RKI 
Долгожитель
|
   
Цитата: beresnevvitaliy написал 4 апр. 2009 10:33
int dx/(cosx)^3
int dx/1+cosx;
int dx/(cosx)^3 = int (cosx)dx/(cosx)^4 =
= int d(sinx)/((cosx)^2)^2 = int d(sinx)/(1 - (sinx)^2)^2 =
y = sinx
= int dy/(1 - y^2)^2 = (**)
1/(1 - y^2)^2 = 1/((1-y)^2)((1+y)^2) =
= A/(1-y) + B/(1-y)^2 + C/(1+y) + D/(1+y)^2
1/(1-y^2)^2 =
= [A(1-y)(1+y)^2 + B(1+y)^2 + C(1+y)(1-y)^2 + D(1-y)^2]/(1-y^2)^2
1 = A(1-y)(1+y)^2 + B(1+y)^2 + C(1+y)(1-y)^2 + D(1-y)^2
1 = A(1 + y - y^2 - y^3) + B(1 + 2y + y^2) +
+ C(1 - y - y^2 + y^3) + D(1 - 2y + y^2)
при y^3: 0 = - A + C
при y^2: 0 = - A + B - C + D
при y^1: 0 = A + 2B - C - 2D
при y^0: 1 = A + B + C + D
A = B = C = D = 1/4
1/(1 - y^2)^2 = 1/((1-y)^2)((1+y)^2) =
= 1/4(1-y) + 1/4(1-y)^2 + 1/4(1+y) + 1/4(1+y)^2
(**) = (1/4)*int dy/(1-y) + (1/4)*int dy/(1-y)^2 +
+ (1/4)*int dy/(1+y) + (1/4)*int dy/(1+y)^2 =
= - (1/4)*int d(1-y)/(1-y) - (1/4)*int d(1-y)/(1-y)^2 +
+ (1/4)*int d(1+y)/(1+y) + (1/4)*int d(1+y)/(1+y)^2 =
- (1/4)ln|1-y| + 1/4(1-y) + (1/4)ln|1+y| - 1/4(1+y) + const =
= - (1/4)*(ln|1-y| - ln|1+y|) + y/2(1-y)(1+y) + const =
= (1/4)*(ln|1+y| - ln|1-y|) + y/2(1-y^2) + const =
= (1/4)*(ln|1+sinx| - ln|1-sinx|) + sinx/2(1-(sinx)^2) + const =
= (1/4)*ln|(1+sinx)/(1-sinx)| + sinx/2(cosx)^2 + const
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 4 апр. 2009 11:06 | IP
|
|
madTex
Новичок
|
внешняя ссылка удалена
тут всё разобрано
|
Всего сообщений: 48 | Присоединился: апрель 2009 | Отправлено: 4 апр. 2009 11:27 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
To OMad
4) int dx/(9x - 1 + 8sqrt(9x-17)) =
= int dx/(4 + sqrt(9x-17))^2 = (*)
y = sqrt(9x-17)
9x - 17 = y^2
9x = y^2 + 17
x = (1/9)(y^2) + 17/9
dx = (2/9)ydy
(*) = (2/9)*int ydy/(4 + y)^2 = (**)
y/(4 + y)^2 = A/(4+y) + B/(4+y)^2
y/(4 + y)^2 = [A(4+y) + B]/(4+y)^2
y = A(4+y) + B
при y^1: 1 = A
при y^0: 0 = 4A + B
A = 1; B = -4
y/(4 + y)^2 = A/(4+y) + B/(4+y)^2
y/(4 + y)^2 = 1/(4+y) - 4/(4+y)^2
(**) = (2/9)*int dy/(4+y) - (8/9)*int dy/(4+y)^2 =
= (2/9)*int d(4+y)/(4+y) - (8/9)*int d(4+y)/(4+y)^2 =
= (2/9)*ln|4+y| + (8/9)*1/(4+y) + const =
= (2/9)*ln|4 + sqrt(9x-17)| + (8/9)*1/(4+sqrt(9x-17)) + const
Ответ. 8/9
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 4 апр. 2009 11:31 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
To OMad
3) int (x^2 + 4x - 3)dx/sqrt(3-2x) = (*)
y = sqrt(3-2x)
3 - 2x = y^2
2x = 3 - y^2
x = 3/2 - (1/2)(y^2)
dx = - ydy
x^2 + 4x - 3 =
= (9/4) - (3/2)(y^2) + (1/4)(y^4) + 6 - 2(y^2) - 3 =
= (1/4)(y^4) - (7/2)(y^2) + (21/4)
(*) = int [(1/4)(y^4) - (7/2)(y^2) + (21/4)](-y)dy/y =
= int [-(1/4)(y^4) + (7/2)(y^2) - (21/4)]dy =
= - (1/20)(y^5) + (7/6)(y^3) - (21/4)y + const =
= - (1/20)(sqrt(3-2x))^5 + (7/6)(sqrt(3-2x))^3 -
- (21/4)(sqrt(3-2x)) + const
Ответ. - 1/20
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 4 апр. 2009 11:53 | IP
|
|
OMad
Новичок
|
Большое спасибо, RKI!
