Krak Hag
Новичок
|
      
Что Вы можете сказать по этому поводу?
Вы, например, учавствуеш в теле-шоу, вышли в финал и вам ведущий говорит:
-Вот перед вами ТРИ двери, за одной из них машина, за остальными самокаты, какую вы выберете дверь?
Вы, например, выбираеш ТРЕТЬЮ дверь, вероятность что там машина составит 33,33%. Ведущий говорит, дальше:
- Я, пожалуй, вам немного помогу, открою одну из дверей!
Он открывает ПЕРВУЮ дверь, он знает где находится машина и продолжает дальше:
-Осталось две двери, вы настаиваете на своем выборе или может выберете вторую дверь?
Картина следующая, осталось две двери, казалось бы вероятность 50/50, а на самом деле вероятность того что машина за ВТОРОЙ дверью составляет 66,66%, вот у меня вопрос, ПОЧЕМУ?
|
Всего сообщений: 2 | Присоединился: февраль 2009 | Отправлено: 20 фев. 2009 15:26 | IP
|
|
ProstoVasya
Долгожитель
|
Krak Hag
Возможно, дело прояснит следующее соображение. Предположим, что Вы не меняете своего решения по выбору двери. Тогда при повторении этого эксперимента, Вы будете угадывать в трети случаев, а в 2/3 случаев машина будет находится за другой дверью.
|
Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 20 фев. 2009 20:10 | IP
|
|
Ole
Новичок
|
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, решить следующую задачу:
Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение вероятностей в треугольной области АВС:
f(x,y)=1/S, если (x,y) принадлежит АВС;
0, если иначе.
где S-площадь треугольника АВС. Определить 1) частные плотности распределения случайных компонент X и Y;
2) математические ожидания случайных компонент X и Y;
3) дисперсии случайных компонент X и Y;
4) коэффициент корреляции;
5) вероятность попадания в область D - часть треугольника АВС, вырезанную прямыми х=0, х=1/2. Являются ли случайные величины X и Y независимыми?
Координаты вершин треугольника АВС: (0,0); (1,1); (-2,2).
|
Всего сообщений: 27 | Присоединился: февраль 2009 | Отправлено: 20 фев. 2009 23:12 | IP
|
|
Marishka26
Новичок
|
Люди добрые помогите!! Не дайте человеку погибнуть!!
Случайные велечины Х1 и Х2 независимы и имеют равномерное распределение на множестве {0,1,2,...N}. Найти вероятность P(X1=j/X1+x2=m)
|
Всего сообщений: 4 | Присоединился: февраль 2009 | Отправлено: 21 фев. 2009 0:33 | IP
|
|
RKI 
Долгожитель
|
Цитата: Ole написал 20 фев. 2009 23:12
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, решить следующую задачу:
Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение вероятностей в треугольной области АВС:
f(x,y)=1/S, если (x,y) принадлежит АВС;
0, если иначе.
где S-площадь треугольника АВС. Определить 1) частные плотности распределения случайных компонент X и Y;
2) математические ожидания случайных компонент X и Y;
3) дисперсии случайных компонент X и Y;
4) коэффициент корреляции;
5) вероятность попадания в область D - часть треугольника АВС, вырезанную прямыми х=0, х=1/2. Являются ли случайные величины X и Y независимыми?
Координаты вершин треугольника АВС: (0,0); (1,1); (-2,2).
Найдем площадь треугольника ABC.
A (0;0)
B (1;1)
C (-2;2)
Постороим точки A, B, C на координатной плоскости. Из точки B опустим перпендикуляр BM на ось абсцисс. Из точки C опустим перпендикуляр CN на ось абсцисс.
