Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        Интегрирование - 2
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

RKI



Долгожитель


Цитата: youngtill1die написал 15 марта 2009 16:44
вот интегралы
http://slil.ru/27240711



8) int (x+1)dx/x*sqrt(x-2) =
= int xdx/x*sqrt(x-2) + int dx/x*sqrt(x-2) =
= int dx/sqrt(x-2) + int dx/x*sqrt(x-2) = (*)

int dx/sqrt(x-2) = int d(x-2)/sqrt(x-2) = 2sqrt(x-2)

int dx/x*sqrt(x-2) = (**)

Сделаем замену x-2 = y^2
x = (y^2)+2
dx = 2ydy

(**) = int 2ydy/((y^2)+2)y =

= 2*int dy/((y^2)+2) =

= 2*[1/sqrt(2)]*arctg(y/sqrt(2)) =

= sqrt(2)*arctg(sqrt((x-2)/2))

(*) = 2sqrt(x-2) + sqrt(2)*arctg(sqrt((x-2)/2)) + const

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 16 марта 2009 11:24 | IP
RKI



Долгожитель


Цитата: youngtill1die написал 15 марта 2009 16:44
вот интегралы
http://slil.ru/27240711



15) int (x+1)dx/((x^2)+1)((x^2)-x) = (*)

Рассмотрим подынтегральную функцию
(x+1)/((x^2)+1)((x^2)-x) =
= (x+1)/((x^2)+1)x(x-1) =
= (Ax+B)/((x^2)+1) + C/x + D/(x-1)

(x+1)/((x^2)+1)((x^2)-x) = (Ax+B)/((x^2)+1) + C/x + D/(x-1)

(x+1)/((x^2)+1)((x^2)-x) =
= [(Ax+B)((x^2)-x)+C((x^2)+1)(x-1) + Dx((x^2)+1)]/((x^2)+1)((x^2)-x)

x+1 = (Ax+B)((x^2)-x)+C((x^2)+1)(x-1) + Dx((x^2)+1)

x+1 = A(x^3) - A(x^2) + B(x^2) - Bx + C(x^3) - C(x^2) + Cx - C +
+ D(x^3) + Dx

при x^3: 0 = A + C + D
при x^2: 0 = - A + B - C
при x^1: 1 = - B + C + D
при x^0: 1 = - C

{A+C+D=0; -A+B-C=0; -B+C+D=1; -C=1
{A=0; B=-1; C=-1; D=1

(x+1)/((x^2)+1)((x^2)-x) =
= - 1/((x^2)+1) - 1/x + 1/(x-1)

(*) int [- 1/((x^2)+1) - 1/x + 1/(x-1)]dx =

= int dx/(x-1) - int dx/((x^2)+1) - int dx/x =

= int d(x-1)/(x-1) - int dx/((x^2)+1) - int dx/x =

= ln|x-1| - arctg(x) - ln|x| + const

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 16 марта 2009 11:56 | IP
RKI



Долгожитель


Цитата: youngtill1die написал 15 марта 2009 16:44
вот интегралы
http://slil.ru/27240711



16) int ((x^3)+x+3)dx/((x^2)-x+1) = (*)

Рассмотримподынтегральную функцию
((x^3)+x+3)/((x^2)-x+1) =
= [(x+1)((x^2)-x+1)+(x+2)]/((x^2)-x+1) =
= (x+1) + (x+2)/((x^2)-x+1)

(*) = int [(x+1) + (x+2)/((x^2)-x+1)]dx =

= int (x+1)dx + int (x+2)dx/((x^2)-x+1) =

= int xdx + int dx + int (x+2)dx/((x^2)-x+1) = (**)

Рассмотрим подробнее последний интеграл

int (x+2)dx/((x^2)-x+1) =
= int (x+2)dx/((x^2)-2*(1/2)x+1) =
= int (x+2)dx/((x^2)-2*(1/2)x+(1/4)-(1/4)+1) =
= int (x+2)dx/((x^2)-2*(1/2)x+(1/4)+(3/4)) =
= int (x+2)dx/((x-1/2)^2 + (3/4)) = (***)

Сделаем замену
y = x - (1/2)
dy = dx

(***) = int (y+(5/2))dy/((y^2)+(3/4)) =
= int ydy/((y^2)+(3/4)) + (5/2)*int dy/((y^2)+(3/4)) =
= (1/2)*int d((y^2)+(3/4))/((y^2)+(3/4)) +
+ (5/2)*int dy/((y^2)+(3/4)) =
= (1/2)*ln((y^2)+(3/4)) + (5/2)*(2/sqrt(3))*arctg(2y/sqrt(3)) =