|
Всего сообщений: 28 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 4 апр. 2009 12:20 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: FireFenix написал 4 апр. 2009 10:46
1) int sqrt(1 + x^2) / (x^4) dx
2) int sin(ln(x)) dx
3) int (x^2)/(1 - x^4)
4) int (x^2 - 2*x + 3) / ((x - 1)*(x^3 - 4*x^2 + 3*x))
Буду премного благодарен =)
1) int sqrt(1+x^2)dx/(x^4) =
= int sqrt((x^2)(1/x^2 + 1))dx/(x^4) =
= int x*sqrt(1/x^2 + 1)dx/(x^4) =
= int sqrt(1/x^2 + 1)dx/(x^3) =
y = 1/x^2 + 1
dy = - 2dx/(x^3) => dx/(x^3) = - (1/2)dy
= (-1/2)*int sqrt(y)dy =
= - (1/3)(y^(3/2)) + const =
= - (1/3)(1 + 1/x^2)^(3/2) + const
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 4 апр. 2009 12:27 | IP
|
|
beresnevvitaliy
Начинающий
|
 
int (2x+6)dx/sqrt(x^2+6x-2) => ответ 4sqrt(x^2+6x-2) - просто помогите решить с подведением под знак дифференциала.
|
Всего сообщений: 52 | Присоединился: март 2009 | Отправлено: 4 апр. 2009 12:35 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: FireFenix написал 4 апр. 2009 10:46
1) int sqrt(1 + x^2) / (x^4) dx
2) int sin(ln(x)) dx
3) int (x^2)/(1 - x^4)
4) int (x^2 - 2*x + 3) / ((x - 1)*(x^3 - 4*x^2 + 3*x))
Буду премного благодарен =)
2) int sin(lnx)dx =
y = lnx
dy = dx/x = dx/(e^y) => dx = (e^y)dy
= int (siny)(e^y)dy = - int (e^y)d(cosy) =
= - (e^y)(cosy) + int (cosy)d(e^y) =
= - (e^y)(cosy) + int (cosy)(e^y)dy =
= - (e^y)(cosy) + int (e^y)d(siny) =
= - (e^y)(cosy) + (e^y)(siny) - int (siny)d(e^y) =
= (e^y)(siny - cosy) - int (siny)(e^y)dy
int (siny)(e^y)dy = (e^y)(siny - cosy) - int (siny)(e^y)dy
2*int (siny)(e^y)dy = (e^y)(siny - cosy) + const
int (siny)(e^y)dy = (1/2)(e^y)(siny - cosy) + const
int (sin(lnx))x*d(lnx) = (1/2)x(sin(lnx) - cos(lnx)) + const
int sin(lnx)dx = (1/2)x(sin(lnx) - cos(lnx)) + const
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 4 апр. 2009 12:36 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: beresnevvitaliy написал 4 апр. 2009 12:35
int (2x+6)dx/sqrt(x^2+6x-2) => ответ 4sqrt(x^2+6x-2) - просто помогите решить с подведением под знак дифференциала.
int (2x+6)dx/sqrt(x^2 + 6x - 2) =
= int d(x^2 + 6x - 2)/sqrt(x^2 + 6x - 2) =
= 2sqrt(x^2 + 6x - 2) + const
P.S. 4sqrt(x^2+6x-2) - не может быть решением!
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 4 апр. 2009 12:40 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: FireFenix написал 4 апр. 2009 10:46
1) int sqrt(1 + x^2) / (x^4) dx
2) int sin(ln(x)) dx
3) int (x^2)/(1 - x^4)
4) int (x^2 - 2*x + 3) / ((x - 1)*(x^3 - 4*x^2 + 3*x))
Буду премного благодарен =)
3) int (x^2)dx/(1 - x^4) = int (x^2)dx/(1-x^2)(1+x^2) =
= int (x^2)dx/(1-x)(1+x)(1+x^2) = (**)
(x^2)/(1-x)(1+x)(1+x^2) = A/(1-x) + B/(1+x) + (Cx+D)/(1+x^2)
(x^2)/(1-x)(1+x)(1+x^2) =
= [A(1+x)(1+x^2) + B(1-x)(1+x^2) + (Cx+D)(1-x^2)]/(1+x)(1-x)(1+x^2)
x^2 = A(1 + x + x^2 + x^3) + B(1 - x + x^2 - x^3) +
+ C(x - x^3) + D(1 - x^2)
при x^3: 0 = A - B - C
при x^2: 1 = A + B - D
при x^1: 0 = A - B + C
при x^0: 0 = A + B + D
A = 1/4; B = 1/4; C = 0; D = -1/2
(x^2)/(1-x)(1+x)(1+x^2) = A/(1-x) + B/(1+x) + (Cx+D)/(1+x^2)
(x^2)/(1-x)(1+x)(1+x^2) = 1/4(1-x) + 1/4(1+x) - 1/2(1+x^2)
(**) = (1/4)*int dx/(1-x) + (1/4)*int dx/(1+x) -
- (1/2)*int dx/(1+x^2) =
= - (1/4)*int d(1-x)/(1-x) + (1/4)*int d(1+x)/(1+x) -
- (1/2)*int dx/(1+x^2) =
= - (1/4)*ln|1-x| + (1/4)*ln|1+x| - (1/2)*arctg(x) + const =
= (1/4)*ln|(1+x)/(1-x)| - (1/2)arctg(x) + const
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 4 апр. 2009 12:54 | IP
|
|
Форум
Интегрирование - 2
