Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        Интегрирование - 2
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

RKI



Долгожитель


Цитата: Aleks написал 12 марта 2009 18:09

И прошу еще раз вас помочь:
http://keep4u.ru/full/2009/03/12/a0591d4b0039e44038/jpg



15) int dx/x(x^2-6x+9) =

= int dx/x(x-3)^2 = (*)

Рассмотрим подынтегральное выражение.

1/x(x-3)^2 = A/x + B/(x-3) + C/(x-3)^2
Необходимо найти коэффициенты A, B, C

1/x(x-3)^2 = [A(x-3)^2 + Bx(x-3) + Cx]/x(x-3)^2
Знаменатель совпадает, поэтому приравниваем числители

1 = A(x-3)^2 + Bx(x-3) + Cx
1 = A(x^2-6x+9) + B(x^2-3x) + Cx

при x^2: 0 = A+B
при x^1: 0 = -6A-3B+C
при x^0: 1 = 9A

Необходимо решить систему:
{9A=1; A+B=0; C-6A-3B=0
{A=1/9; B=-1/9; C=1/3

1/x(x-3)^2 = A/x + B/(x-3) + C/(x-3)^2
1/x(x-3)^2 = (1/9)*(1/x) - (1/9)*1/(x-3) + (1/3)*1/(x-3)^2

(*) = int [(1/9)*(1/x) - (1/9)*1/(x-3) + (1/3)*1/(x-3)^2]dx =

= (1/9)*int dx/x - (1/9)*int dx/(x-3) + (1/3)*int dx/(x-3)^2 =

= (1/9)*int dx/x - (1/9)*int d(x-3)/(x-3) + (1/3)*int d(x-3)/(x-3)^2

= (1/9)*ln|x| - (1/9)*ln|x-3| - (1/3)*(1/x) + const =

= (1/9)*ln|x| - (1/9)*ln|x-3| - 1/(3x) + const

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 13 марта 2009 14:26 | IP
Rromashka



Участник

Помогите пожалуйста, очень срочно надо!
Интеграл arcsin(22x+8)

Всего сообщений: 110 | Присоединился: март 2009 | Отправлено: 13 марта 2009 14:30 | IP
RKI



Долгожитель


Цитата: Aleks написал 12 марта 2009 18:09

И прошу еще раз вас помочь:
http://keep4u.ru/full/2009/03/12/a0591d4b0039e44038/jpg



17) int dx/(x^3+x) =

= int dx/x(x^2+1) = (*)

Рассмотрим подынтегральную функцию
1/x(x^2+1) = A/x + (Bx+C)/(x^2+1)
Необходимо найти коэффициенты A, B, C

1/x(x^2+1) = [A(x^2+1) + (Bx+C)x]/x(x^2+1)
Знаменатели равны, поэтому приравниваем числители

1 = A(x^2+1) + (Bx+C)x
1 = A(x^2) + A + B(x^2) + Cx

при x^2: 0 = A+B
при x^1: 0 = C
при x^0: 1 = A

{A=1; C=0; A+B=0
{A=1; B=-1; C=0

1/x(x^2+1) = A/x + (Bx+C)/(x^2+1)
1/x(x^2+1) = 1/x - x/(x^2+1)

(*) = int [1/x - x/(x^2+1)]dx =

= int dx/x - int xdx/(x^2+1) =

= ln|x| - int xdx/(x^2+1) = (**)

Сделаем замену
y = x^2 + 1
dy = 2xdx  => xdx = (1/2)dy

(**) = ln|x| - (1/2)*int dy/y =

= ln|x| - (1/2)*ln|y| + const =

= ln|x| - (1/2)*ln(x^2+1) + const

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 13 марта 2009 14:35 | IP
RKI



Долгожитель


Цитата: Aleks написал 12 марта 2009 18:09

И прошу еще раз вас помочь:
http://keep4u.ru/full/2009/03/12/a0591d4b0039e44038/jpg



18) int sin(5x/2)*cos(x/2)dx = (*)

sin(5x/2)*cos(x/2) =
= (1/2)*sin((5x/2)+(x/2)) + (1/2)*sin((5x/2)-(x/2)) =
= (1/2)*sin3x + (1/2)*sin2x

(*) = (1/2)*int (sin3x)dx + (1/2)*int (sin2x)dx = (**)

В первом интеграле сделаем замену
y = 3x
dy = 3dx  => dx = (1/3)dy
Во втором интеграле сделаем замену
z = 2x
dz = 2dx  => dx = (1/2)dz

(**) = (1/6)*int (siny)dy + (1/4)*int (sinz)dz =

= - (1/6)*(cosy) - (1/4)*(cosz) + const =

= - (1/6)*(cos3x) - (1/4)*(cos2x) + const

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 13 марта 2009 14:44 | IP
RKI



Долгожитель


Цитата: Aleks написал 12 марта 2009 18:09

И прошу еще раз вас помочь:
http://keep4u.ru/full/2009/03/12/a0591d4b0039e44038/jpg



19) int ((cos(3x/2))^4)dx = (*)

(cos(3x/2))^4 =
= ((cos(3x/2))^2)^2 =
= ((1+cos3x)/2)^2 =
= (1/4)*(1+cos3x)^2 =
= (1/4)*(1 + 2cos3x + (cos3x)^2) =
= (1/4) + (1/2)*(cos3x) + (1/4)*(cos3x)^2 =
= (1/4) + (1/2)*(cos3x) + (1/4)*(1+cos6x)/2 =
= (1/4) + (1/2)*(cos3x) + (1/8)*(1+cos6x) =
= (1/4) + (1/2)*(cos3x) + (1/8) + (1/8)*(cos6x) =
= (3/8) + (1/2)*(cos3x) + (1/8)*(cos6x)