= (1/2)*ln((x^2)-x+1) + (5/sqrt(3))*arctg((2x-1)/sqrt(3))

(**) = (1/2)(x^2) + x + (1/2)*ln((x^2)-x+1) +
+ (5/sqrt(3))*arctg((2x-1)/sqrt(3)) + const

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 16 марта 2009 12:15 | IP
RKI



Долгожитель


Цитата: youngtill1die написал 15 марта 2009 16:44
вот интегралы
http://slil.ru/27240711



14) int xdx/(5(x^2)+2x+3) = (*)

Рассмотрим знаменатель подынтегральной функции
5(x^2) + 2x + 3 =
= 5(x^2) + 5*(2/5)x + 3 =
= 5((x^2)+(2/5)x) + 3 =
= 5((x^2)+(2/5)x+(1/25)-(1/25)) + 3 =
= 5((x^2)+(2/5)x+(1/25)) - (1/5) + 3 =
= 5(x+(1/5))^2 + (14/5)

(*) = int xdx/(5(x+(1/5))^2 + (14/5)) =
= (1/5)*int xdx/((x+(1/5))^2 + (14/25)) = (**)

Сделаем замену
y = x + 1/5
dy = dx

(**) = (1/5)*int (y-(1/5))dy/((y^2)+(14/25)) =

= (1/5)*int ydy/((y^2)+(14/25)) - (1/25)*int dy/((y^2)+(14/25)) =

= (1/10)*int d((y^2)+(14/25))/((y^2)+(14/25)) -
- (1/25)*int dy/((y^2)+(14/25)) =

= (1/10)*ln((y^2)+(14/25)) -
- (1/25)*(5/sqrt(14))*arctg(5y/sqrt(14)) + const =

= (1/10)*ln((x^2)+(2/5)x+(3/5)) -
- (1/5sqrt(14))*arctg((5x+1)/sqrt(14)) + const

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 16 марта 2009 12:29 | IP
RKI



Долгожитель


Цитата: youngtill1die написал 15 марта 2009 16:44
вот интегралы
http://slil.ru/27240711



10)

Рассмотрим следующие три интеграла

(I) = int arctgydy =

по частям

= y*arctgy - int yd(arctgy) =

= y*arctgy - int ydy/(1+(y^2)) =

= y*arctgy - (1/2)*int d((y^2)+1)/(1+(y^2)) =

= y*arctgy - (1/2)*ln(1+(y^2)) + const
---------------------------------------------------------------------
(II) = int y*arctgy dy =

= (1/2)*int arctgy d(y^2) =

по частям

= (1/2)*(y^2)*arctgy - (1/2)*int (y^2)d(arctgy) =

= (1/2)*(y^2)*arctgy - (1/2)*int (y^2)dy/(1+(y^2)) =

= (1/2)*(y^2)*arctgy - (1/2)*int ((y^2)+1-1)dy/(1+(y^2)) =

= (1/2)*(y^2)*arctgy - (1/2)*int dy + (1/2)*int dy/(1+(y^2)) =

= (1/2)*(y^2)*arctgy - (1/2)y + (1/2)arctgy + const
--------------------------------------------------------------------------
(III) = int (y^2)*arctgy dy =

= (1/3)*int arctgy d(y^3) =

по частям

= (1/3)*(y^3)*arctgy - (1/3)*int (y^3)d(arctgy) =

= (1/3)*(y^3)*arctgy - (1/3)*int (y^3)dy/(1+(y^2)) =

= (1/3)*(y^3)*arctgy - (1/3)*int (y(1+(y^2))-y)dy/(1+(y^2)) =

= (1/3)*(y^3)*arctgy - (1/3)*int ydy + (1/3)*int ydy/(1+(y^2)) =

= (1/3)*(y^3)*arctgy - (1/6)*(y^2) + (1/6)*int d(1+(y^2))/(1+(y^2)) =

= (1/3)*(y^3)*arctgy - (1/6)*(y^2) + (1/6)*ln(1+(y^2)) + const
------------------------------------------------------------------------------

int (x^2)*arctg(2x+3)dx = (*)

