Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        Интегрирование - 2
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

RKI



Долгожитель

1) int (x^2+3)dx/(x-1)(x-2) =

= int (x^2+3)dx/(x^2-3x+2) =

= int (1 + (3x+1)/(x-1)(x-2))dx =

= int dx + int (3x+1)dx/(x-1)(x-2) = (*)

(3x+1)/(x-1)(x-2) = A/(x-1) + B/(x-2)
(3x+1)/(x-1)(x-2) = (Ax-2A+Bx-B)/(x-1)(x-2)
3x + 1 = (A+B)x + (-2A-B)
{A+B=3; -2A-B=1
{A=-4; B=7
(3x+1)/(x-1)(x-2) = 7/(x-2) - 4/(x-1)

(*) = int dx + int 7dx/(x-2) - int 4dx/(x-1) =
= x + 7ln|x-2| - 4ln|x-1| + const

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 1 марта 2009 12:12 | IP
RKI



Долгожитель

2) int (3x+2)dx/sqrt(x^2+2x+5) =

= int (3x+2)dx/sqrt(x^2+2x+1-1+5) =

= int (3x+2)dx/sqrt(x^2+2x+1+4) =

= int (3x+2)dx/sqrt((x+1)^2+4) =

y = x+1
dy = dx

= int (3y-1)dy/sqrt(y^2+4) =

= int 3ydy/sqrt(y^2+4) - int dy/sqrt(y^2+4) =

z = y^2 + 4
dz = 2ydy

= (3/2) int dz/sqrt(z) - int dy/sqrt(y^2+4) =

= 3sqrt(z) - ln|y+sqrt(y^2+4)| + const =

= 3sqrt(y^2+4) - ln|y+sqrt(y^2+4)| + const =

= 3sqrt(x^2+2x+5) - ln|x+1+sqrt(x^2+2x+5)| + const

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 1 марта 2009 12:23 | IP
RKI



Долгожитель

3) int (e^x)dx/sqrt(5-(e^(2x))) =

y = e^x
dy = (e^x)dx

= int dy/sqrt(5-y^2) =

= arcsin(y/sqrt(5)) + const =

= arcsin((e^x)/sqrt(5)) + const

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 1 марта 2009 12:30 | IP
RKI



Долгожитель

4) int sin(3x+1)*cos(5x+2)dx = (*)

sin(3x+1)*cos(5x+2) =
= (1/2)*sin(3x+1-5x-2) + (1/2)*sin(3x+1+5x+2) =
= (1/2)*sin(-2x-1) + (1/2)*sin(8x+3) =
= (1/2)*sin(8x+3) - (1/2)*sin(2x+1)

(*) = (1/2)*int sin(8x+3) dx - (1/2)*int sin(2x+1) dx =

в первом интеграле замена
y = 8x+3
dy = 8dx

во втором интеграле замена
z = 2x+1
dz = 2dx

= (1/16)*int siny dy - (1/4)*int sinz dz =

= -(1/16)cosy + (1/4)cosz + const =

= (1/4)*cos(2x+1) - (1/16)*cos(8x+3) + const

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 1 марта 2009 12:42 | IP
RKI



Долгожитель

5) Существует формула
int ((sinx)^a)*((cosx)^b) dx =
= ((sinx)^(a+1))*((cosx)^(b-1))/(a+b) +
+ ((b-1)/(a+b))* int ((sinx)^a)*((cosx)^(b-2)) dx

int ((sinx)^2)*((cosx)^6)dx =

= (1/8)*((sinx)^3)*((cosx)^5) +
+ (5/8)*int ((sinx)^2)*((cosx)^4)dx =

= (1/8)*((sinx)^3)*((cosx)^5) +
+ (5/8)*(1/6)*((sinx)^3)*((cosx)^3) +
+ (5/8)*(1/2)*int ((sinx)^2)*((cosx)^2) =

= (1/8)*((sinx)^3)*((cosx)^5) +
+ (5/48)*((sinx)^3)*((cosx)^3) +
+ (5/16)*int ((sinx)^2)*((cosx)^2) =

= (1/8)*((sinx)^3)*((cosx)^5) +
+ (5/48)*((sinx)^3)*((cosx)^3) +
+ (5/16)*(1/4)*((sinx)^3)*(cosx) +
+ (5/16)*(1/4)*int ((sinx)^2)dx =

