RKI 
Долгожитель
|
   
Случайная величина X - число промахов до первого попадания. Данная случайная величина может принимать следующие значения:
{X=0} - при первом выстреле стрелок попал в дичь
{X=1} - первый раз стрелок промахнулся, второй раз попал в дичь
{X=2} - первый два раза стрелок промахнулся, третий раз попал в дичь
{X=3} - первые три раза стрелок промахнулся, четвертый раз попал
{X=4} - стрелок промахнулся все четыре раза
P(X=0) = 0.9
P(X=1) = (0.1)*(0.9) = 0.09
P(X=2) = (0.1)*(0.1)*(0.9) = 0.009
P(X=3) = (0.1)*(0.1)*(0.1)*(0.9) = 0.0009
P(X=4) = (0.1)*(0.1)*(0.1)*(0.1) = 0.0001
Ряд распределения случайной величины X имеет вид
X 0 1 2 3 4
P 0.9 0.09 0.009 0.0009 0.0001
Математическое ожидание
M(X) = 0*(0.9) + 1*(0.09) + 2*(0.009) + 3*(0.0009) +
+ 4*(0.0001) =
= 0 + 0.09 + 0.018 + 0.0027 + 0.0004 = 0.1111
M(X^2) = 0*(0.9) + 1*(0.09) + 4*(0.009) + 9*(0.0009) +
+ 16*(0.0001) =
= 0 + 0.09 + 0.036 + 0.0081 + 0.0016 = 0.1357
Дисперсия
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 =
= 0.1357 - 0.01234321 = 0.12335679
Среднеквадратическое отклонение
б(X) = sqrt(D(X)) = sqrt(0.12335679) = 0.351221853....
Функция распределения случайной величины X имеет вид
F(x) = {0, x<0
{0.9, 0<=x<1
{0.99, 1<=x<2
{0.999, 2<=x<3
{0.9999, 3<=x<4
{1, x>=4
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 28 фев. 2009 13:59 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: schekutova написал 28 фев. 2009 13:53
Случайная величина Х задана плотностью вероятностей;
f(x) = {0, х<=1, x>2
{A * x-0,5, 1<x<=2
Определить: а) параметр А, б) функцию распределения F(x); в) Мо, Ме, МХ, DX, б(Х); г) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях с.в. Х попадает ровно два раза в интервал (0,5;1,5). Построить графики функций f(x), F(x).
а) f(x) = {0, x<=1, x>2
{A(x-0.5), 1<x<=2
1 = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{1} f(x)dx +
+ int_{1}^{2} f(x)dx + int_{2}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{1} 0*dx +
+ int_{1}^{2} A(x-0.5)dx +
+ int_{2}^{+бесконечность} 0*dx =
= 0 + A*int_{1}^{2} (x-0.5)dx + 0 =
= A*(x^2/2 - 0.5x) |_{1}^{2} =
= A*(1 - 0) = A
A = 1
f(x) = {0, x<=1, x>2
{(x-0.5), 1<x<=2
б) F(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt
Если x<=1, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{x} 0*dt = 0
Если 1<x<=2, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{1} f(t)dt + int_{1}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{1} 0*dt + int_{1}^{x} (t-0.5)dt =
= 0 + (t^2/2-0.5t) |_{1}^{x} =
= x^2/2 - 0.5x = 0.5(x^2) - 0.5x = 0.5x(x-1)
Если x>2, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{1} f(t)dt + int_{1}^{2} f(t)dt +
+ int_{2}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{1} 0*dt + int_{1}^{x} (t-0.5)dt +
+ int_{2}^{x} 0*dt =
= 0 + (t^2/2-0.5t) |_{1}^{2} + 0 = (1-0) = 1
F(x) = {0, x<=1
{0.5x(x-1), 1<x<=2
{1, x>2
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 28 фев. 2009 14:16 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: schekutova написал 28 фев. 2009 13:53
Случайная величина Х задана плотностью вероятностей;
f(x) = {0, х<=1, x>2
{A * x-0,5, 1<x<=2
Определить: а) параметр А, б) функцию распределения F(x); в) Мо, Ме, МХ, DX, б(Х); г) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях с.в. Х попадает ровно два раза в интервал (0,5;1,5). Построить графики функций f(x), F(x).
в) P(X<Me) = F(Me) = 0.5
(0.5)*(Me)*(Me-1) = 0.5
(Me)^2 - (Me) - 1 = 0
Me = (1+sqrt(5))/2 = 1.618033989...