BMNC - прямоугольная трапеция
ABM, ACN -прямоугольные треугольники
S(ABC) = S(BMNC) - S(ABM) - S(ACN) =
= (1/2)*MN*(BM+CN) - (1/2)*AM*BM - (1/2)*AN*CN =
= (1/2)*3*(1+2) - (1/2)*1*1 - (1/2)*2*2 =
= 4.5 - 0.5 - 2 = 2
Совместная плотность распределения случайных величин X и Y имеет вид
f(x,y) = {1/2, при (x,y) из ABC
{0, при (x,y) не из ABC
------------------------------------------------------------------------------
g(x) = int_{-бесконечность}^{бесконечность} f(x,y)dy
Если x<-2, то
g(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} 0*dy = 0
Если -2<=x<0, то
g(x) = int_{-бесконечность}^{AC} f(x,y)dy +
+ int_{AC}^{CB} f(x,y)dy +
int_{CB}^{+бесконечность} f(x,y)dy =
= int_{-бесконечность}^{-x} 0*dy +
+ int_{-x}^{(1/3)(4-x)} (1/2)dy +
int_{(1/3)(4-x)}^{+бесконечность} 0*dy =
= 0 + (1/2)*int_{-x}^{(1/3)(4-x)} dy + 0 =
= (1/2)*(4/3 - x/3 + x) = (1/3)(2+x)
Если 0<=x<1, то
g(x) = int_{-бесконечность}^{AB} f(x,y)dy +
+ int_{AB}^{CB} f(x,y)dy +
int_{CB}^{+бесконечность} f(x,y)dy =
= int_{-бесконечность}^{x} 0*dy +
+ int_{x}^{(1/3)(4-x)} (1/2)dy +
int_{(1/3)(4-x)}^{+бесконечность} 0*dy =
= 0 + (1/2)*int_{x}^{(1/3)(4-x)} dy + 0 =
= (1/2)*(4/3 - x/3 - x) = (2/3)(1-x)
Если x>=1, то
g(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} 0*dy = 0
Плотность распределения случайной величины X имеет вид
g(x) = {0, x<-2, x>=1
{(1/3)(2+x), -2<=x<0
{(2/3)(1-x), 0<=x<1
------------------------------------------------------------------------------
M(X) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} x*g(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{-2} x*g(x)dx +
+ int_{-2}^{0} x*g(x)dx +
+ int_{0}^{1} x*g(x)dx +
+ int_{1}^{+бесконечность} x*g(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{-2} x*0*dx +
+ int_{-2}^{0} x*(1/3)(2+x)dx +
+ int_{0}^{1} x*(2/3)(1-x)dx +
+ int_{1}^{+бесконечность} x*0*dx =
= 0 + (1/3)*int_{-2}^{0} (2x+x^2)dx +
+ (2/3)*int_{0}^{1} (x-x^2)dx + 0 =
= (1/3)*(x^2 + (x^3)/3) |_{-2}^{0} +
+ (2/3)*((x^2)/2 - (x^3)/3) |_{0}^{1} =
= (1/3)*(0 + 0 - 4 + 8/3) + (2/3)*(1/2 - 1/3 - 0 + 0) =
= -4/9 + 1/9 = -1/3
Математическое ожидание случайной величины X равно -1/3.
----------------------------------------------------------------------
M(X^2) =
= int_{-бесконечность}^{+бесконечность} (x^2)*g(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{-2} (x^2)*g(x)dx +
+ int_{-2}^{0} (x^2)*g(x)dx +
+ int_{0}^{1} (x^2)*g(x)dx +
+ int_{1}^{+бесконечность} (x^2)*g(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{-2} (x^2)*0*dx +
+ int_{-2}^{0} (x^2)*(1/3)(2+x)dx +
+ int_{0}^{1} (x^2)*(2/3)(1-x)dx +
+ int_{1}^{+бесконечность} (x^2)*0*dx =
= 0 + (1/3)*int_{-2}^{0} (2(x^2)+(x^3))dx +
+ (2/3)*int_{0}^{1} ((x^2)-(x^3))dx + 0 =
= (1/3)*(2(x^3)/3 + (x^4)/4) |_{-2}^{0} +
+ (2/3)*((x^3)/3 - (x^4)/4) |_{0}^{1} =
= (1/3)*(0 + 0 + 16/3 - 4) + (2/3)*(1/3 - 1/4 - 0 + 0) =
= 4/9 + 1/18 = 1/2
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 1/2 - 1/9 = 7/18
Дисперсия случайной величины X равна 7/18
см. продолжение на следующей странице
(Сообщение отредактировал RKI 21 фев. 2009 12:43)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 21 фев. 2009 10:50 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Ole написал 20 фев. 2009 23:12
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, решить следующую задачу:
Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение вероятностей в треугольной области АВС:
f(x,y)=1/S, если (x,y) принадлежит АВС;
0, если иначе.
где S-площадь треугольника АВС. Определить 1) частные плотности распределения случайных компонент X и Y;
2) математические ожидания случайных компонент X и Y;
3) дисперсии случайных компонент X и Y;
4) коэффициент корреляции;
5) вероятность попадания в область D - часть треугольника АВС, вырезанную прямыми х=0, х=1/2. Являются ли случайные величины X и Y независимыми?
Координаты вершин треугольника АВС: (0,0); (1,1); (-2,2).
ПРОДОЛЖЕНИЕ.