(*) = (3/8)*int dx + (1/2)*int (cos3x)dx + (1/8)*int (cos6x)dx =

= (3/8)x + (1/6)*int (cos3x)d(3x) + (1/48)*int (cos6x)d(6x) =

= (3/8)x + (1/6)*(sin3x) + (1/48)*(sin6x) + const

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 13 марта 2009 14:56 | IP
RKI



Долгожитель


Цитата: Aleks написал 12 марта 2009 18:09

И прошу еще раз вас помочь:
http://keep4u.ru/full/2009/03/12/a0591d4b0039e44038/jpg



20) int ((sinx)^7)dx =

= int ((sinx)^6)*(sinx)dx = (*)

(sinx)^6 =
= ((sinx)^2)^3 =
= (1-(cosx)^2)^3 =
= 1 - 3(cosx)^2 + 3(cosx)^4 - (cosx)^6

(*) = int [1 - 3(cosx)^2 + 3(cosx)^4 - (cosx)^6]*(sinx)dx = (**)

Сделаем замену
t = cosx
dt = - (sinx)dx

(**) = int (1 - 3(t^2) + 3(t^4) - (t^6))*(-dt) =

= int ((t^6) - 3(t^4) + 3(t^2) - 1)dt =

= (1/7)(t^7) - (3/5)(t^5) + (t^3) - t + const =

= (1/7)*((cosx)^7) - (3/5)*((cosx)^5) + ((cosx)^3) -
- cosx + const

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 13 марта 2009 15:05 | IP
grignata



Новичок

помогите вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость
а) интеграл от 0 до бесконечности
(x+2)dx/(x^2+4x+1)^(4/3)

б) интеграл от 0 до pi/2
e^tgx dx/cos^2 (x)

заранее спасибо всем, кто откликнется


(Сообщение отредактировал grignata 13 марта 2009 16:52)

Всего сообщений: 30 | Присоединился: февраль 2009 | Отправлено: 13 марта 2009 15:12 | IP
RKI



Долгожитель


Цитата: Aleks написал 12 марта 2009 18:09

И прошу еще раз вас помочь:
http://keep4u.ru/full/2009/03/12/a0591d4b0039e44038/jpg



21) int dx/(2sinx-cosx-2) = (*)

Сделаем замену
t = tg(x/2)
sinx = 2t/(1+t^2)
cosx = (1-t^2)/(1+t^2)
dx = 2dt/(1+t^2)

2sinx-cosx-2 = 4t/(1+t^2) - (1-t^2)/(1+t^2) - 2 =
= (4t-(1-t^2)-2(1+t^2))/(1+t^2) =
= (4t - 1 + t^2 - 2 - 2t^2)/(1+t^2) =
= (- t^2 +4t - 3)/(1+t^2)

dx/(2sinx-cosx-2) = 2(1+t^2)dt/(- t^2 + 4t - 3)(1+t^2) =
= 2dt/(-t^2+4t-3) =
= - 2dt/(t^2-4t+3) =
= - 2dt/(t-3)(t-1)

(*) = int (-2)dt/(t-3)(t-1) =

= int ((t-3)-(t-1))dt/(t-3)(t-1) =

= int [1/(t-1) - 1/(t-3)]dt =

= int dt/(t-1) - int dt/(t-3) =

= int d(t-1)/(t-1) - int d(t-3)/(t-3) =

= ln|t-1| - ln|t-3| + const =

= ln|(t-1)/(t-3)| + const =

= ln|(tg(x/2)-1)/(tg(x/2)-3)| + const

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 13 марта 2009 15:20 | IP
RKI



Долгожитель


Цитата: Aleks написал 12 марта 2009 18:09

И прошу еще раз вас помочь:
http://keep4u.ru/full/2009/03/12/a0591d4b0039e44038/jpg



22) int dx/(4 - 3((sinx)^2) - 4(sinx)(cosx)) =

= int dx/((sinx)^2)*(4/((sinx)^2) - 3 - 4(cosx)/(sinx)) = (*)

Известно следующее тождество:
1/((sinx)^2) = 1 + (ctgx)^2

(*) = int dx/((sinx)^2)*(4(1+(ctgx)^2) - 3 - 4ctgx) =

= int dx/((sinx)^2)*(4(ctgx)^2 - 4ctgx + 1) =

= int dx/((sinx)^2)*((2ctgx-1)^2) = (**)

Сделаем замену
y = 2ctgx - 1
dy = - 2dx/(sinx)^2  => dx/((sinx)^2) = - (1/2)dy

(**) = - (1/2)*int dy/(y^2) =

= 1/(2y) + const =

= 1/(4ctgx-2) + const

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 13 марта 2009 15:30 | IP
RKI



Долгожитель


Цитата: Aleks написал 12 марта 2009 18:09

И прошу еще раз вас помочь:
http://keep4u.ru/full/2009/03/12/a0591d4b0039e44038/jpg



24) int ((cosx)^4)dx/((sinx)^6) =

= int ((cosx)^4)dx/((sinx)^4)((sinx)^2) =

= int ((ctgx)^4)/((sinx)^2) = (*)

Сделаем замену
y = ctgx
dy = - dx/(sinx)^2  =>  dx/(sinx)^2 = - dy

(*) = - int (y^4)dy =

= - (1/5)(y^5) + const =

= - (1/5)((ctgx)^5) + const

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 13 марта 2009 15:36 | IP

Эта тема закрыта, новые ответы не принимаются

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 ]

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com