0,4 + 0,4*0,5*0,6 + 0,6*0,5*0,6 = 0,08+0,12+0,18 = 0,38
Верно
4. Резистор, поставленный в телевизор, может принадлежать к одной из двух партий с вероятностями 0,6 и 0,4. Вероятность того, что резистор проработает гарантийное число часов, для этих партий равно соответственно 0,8 и 0,7.
А) Найти вероятность того, что взятый наугад резистор проработает гарантийное число часов.
Б) Резистор проработал гарантийное число часов. К какой партии он вероятнее всего принадлежит?
А)Пусть А - событие, состоящее в том, что, взятый наугад резистор проработает гарантийное число часов, а Н1 и Н2 - гипотезы, что эти резисторы соответственно принадлежат к 1-й и 2-й партии.
Р (Н1) = 0,6
Р (Н2) = 0,4
Р (А/Н1) = 0,8
Р (А/Н2) = 0,7
Используя формулу полной вероятности:
Р (А)= 0,6*0,8 + 0,4*0,7 = 0,48+0,28 = 0,76
Б) Используя формулу Байеса, определяем вероятность того, что резистор, который проработал гарантийное число часов, принадлежит к первой партии:
P(H1/A) = P(H1)P(A/H1)/P(A) = 0,6*0,8 / 0,76 = 0,63
Используя формулу Байеса, определяем вероятность того, что резистор, который проработал гарантийное число часов, принадлежит ко второй партии:
P(H2/A) = P(H2)P(A/H2)/P(A) = 0,4*0,7 / 0,76 = 0,37
Таким образом, резистор, который проработал гарантийное число часов вероятнее всего принадлежит к первой партии.
Если быть точнее, то
P(H1|A) = (0,6)*(0,8)/(0,76) = (0.48)/(0.76) = 48/76 = 12/19
P(H2|A) = (0,4)*(0,7)/(0,76) = (0.28)/(0.76) = 28/76 = 7/19
Верно
5. Всхожесть семян лимона составляет 80%. Найти вероятность того, что из 9 посеянных семян взойдут:
А) семь;
Б) не более семи;
В) более семи.
Используем формулу Бернулли
А) Р9(7) = С(9;7)*0,8^7*0,2^2 =9!/2! * 7! * 0,8^7 * 0,2^2 = 0,3
Б) Р9(8) = С(9;8)*0,8^8*0,2^1 =9!/1!* 8!* 0,8^8* 0,2^1= 0,3
Р9(9) = С(9;9)*0,8^9*0,2^0 =9!/0!* 9!* 0,8^9* 0,2^0= 0,13
Тогда, Р9(<=7) = 1 - Р9(8) - Р9(9) = 1 – 0,3 – 0,13 = 0,57
В) Р9(>7) = Р9(8)+ Р9(9) = 0,3+0,13 = 0,43
A) Р9(7) = С(9;7)*((0,8)^7)*((0,2)^2) = 0.301989888
Б) Р9(8) = С(9;8)*((0,8)^8)*(0,2) = 0.301989888
Р9(9) = (0.8)^9 = 0.134217728
Тогда,
Р9(<=7) = 1 - P9(>7) = 1 - Р9(8) - Р9(9) =
= 1 – 0.301989888 - 0.134217728 = 0.563792384
В) Р9(>7) = P9(8) + P9(9) = 0.301989888 + 0.134217728 =
= 0.436207616
6) Найти вероятность одновременного останова 30 машин из 100 работающих, если вероятность останова для каждой машины равна 0,2.
n=100
m =30
p=0,2
q= 1-p = 0,8
Используем локальную теорему Муавра-Лапласа
P100(30)=1/sqrt(2*п) * е-х^2/2/sqrt(n*p*q)
Х = (30-100*0,2) / sqrt(100*0,2*0,8) = 10 / 4 = 2,5
P100(30)= 1/sqrt(100*0,2*0,8) * Ф(2,5) = 0,25*Ф(2,5) = ?
Чему будет равно Ф(2,5)?
Идея верна - использовать локальную теорему Муавра-Лапласа
n = 100
p = 0.2
q = 0.8
np = 20
sqrt(npq) = sqrt(16) = 4
m = 30
x = (m - np)/sqrt(npq) = (30 - 20)/4 = 2.5
P(m=30) ~ (1/4)ф(2.5)
Обратите внимание: в локальной теореме Муавра-Лапласа фи малое!!!! А в интегральной теореме Муавра-Лапласа фи большое. Это ПРИНЦИПИАЛЬНАЯ разница.