= (1/8)*((sinx)^3)*((cosx)^5) +
+ (5/48)*((sinx)^3)*((cosx)^3) +
+ (5/64)*((sinx)^3)*(cosx) +
+ (5/64)*int ((sinx)^2)dx =

= (1/8)*((sinx)^3)*((cosx)^5) +
+ (5/48)*((sinx)^3)*((cosx)^3) +
+ (5/64)*((sinx)^3)*(cosx) +
+ (5/64)*int ((1-cos2x)/2)dx =

= (1/8)*((sinx)^3)*((cosx)^5) +
+ (5/48)*((sinx)^3)*((cosx)^3) +
+ (5/64)*((sinx)^3)*(cosx) +
+ (5/128)*int (1-cos2x)dx =

= (1/8)*((sinx)^3)*((cosx)^5) +
+ (5/48)*((sinx)^3)*((cosx)^3) +
+ (5/64)*((sinx)^3)*(cosx) +
+ (5/128)*(x-(1/2)sin2x) + const =

= (1/8)*((sinx)^3)*((cosx)^5) +
+ (5/48)*((sinx)^3)*((cosx)^3) +
+ (5/64)*((sinx)^3)*(cosx) -
- (5/256)sin2x + (5/128)x + const =

= (1/8)*((sinx)^3)*((cosx)^5) +
+ (5/48)*((sinx)^3)*((cosx)^3) +
+ (5/64)*((sinx)^3)*(cosx) -
- (5/128)(sinx)(cosx) + (5/128)x + const




Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 1 марта 2009 13:39 | IP
Svetik



Новичок

Уважаемый RKI, огромное спасибо!!! Я просто плохо понимаю интегралы, по поводу пятого решения: нашла на форуме похожее решение Романа Осипова на стр 18, это не одно и тоже? На мой взгляд там неиного проще, хотя могу и ошибаться. Объясните если не сложно.
http://keep4u.ru/imgs/b/080402/cc/ccf114e909b0700b6e.jpg


(Сообщение отредактировал Svetik 1 марта 2009 15:46)

Всего сообщений: 13 | Присоединился: ноябрь 2008 | Отправлено: 1 марта 2009 14:16 | IP
RKI



Долгожитель

это не одно и тоже
у Вас ситуация усложнилась тем, что и sinx и cosx в четной степени - поэтому подобные преобразования ни к чему не привели бы

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 1 марта 2009 14:43 | IP
Svetik



Новичок

Спасибо, а так похожи!

Всего сообщений: 13 | Присоединился: ноябрь 2008 | Отправлено: 1 марта 2009 14:49 | IP
RKI



Долгожитель

8) int dx/(2cosx+3) = (*)

y = tg(x/2)

cosx = (1-(tg(x/2))^2)/(1+(tg(x/2))^2) = (1-y^2)/(1+y^2)

x = 2arctgy; dx = 2dy/(1+y^2)

(*) = int 2dy/(1+y^2)(2(1-y^2)/(1+y^2) + 3) =

= int 2dy/(2(1-y^2)+3(1+y^2)) =

= int 2dy/(2-2y^2+3+3y^2) =

= int 2dy/(y^2+5) =

= (2/sqrt(5))*arctg(y/sqrt(5)) + const =

= (2/sqrt(5))*arctg((tg(x/2))/sqrt(5)) + const

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 1 марта 2009 14:55 | IP
RKI



Долгожитель

6) int sqrt(x^2+9)dx =

интегрирование по частям

= x*sqrt(x^2+9) - int x*d(sqrt(x^2+9)) =

= x*sqrt(x^2+9) - int (x^2)dx/sqrt(x^2+9) =

= x*sqrt(x^2+9) - int (x^2+9-9)dx/sqrt(x^2+9) =

= x*sqrt(x^2+9) - int sqrt(x^2+9)dx + int 9dx/sqrt(x^2+9)

Искомый интеграл находится и в правой, и в левой части. Перенесем его из правой части в левую. Получаем

2*int sqrt(x^2+9)dx = x*sqrt(x^2+9) + 9*int dx/sqrt(x^2+9) =

= x*sqrt(x^2+9) + 9*ln|x+sqrt(x^2+9)| + const

int sqrt(x^2+9)dx = (1/2)x*sqrt(x^2+9) +
+ (9/2)*ln|x+sqrt(x^2+9)| + const

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 1 марта 2009 15:08 | IP

Эта тема закрыта, новые ответы не принимаются

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 ]

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com