-------------------------------------------------------------
Mo = f(2) = 2 - 0.5 = 1.5
-------------------------------------------------------------
M(X) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xf(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{1} xf(x)dx + int_{1}^{2} xf(x)dx +
+ int_{2}^{+бесконечность} xf(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{1} x*0*dx +
+ int_{1}^{2} x(x-0.5)dx +
+ int_{2}^{+бесконечность} x*0*dx =
= 0 + int_{1}^{2} (x^2 - 0.5x)dx + 0
= (x^3/3 - x^2/4) |_{1}^{2} =
= 5/3 - 1/12 = 19/12
--------------------------------------------------------------------------
M(X^2) =
= int_{-бесконечность}^{+бесконечность} (x^2)f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{1} (x^2)f(x)dx +
+ int_{1}^{2} (x^2)f(x)dx +
+ int_{2}^{+бесконечность} (x^2)f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{1} (x^2)*0*dx +
+ int_{1}^{2} (x^2)(x-0.5)dx +
+ int_{2}^{+бесконечность} (x^2)*0*dx =
= 0 + int_{1}^{2} (x^3 - 0.5x^2)dx + 0
= (x^4/4 - x^3/6) |_{1}^{2} =
= 8/3 - 1/12 = 31/12
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 31/12 - 361/144 =
= (372 - 361)/144 = 11/144
-------------------------------------------------------------------------
б(X) = sqrt(D(X)) = sqrt(11)/12
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 28 фев. 2009 14:35 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: schekutova написал 28 фев. 2009 13:53
Случайная величина Х задана плотностью вероятностей;
f(x) = {0, х<=1, x>2
{A * x-0,5, 1<x<=2
Определить: а) параметр А, б) функцию распределения F(x); в) Мо, Ме, МХ, DX, б(Х); г) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях с.в. Х попадает ровно два раза в интервал (0,5;1,5). Построить графики функций f(x), F(x).
г) P(X из (0.5;1.5)) = F(1.5) - F(0.5) = (0.5)*(1.5)*(0.5) - 0 =
= 0.375
P(X не из (0.5;1.5)) = 1 - 0.375 = 0.625
A = {при четырех испытаниях случайная величина X два раза попадает в интервал (0.5;1.5)}
P(A) = C(2;4)*(0.375)^2*(0.625)^2 =
= 6*(3/8)^2*(5/8)^2 =
= 6*(9/64)*(25/64) = 675/2048
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 28 фев. 2009 14:43 | IP
|
|
schekutova
Начинающий
|
Что вероятнее выиграть у равносильного партнера; 1) три партии из четырех или пять партий из восьми; 2) не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми?
|
Всего сообщений: 56 | Присоединился: февраль 2009 | Отправлено: 28 фев. 2009 14:49 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
1)
p = 1/2 - выиграл я
q = 1/2 - выиграл партнер
n=4
P(m=3) = C(3;4)*(1/2)^3*(1/2) = 4*(1/16) = 1/4 = 0.25
n=8
P(m=5) = C(5;8)*(1/2)^5*(1/2)^3 = 56*(1/256) = 0.21875
Вероятнее выиграть три партии из четырех
2) n=4
P(m>=3) = P(m=3) + P(m=4) =
= 0.25 + (1/2)^4 =
= 0.25 + 0.0625 = 0.3125
n=8
P(m>=5) = P(m=5)+P(m=6)*P(m=7)+P(m=8) =
= C(5;8)*(1/256) + C(6;8)*(1/256) + C(7;8)*(1/256) + 1/256 =
= (1/256)*(56 + 28 + 8 + 1) = 93/256 =
= 0.36328125
Вероятнее выиграть не менее пяти партий из восьми
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 28 фев. 2009 15:01 | IP
|
|
schekutova
Начинающий
|
Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена нормально с проектной длинной 75 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 60 мм и не более 90 мм. Найти вероятность того, что длина Х наудачу взятой детали: 1) больше 80 мм; 2) менее 65 мм.
|
Всего сообщений: 56 | Присоединился: февраль 2009 | Отправлено: 28 фев. 2009 15:03 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
M(X) = 75
D(X) = 15
б(X) = sqrt(15) = 3.87298
a) P(0<X<80) = Ф((80-75)/3.87298) - Ф((0-75)/3.87298) =
= Ф(1,29) - Ф(-19.36) =
= 0.4015 + 0.5 = 0.9015
P(X>80) = 1 - P(0<X<=80) = 1 - 0.9015 = 0.0985
б) P(0<X<65) = Ф((65-75)/3.87298) - Ф((0-75)/3.87298) =
= Ф(-2.58) - Ф(-19.36) = -0,4951 + 0,5 = 0,0049
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 28 фев. 2009 15:19 | IP
|
|
schekutova
Начинающий
|
Распределение по весу расфасованного на автомате сахара подчинено закону нормального распределения, где средний вес 1000г и допуск б=1,2г. Определить вероятность того, что: 1) вес наудачу взятого пакета будет не меньше 997, 2) вес наугад взятого пакета отклоняется от стандарта не более, чем на 2г.
|
Всего сообщений: 56 | Присоединился: февраль 2009 | Отправлено: 28 фев. 2009 15:20 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
a = 1000
б = 1.2
а) P(0<X<997) = Ф((997-1000)/1.2) - Ф((0-1000)/1.2) =
= Ф(-2.5) - Ф(-833.33) = -Ф(2.5) + Ф(833.33) =
= -0.4938 + 0.5 = 0.0062
P(X>=997) - 1 - P(0<X<997) = 1 - 0.0062 = 0.9938
б) P(|X-1000|<=2) = P(-2<=X-1000<=2) =
= P(998<=X<=1002) =
= Ф((1002-1000)/1.2) - Ф((998-1000)/1.2) =
= Ф(1,67) - Ф(-1.67) = 2*Ф(1.67) = 2*0.4525 = 0.905
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 28 фев. 2009 15:34 | IP
|
|
|
Форум
Решение задач по теории вероятности