Найти ф(2,5) можно в специальных таблицах. Их можно натйи в интернете, в учебниках по теории вероятностей.
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 4 мая 2009 14:57 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: oms52 написал 4 мая 2009 14:02
7. Найти закон распределения указанной дискретной СВ х и ее функцию распределения F(x). Вычислить математическое ожидание М(х), дисперсию D(x) и среднее квадратическое отклонение. Построить график функции распределения F(х). Из пар в 20 изделий, среди которых имеется четыре нестандартных, для проверки качества выбрано случайным образом 3 изделия. СВ х – число нестандартных изделий среди проверяемых.
Случайная величина X - число нестандартных изделий среди трех проверяемых. Данная случайная величина может принимать следующие значения:
{X=0} - все 3 изделия стандартные
{X=1} - 2 изделия стандартные и 1 изделие бракованное
{X=2} - 1 изделие стандартное и 2 изделия бракованные
{X=3} - все 3 изделия бракованные
P(X=0) = C(3;16)/C(3;20) = 560/1140 = 28/57
P(X=1) = C(2;16)*C(1;4)/C(3;20) = 120*4/1140 = 24/57
P(X=2) = C(1;16)*C(2;4)/C(3;20) = 16*6/1140 = 24/285
P(X=3) = C(3;4)/C(3;20) = 4/1140 = 1/285
Ряд распределения случайной величины X имеет вид:
X 0 1 2 3
P 28/57 24/57 24/285 1/285
Функция распределения случайной величины X имеет вид:
F(x) = {0, x<0
{28/57, 0 <= x < 1
{52/57, 1 <= x < 2
{284/285, 2 <= x < 3
{1, x >= 3
M(X) = 0*(28/57) + 1*(24/57) + 2*(24/285) + 3*(1/285) =
= 0 + 120/285 + 48/285 + 3/285 = 171/285 = 57/95
M(X^2) = 0*(28/57) + 1*(24/57) + 4*(24/285) + 9*(1/285) =
= 0 + 120/285 + 96/285 + 9/285 = 225/285 = 15/19
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 15/19 - 3249/9025 =
= (135375 - 61731)/(19*9025) = 73644/(19*9025) =
= 3876/9025 = 204/475
б(X) = sqrt(204/475) ~ 0.655342...
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 4 мая 2009 15:26 | IP
|
|
doodlez
Новичок
|
Помогите пожалуста решить задачу...а то ничего не получается. Спасиба заранее!
Из колоды карт (52 карты) наугад вытягивают три карты. Найти вероятность того, что это будут тройка, семерка и туз.
|
Всего сообщений: 15 | Присоединился: май 2009 | Отправлено: 4 мая 2009 16:18 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: oms52 написал 4 мая 2009 14:02
8. Дана функция распределения F(x) СВ Х. Найти плотность распределения вероятностей f(x), математическое ожидание М(х), дисперсию D(x) и вероятность попадания СВ Х на отрезок [a;b]. Построить графики функций. a=1 b=2
0, х<-1
F(x) 1/9(x^3 +1), -1<=x<=2
1, x>2
F(x) = {0, x < -1
{(1/9)(x^3 + 1), -1 <= x <= 2
{1, x > 2
f(x) = {0, x < -1
{(1/3)(x^2), -1 <= x <= 2
{0, x > 2
M(X) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xf(x)dx =
= int_{-1}^{2} (1/3)(x^3)dx =
= (1/12)(x^4) |_{-1}^{2} = (1/12)*16 - (1/12)*1 =
= (1/12)*15 = 5/4 = 1.25
M(X^2) =
= int_{-бесконечность}^{+бесконечность} (x^2)f(x)dx =
= int_{-1}^{2} (1/3)(x^4)dx =
= (1/15)(x^5) |_{-1}^{2} = (1/15)*32 - (1/15)*(-1) =
= (1/15)*33 = 11/5 = 2.2
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 2.2 - 1.5625 = 0.6375
P(1 <= X <= 2) = F(2) - F(1) = 1 - 2/9 = 7/9
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 4 мая 2009 16:50 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: doodlez написал 4 мая 2009 16:18
Из колоды карт (52 карты) наугад вытягивают три карты. Найти вероятность того, что это будут тройка, семерка и туз.
