Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        Интегрирование - 2
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

RKI



Долгожитель


Цитата: beresnevvitaliy написал 4 апр. 2009 10:33
int  dx/(cosx)^3
int dx/1+cosx;



int dx/(cosx)^3 = int (cosx)dx/(cosx)^4 =

= int d(sinx)/((cosx)^2)^2 = int d(sinx)/(1 - (sinx)^2)^2 =

y = sinx

= int dy/(1 - y^2)^2 = (**)

1/(1 - y^2)^2 = 1/((1-y)^2)((1+y)^2) =
= A/(1-y) + B/(1-y)^2 + C/(1+y) + D/(1+y)^2

1/(1-y^2)^2 =
= [A(1-y)(1+y)^2 + B(1+y)^2 + C(1+y)(1-y)^2 + D(1-y)^2]/(1-y^2)^2

1 = A(1-y)(1+y)^2 + B(1+y)^2 + C(1+y)(1-y)^2 + D(1-y)^2

1 = A(1 + y - y^2 - y^3) + B(1 + 2y + y^2) +
+ C(1 - y - y^2 + y^3) + D(1 - 2y + y^2)

при y^3: 0 = - A + C
при y^2: 0 = - A + B - C + D
при y^1: 0 = A + 2B - C - 2D
при y^0: 1 = A + B + C + D

A = B = C = D = 1/4

1/(1 - y^2)^2 = 1/((1-y)^2)((1+y)^2) =
= 1/4(1-y) + 1/4(1-y)^2 + 1/4(1+y) + 1/4(1+y)^2

(**) = (1/4)*int dy/(1-y) + (1/4)*int dy/(1-y)^2 +
+ (1/4)*int dy/(1+y) + (1/4)*int dy/(1+y)^2 =

= - (1/4)*int d(1-y)/(1-y) - (1/4)*int d(1-y)/(1-y)^2 +
+ (1/4)*int d(1+y)/(1+y) + (1/4)*int d(1+y)/(1+y)^2 =

- (1/4)ln|1-y| + 1/4(1-y) + (1/4)ln|1+y| - 1/4(1+y) + const =

= - (1/4)*(ln|1-y| - ln|1+y|) + y/2(1-y)(1+y) + const =

= (1/4)*(ln|1+y| - ln|1-y|) + y/2(1-y^2) + const =

= (1/4)*(ln|1+sinx| - ln|1-sinx|) + sinx/2(1-(sinx)^2) + const =

= (1/4)*ln|(1+sinx)/(1-sinx)| + sinx/2(cosx)^2 + const

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 4 апр. 2009 11:06 | IP
madTex


Новичок

http://magegame.ru/?rf=e3e0e7eeedeeeaeef1e8ebeae0
тут всё разобрано

Всего сообщений: 48 | Присоединился: апрель 2009 | Отправлено: 4 апр. 2009 11:27 | IP
RKI



Долгожитель

To OMad

4) int dx/(9x - 1 + 8sqrt(9x-17)) =

= int dx/(4 + sqrt(9x-17))^2 = (*)

y = sqrt(9x-17)
9x - 17 = y^2
9x = y^2 + 17
x = (1/9)(y^2) + 17/9

dx = (2/9)ydy

(*) = (2/9)*int ydy/(4 + y)^2 = (**)

y/(4 + y)^2 = A/(4+y) + B/(4+y)^2

y/(4 + y)^2 = [A(4+y) + B]/(4+y)^2

y = A(4+y) + B

при y^1: 1 = A
при y^0: 0 = 4A + B

A = 1; B = -4

y/(4 + y)^2 = A/(4+y) + B/(4+y)^2

y/(4 + y)^2 = 1/(4+y) - 4/(4+y)^2

(**) = (2/9)*int dy/(4+y) - (8/9)*int dy/(4+y)^2 =

= (2/9)*int d(4+y)/(4+y) - (8/9)*int d(4+y)/(4+y)^2 =

= (2/9)*ln|4+y| + (8/9)*1/(4+y) + const =

= (2/9)*ln|4 + sqrt(9x-17)| + (8/9)*1/(4+sqrt(9x-17)) + const

Ответ. 8/9

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 4 апр. 2009 11:31 | IP
RKI



Долгожитель

To OMad

3) int (x^2 + 4x - 3)dx/sqrt(3-2x) = (*)

y = sqrt(3-2x)
3 - 2x = y^2
2x = 3 - y^2
x = 3/2 - (1/2)(y^2)
dx = - ydy

x^2 + 4x - 3 =
= (9/4) - (3/2)(y^2) + (1/4)(y^4) + 6 - 2(y^2) - 3 =
= (1/4)(y^4) - (7/2)(y^2) + (21/4)

(*) = int [(1/4)(y^4) - (7/2)(y^2) + (21/4)](-y)dy/y =

= int [-(1/4)(y^4) + (7/2)(y^2) - (21/4)]dy =

= - (1/20)(y^5) + (7/6)(y^3) - (21/4)y + const =

= - (1/20)(sqrt(3-2x))^5 + (7/6)(sqrt(3-2x))^3 -
- (21/4)(sqrt(3-2x)) + const

Ответ. - 1/20

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 4 апр. 2009 11:53 | IP
OMad



Новичок

Большое спасибо, RKI!