h(y) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x,y)dx
Если y<0, то
h(y) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} 0*dx = 0
Если 0<=y<1, то
h(y) = int_{-бесконечность}^{AC} f(x,y)dx +
+ int_{AC}^{AB} f(x,y)dx +
+ int_{AB}^{+бесконечность} f(x,y)dx =
= int_{-бесконечность}^{-y} 0*dx +
+ int_{-y}^{y} (1/2)*dx +
+ int_{y}^{+бесконечность} 0*dx =
= 0 + (1/2)*(y+y) + 0 = (1/2)*2y = y
Если 1<=y<2, то
h(y) = int_{-бесконечность}^{AC} f(x,y)dx +
+ int_{AC}^{CB} f(x,y)dx +
+ int_{CB}^{+бесконечность} f(x,y)dx =
= int_{-бесконечность}^{-y} 0*dx +
+ int_{-y}^{4-3y} (1/2)*dx +
+ int_{4-3y}^{+бесконечность} 0*dx =
= 0 + (1/2)*(4-3y+y) +0 = (1/2)*(4-2y) = 2-y
Если y>=2, то
h(y) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} 0*dx = 0
Плотность распределения случайной величины Y имеет вид
h(y) = {0, y<0, y>=2
{y, 0<=y<1
{2-y, 1<=y<2
--------------------------------------------------------------------------
M(Y) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} y*h(y)dy =
= int_{-бесконечность}^{0} y*h(y)dy +
+ int_{0}^{1} y*h(y)dy +
+ int_{1}^{2} y*h(y)dy +
+ int_{2}^{+бесконечность} y*h(y)dy =
= int_{-бесконечность}^{0} y*0*dy +
+ int_{0}^{1} y*y*dy +
+ int_{1}^{2} y*(2-y)dy +
+ int_{2}^{+бесконечность} y*0*dy =
= 0 + int_{0}^{1} (y^2)dy + int_{1}^{2} (2y - (y^2))dy + 0 =
= (y^3)/3 |_{0}^{1} + ((y^2) - (y^3)/3) |_{1}^{2} =
= (1/3 - 0) + (4 - 8/3 - 1 + 1/3) = 1/3 + 2/3 = 1
Математическое ожидание случайной величины Y равно 1
--------------------------------------------------------------------------
M(Y^2) =
= int_{-бесконечность}^{+бесконечность} (y^2)*h(y)dy =
= int_{-бесконечность}^{0} (y^2)*h(y)dy +
+ int_{0}^{1} (y^2)*h(y)dy +
+ int_{1}^{2} (y^2)*h(y)dy +
+ int_{2}^{+бесконечность} (y^2)*h(y)dy =
= int_{-бесконечность}^{0} (y^2)*0*dy +
+ int_{0}^{1} (y^2)*y*dy +
+ int_{1}^{2} (y^2)*(2-y)dy +
+ int_{2}^{+бесконечность} (y^2)*0*dy =
= 0 + int_{0}^{1} (y^3)dy +
+ int_{1}^{2} (2(y^2) - (y^3))dy + 0 =
= (y^4)/4 |_{0}^{1} + (2(y^3)/3 - (y^4)/4) |_{1}^{2} =
= (1/4 - 0) + (16/3 - 4 - 2/3 + 1/4) = 1/4 + 11/12 = 7/6
D(Y) = M(Y^2) - (M(Y))^2 = 7/6 - 1 = 1/6
Дисперсия случайной величины Y равна 1/6
------------------------------------------------------------------------------
Постороим область D. Область D является трапецией.
S(D) = (1/2)*(1/2)*(4/3 + 2/3) = (1/2)*(1/2)*2 = 1/2
P((X,Y) из D) = int int_{D} f(x,y)dxdy =
= int int_{D} (1/2) dxdy = (1/2) * int int_{D} dxdy =
= (1/2)*S(D) = (1/2)*(1/2) = 1/4
-------------------------------------------------------------------
Случайные величины X и Y зависимы, так как
f(x,y) =/= g(x)*h(y)
Возьмём, например, точку (1/2;1)
f(1/2;1) = 1/2
g(1/2) = 1/3
h(1) = 1
f(1/2;1) =/= g(1/2)*h(1)
(Сообщение отредактировал RKI 21 фев. 2009 13:33)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 21 фев. 2009 12:31 | IP
|
|
990000
Новичок
|
Вероятность изготовления годного изделия автоматическим станком равна 0.9. Вероятность изготовления изделия первого сорта этим станком равна 0.8. Какова вероятность того, что случайно взятое из годных, изделие окажется первого сорта?
|
Всего сообщений: 39 | Присоединился: январь 2009 | Отправлено: 21 фев. 2009 13:51 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
A = {деталь является годной}
B = {деталь первого сорта}
P(A) = 0.9
P(B|A) = 0.8
P(AB) = P(A)*P(B|A) = (0.9)*(0.8) = 0.72
P.S. Хотя я немного сомневаюсь.
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 21 фев. 2009 14:02 | IP
|
|
Marishka26
Новичок
|
А мою, пожалуйста, мою! Она на предыдущей странице.
|
Всего сообщений: 4 | Присоединился: февраль 2009 | Отправлено: 21 фев. 2009 14:22 | IP
|
|
990000
Новичок
|
. Какова вероятность того, что 4 раза извлекая из урны, с завязанными глазами, шар, мы ровно 2 раза извлечем белый, если в урне 6 белых шаров и 4 черных, и после каждого извлечения шар возвращается в урну?
4/10^2 =0.16 правильно?
|
Всего сообщений: 39 | Присоединился: январь 2009 | Отправлено: 21 фев. 2009 14:32 | IP
|
|
|
Форум
Решение задач по теории вероятности