A = {тройка, семерка, туз}
P(A) = (3!*4*4*4)/(52*51*50) = 384/132600 =
= 16/5525 ~ 0.0028959...
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 4 мая 2009 17:00 | IP
|
|
oms52
Новичок
|
RKI, огромное спасибо за уделенное время и помощь!!!
|
Всего сообщений: 4 | Присоединился: апрель 2009 | Отправлено: 4 мая 2009 17:28 | IP
|
|
Julianna696
Новичок
|
 
Задача № 4
Из N частных банков, работающих в городе, нарушения в уплате налогов имеют место в M банках. Налоговая инспекция проводит проверку трех банков, выбирая их из N банков случайным образом. Выбранные банки проверяются независимо один от другого. Допущенные в проверяемом банке нарушения могут быть выявлены инспекцией с вероятностью p. Какова вероятность того, что в ходе проверки будет установлен факт наличия среди частных банков города таких банков, которые допускают нарушения в уплате налогов?
N M P
30 10 0,8
(Сообщение отредактировал Julianna696 4 мая 2009 22:10)
|
Всего сообщений: 4 | Присоединился: апрель 2009 | Отправлено: 4 мая 2009 20:09 | IP
|
|
Lakiii
Новичок
|
Привет!!! Огромная просьба помогите!!! Застряла вот на задачах и не могу пройти в тестах дальше... Очень прошу помочь!
1. При 22 независимых измерениях некоторого угла в градусах получены значения: 3,1; 3,3; 2,9; 3,0; 3,1; 3,2; 2,8; 2,7; 3,1; 3,2; 2,9; 3,0; 2,9; 3,1; 2,8; 2,9; 3,2; 3,3; 2,9; 3,1; 3,2; 3,0. Предполагая, что результаты измерения распределены по нормальному закону, найдите 95%-ный доверительный интервал для математического ожидания измеряемого угла.
2. Из партии деталей проверено 250 и оказалось, что 80% имеют высшее качество . Пусть р – вероятность того, что деталь высшего качества. Найдите для р доверительный интервал с надежностью g = 0,95.
3. Из партии электролампочек выбрано и проверено 1000 штук. Среди них оказалось 150 нестандартных. Найдите 95%-ный доверительный интервал для вероятности появления нестандартной лампочки при извлечении ее из всей партии.
4. В публицистическом тексте из 565 слов глагол встретился 75 раз. С доверительной вероятностью 0,95 найдите доверительный интервал для вероятности появления глагола в произвольном публицистическом тексте.
5. В 100 независимых выстрелах стрелок поразил мишень 82 раза. Найдите 95%-ный доверительный интервал для вероятности попадания в мишень при одном выстреле данного стрелка.
|
Всего сообщений: 4 | Присоединился: май 2009 | Отправлено: 5 мая 2009 7:19 | IP
|
|
Laziness
Новичок
|
И снова я обращаюсь к вам) Буду очень благодарен за помощь)
Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения х1 и х2 причём х1<х2 извесна вероятность р1 возможного значения х1 математическое ожидание М[X] и десперсия D[X]. Найти закон распределения случайной величины Х.
Р1 = 0.9
М[X] = 1.8
D[X] = 5.76
|
Всего сообщений: 9 | Присоединился: март 2009 | Отправлено: 5 мая 2009 17:56 | IP
|
|
Edelveis
Новичок
|
1. Вес тропического фрукта- нормально распределенная случайная величина с неизвестным мат. ожиданием и дисперсией =0,4. 75% фруктов весят меньше 0,6 кг. Найти ожидаемый вес случайно выбранного фрукта.
2. Вес товаров, помещенных в контейнер определенного размера, - нормально распределенная случайная величина. 65% контейнеров имеют чистый вес больше чем 5,1 и 25% - имеют вес меньше чем 4,3 т. Найти ожидаемый средний вес и среднее квадратичное отклонение чистого веса контейнера.
Спасибо.
|
Всего сообщений: 5 | Присоединился: апрель 2009 | Отправлено: 5 мая 2009 18:53 | IP
|
|
|
Форум
Решение задач по теории вероятности