Всего сообщений: 28 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 4 апр. 2009 12:20 | IP
RKI



Долгожитель


Цитата: FireFenix написал 4 апр. 2009 10:46
1) int sqrt(1 + x^2) / (x^4) dx
2) int sin(ln(x)) dx
3) int (x^2)/(1 - x^4)
4) int (x^2 - 2*x + 3) / ((x - 1)*(x^3 - 4*x^2 + 3*x))

Буду премного благодарен =)



1) int sqrt(1+x^2)dx/(x^4) =

= int sqrt((x^2)(1/x^2 + 1))dx/(x^4) =

= int x*sqrt(1/x^2 + 1)dx/(x^4) =

= int sqrt(1/x^2 + 1)dx/(x^3) =

y = 1/x^2 + 1
dy = - 2dx/(x^3)  =>  dx/(x^3) = - (1/2)dy

= (-1/2)*int sqrt(y)dy =

= - (1/3)(y^(3/2)) + const =

= - (1/3)(1 + 1/x^2)^(3/2) + const

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 4 апр. 2009 12:27 | IP
beresnevvitaliy



Начинающий

int (2x+6)dx/sqrt(x^2+6x-2)   => ответ 4sqrt(x^2+6x-2) - просто помогите решить с подведением под знак дифференциала.

Всего сообщений: 52 | Присоединился: март 2009 | Отправлено: 4 апр. 2009 12:35 | IP
RKI



Долгожитель


Цитата: FireFenix написал 4 апр. 2009 10:46
1) int sqrt(1 + x^2) / (x^4) dx
2) int sin(ln(x)) dx
3) int (x^2)/(1 - x^4)
4) int (x^2 - 2*x + 3) / ((x - 1)*(x^3 - 4*x^2 + 3*x))

Буду премного благодарен =)



2) int sin(lnx)dx =

y = lnx
dy = dx/x = dx/(e^y) => dx = (e^y)dy

= int (siny)(e^y)dy = - int (e^y)d(cosy) =

= - (e^y)(cosy) + int (cosy)d(e^y) =

= - (e^y)(cosy) + int (cosy)(e^y)dy =

= - (e^y)(cosy) + int (e^y)d(siny) =

= - (e^y)(cosy) + (e^y)(siny) - int (siny)d(e^y) =

= (e^y)(siny - cosy) - int (siny)(e^y)dy

int (siny)(e^y)dy = (e^y)(siny - cosy) - int (siny)(e^y)dy

2*int (siny)(e^y)dy = (e^y)(siny - cosy) + const

int (siny)(e^y)dy = (1/2)(e^y)(siny - cosy) + const

int (sin(lnx))x*d(lnx) = (1/2)x(sin(lnx) - cos(lnx)) + const

int sin(lnx)dx = (1/2)x(sin(lnx) - cos(lnx)) + const

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 4 апр. 2009 12:36 | IP
RKI



Долгожитель


Цитата: beresnevvitaliy написал 4 апр. 2009 12:35
int (2x+6)dx/sqrt(x^2+6x-2)   => ответ 4sqrt(x^2+6x-2) - просто помогите решить с подведением под знак дифференциала.



int (2x+6)dx/sqrt(x^2 + 6x - 2) =

= int d(x^2 + 6x - 2)/sqrt(x^2 + 6x - 2) =

= 2sqrt(x^2 + 6x - 2) + const

P.S. 4sqrt(x^2+6x-2) - не может быть решением!

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 4 апр. 2009 12:40 | IP
RKI



Долгожитель


Цитата: FireFenix написал 4 апр. 2009 10:46
1) int sqrt(1 + x^2) / (x^4) dx
2) int sin(ln(x)) dx
3) int (x^2)/(1 - x^4)
4) int (x^2 - 2*x + 3) / ((x - 1)*(x^3 - 4*x^2 + 3*x))

Буду премного благодарен =)



3) int (x^2)dx/(1 - x^4) = int (x^2)dx/(1-x^2)(1+x^2) =

= int (x^2)dx/(1-x)(1+x)(1+x^2) = (**)

(x^2)/(1-x)(1+x)(1+x^2) = A/(1-x) + B/(1+x) + (Cx+D)/(1+x^2)

(x^2)/(1-x)(1+x)(1+x^2) =
= [A(1+x)(1+x^2) + B(1-x)(1+x^2) + (Cx+D)(1-x^2)]/(1+x)(1-x)(1+x^2)

x^2 = A(1 + x + x^2 + x^3) + B(1 - x + x^2 - x^3) +
+ C(x - x^3) + D(1 - x^2)

при x^3: 0 = A - B - C
при x^2: 1 = A + B - D
при x^1: 0 = A - B + C
при x^0: 0 = A + B + D

A = 1/4; B = 1/4; C = 0; D = -1/2

(x^2)/(1-x)(1+x)(1+x^2) = A/(1-x) + B/(1+x) + (Cx+D)/(1+x^2)

(x^2)/(1-x)(1+x)(1+x^2) = 1/4(1-x) + 1/4(1+x) - 1/2(1+x^2)

(**) = (1/4)*int dx/(1-x) + (1/4)*int dx/(1+x) -
- (1/2)*int dx/(1+x^2) =

= - (1/4)*int d(1-x)/(1-x) + (1/4)*int d(1+x)/(1+x) -
- (1/2)*int dx/(1+x^2) =

= - (1/4)*ln|1-x| + (1/4)*ln|1+x| - (1/2)*arctg(x) + const =

= (1/4)*ln|(1+x)/(1-x)| - (1/2)arctg(x) + const

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 4 апр. 2009 12:54 | IP

Эта тема закрыта, новые ответы не принимаются

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 ]

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com