Сделаем замену
y = 2x + 3
x = (1/2)y - (3/2)
dx = (1/2)dy

(*) = (1/2)*int [((1/2)y-(3/2))^2]*arctgy dy =

= (1/2)*int ((1/4)(y^2)-(3/2)y+(9/4))*arctgy dy =

= (1/8)*int (y^2)*arctgy dy - (3/4)*int y*arctgy dy +
+ (9/8)*int arctgy dy =

= (1/8)*(III) - (3/4)*(II) + (9/8)*(I) =

= (1/24)*(y^3)*arctgy - (1/48)*(y^2) + (1/48)*ln(1+(y^2)) -
- (3/8)*(y^2)*arctgy + (3/8)y - (3/8)arctgy +
+ (9/8)*y*arctgy - (9/16)*ln(1+(y^2)) + const =

= (1/24)*arctgy*((y^3) - 9(y^2) + 27y - 9) -
- (1/48)*y*(y-18) - (13/24)*ln(1+(y^2)) + const =

= (1/24)*arctg(2x+3)*(8(x^3)+18) -
- (1/48)*(4(x^2)-24x-45) - (13/24)*ln(4(x^2)+12x+10) =

= (1/12)*arctg(2x+3)*(4(x^3)+9) -
- (1/48)*(4(x^2)-24x-45) - (13/24)*ln(4(x^2)+12x+10) + const

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 16 марта 2009 13:50 | IP
RKI



Долгожитель


Цитата: youngtill1die написал 15 марта 2009 16:44
вот интегралы
http://slil.ru/27240711



21) int (sin3x)(cos5x)dx = (*)

(sin3x)(cos5x) =
= (1/2)*sin(3x+5x) + (1/2)*sin(3x-5x) =
= (1/2)*sin8x + (1/2)*sin(-2x) =
= (1/2)*sin8x - (1/2)*sin2x

(*) = int [(1/2)*sin8x - (1/2)*sin2x]dx =

= (1/2)*int (sin8x)dx - (1/2)*int (sin2x)dx =

= (1/16)*int (sin8x)d(8x) - (1/4)*int (sin2x)d(2x) =

= - (1/16)*(cos8x) + (1/4)*(cos2x) + const =

= (1/4)*(cos2x) - (1/16)*(cos8x) + const

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 16 марта 2009 13:56 | IP
RKI



Долгожитель


Цитата: youngtill1die написал 15 марта 2009 16:44
вот интегралы
http://slil.ru/27240711



22) int ((cos(2x/3))^2)dx =

= int ((1+cos(4x/3))/2)dx =

= int (1/2)dx + int (1/2)(cos(4x/3))dx =

= (1/2)*int dx + (1/2)*int (cos(4x/3))dx =

= (1/2)x + (3/8)*int (cos(4x/3))d(4x/3) =

= (1/2)x + (3/8)*sin(4x/3) + const

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 16 марта 2009 14:02 | IP
RKI



Долгожитель


Цитата: youngtill1die написал 15 марта 2009 16:44
вот интегралы
http://slil.ru/27240711



23) int (sin(x/8))^3 dx = (*)

Сделаем замену
y = x/8
x = 8y
dx = 8dy

(*) = 8*int (siny)^3 dy =

= 8*int ((siny)^2)*siny*dy =

= - 8*int (1-(cosy)^2)*d(cosy) =

= 8*int ((cosy)^2 - 1)*d(cosy) =

= 8*(1/3)*(cosy)^3 - 8*cosy + const =

= (8/3)*(cos(x/8))^3 - 8*(cos(x/8)) + const

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 16 марта 2009 14:11 | IP
grignata



Новичок

проверьте, пожалуйста
int (от 1 до 2) (dx/sh^2 (5x)) =1/5 int (от 1 до 2) (d(5x)/sh^2 (5x))= 1/5*(-cth(5x) ) |(от 1 до 2)=1/5*(-cth(10)+cth(5) )

Всего сообщений: 30 | Присоединился: февраль 2009 | Отправлено: 16 марта 2009 14:16 | IP
RKI



Долгожитель

int dx/(sh(5x))^2 = (1/5)*int d(5x)/(sh(5x))^2 =
= (1/5)*int dy/(shy)^2 =
= - (1/5)*cthy + C =
= (-1/5)*cth(5x) + C

int_{1}^{2} dx/(sh(5x))^2 =
= - (1/5)*cth10 + (1/5)*cth5

Да, верно

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 16 марта 2009 14:52 | IP

Эта тема закрыта, новые ответы не принимаются

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 ]

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com