RKI 
Долгожитель
|
   
Цитата: youngtill1die написал 15 марта 2009 16:44
вот интегралы
внешняя ссылка удалена
8) int (x+1)dx/x*sqrt(x-2) =
= int xdx/x*sqrt(x-2) + int dx/x*sqrt(x-2) =
= int dx/sqrt(x-2) + int dx/x*sqrt(x-2) = (*)
int dx/sqrt(x-2) = int d(x-2)/sqrt(x-2) = 2sqrt(x-2)
int dx/x*sqrt(x-2) = (**)
Сделаем замену x-2 = y^2
x = (y^2)+2
dx = 2ydy
(**) = int 2ydy/((y^2)+2)y =
= 2*int dy/((y^2)+2) =
= 2*[1/sqrt(2)]*arctg(y/sqrt(2)) =
= sqrt(2)*arctg(sqrt((x-2)/2))
(*) = 2sqrt(x-2) + sqrt(2)*arctg(sqrt((x-2)/2)) + const
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 16 марта 2009 11:24 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: youngtill1die написал 15 марта 2009 16:44
вот интегралы
внешняя ссылка удалена
15) int (x+1)dx/((x^2)+1)((x^2)-x) = (*)
Рассмотрим подынтегральную функцию
(x+1)/((x^2)+1)((x^2)-x) =
= (x+1)/((x^2)+1)x(x-1) =
= (Ax+B)/((x^2)+1) + C/x + D/(x-1)
(x+1)/((x^2)+1)((x^2)-x) = (Ax+B)/((x^2)+1) + C/x + D/(x-1)
(x+1)/((x^2)+1)((x^2)-x) =
= [(Ax+B)((x^2)-x)+C((x^2)+1)(x-1) + Dx((x^2)+1)]/((x^2)+1)((x^2)-x)
x+1 = (Ax+B)((x^2)-x)+C((x^2)+1)(x-1) + Dx((x^2)+1)
x+1 = A(x^3) - A(x^2) + B(x^2) - Bx + C(x^3) - C(x^2) + Cx - C +
+ D(x^3) + Dx
при x^3: 0 = A + C + D
при x^2: 0 = - A + B - C
при x^1: 1 = - B + C + D
при x^0: 1 = - C
{A+C+D=0; -A+B-C=0; -B+C+D=1; -C=1
{A=0; B=-1; C=-1; D=1
(x+1)/((x^2)+1)((x^2)-x) =
= - 1/((x^2)+1) - 1/x + 1/(x-1)
(*) int [- 1/((x^2)+1) - 1/x + 1/(x-1)]dx =
= int dx/(x-1) - int dx/((x^2)+1) - int dx/x =
= int d(x-1)/(x-1) - int dx/((x^2)+1) - int dx/x =
= ln|x-1| - arctg(x) - ln|x| + const
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 16 марта 2009 11:56 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: youngtill1die написал 15 марта 2009 16:44
вот интегралы
внешняя ссылка удалена
16) int ((x^3)+x+3)dx/((x^2)-x+1) = (*)
Рассмотримподынтегральную функцию
((x^3)+x+3)/((x^2)-x+1) =
= [(x+1)((x^2)-x+1)+(x+2)]/((x^2)-x+1) =
= (x+1) + (x+2)/((x^2)-x+1)
(*) = int [(x+1) + (x+2)/((x^2)-x+1)]dx =
= int (x+1)dx + int (x+2)dx/((x^2)-x+1) =
= int xdx + int dx + int (x+2)dx/((x^2)-x+1) = (**)
Рассмотрим подробнее последний интеграл
int (x+2)dx/((x^2)-x+1) =
= int (x+2)dx/((x^2)-2*(1/2)x+1) =
= int (x+2)dx/((x^2)-2*(1/2)x+(1/4)-(1/4)+1) =
= int (x+2)dx/((x^2)-2*(1/2)x+(1/4)+(3/4)) =
= int (x+2)dx/((x-1/2)^2 + (3/4)) = (***)
Сделаем замену
y = x - (1/2)
dy = dx
(***) = int (y+(5/2))dy/((y^2)+(3/4)) =
= int ydy/((y^2)+(3/4)) + (5/2)*int dy/((y^2)+(3/4)) =
= (1/2)*int d((y^2)+(3/4))/((y^2)+(3/4)) +
+ (5/2)*int dy/((y^2)+(3/4)) =
= (1/2)*ln((y^2)+(3/4)) + (5/2)*(2/sqrt(3))*arctg(2y/sqrt(3)) =
= (1/2)*ln((x^2)-x+1) + (5/sqrt(3))*arctg((2x-1)/sqrt(3))
(**) = (1/2)(x^2) + x + (1/2)*ln((x^2)-x+1) +
+ (5/sqrt(3))*arctg((2x-1)/sqrt(3)) + const
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 16 марта 2009 12:15 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: youngtill1die написал 15 марта 2009 16:44
вот интегралы
внешняя ссылка удалена
14) int xdx/(5(x^2)+2x+3) = (*)
Рассмотрим знаменатель подынтегральной функции
5(x^2) + 2x + 3 =
= 5(x^2) + 5*(2/5)x + 3 =
= 5((x^2)+(2/5)x) + 3 =
= 5((x^2)+(2/5)x+(1/25)-(1/25)) + 3 =
= 5((x^2)+(2/5)x+(1/25)) - (1/5) + 3 =
= 5(x+(1/5))^2 + (14/5)
(*) = int xdx/(5(x+(1/5))^2 + (14/5)) =
= (1/5)*int xdx/((x+(1/5))^2 + (14/25)) = (**)
Сделаем замену
y = x + 1/5
dy = dx
(**) = (1/5)*int (y-(1/5))dy/((y^2)+(14/25)) =
= (1/5)*int ydy/((y^2)+(14/25)) - (1/25)*int dy/((y^2)+(14/25)) =
= (1/10)*int d((y^2)+(14/25))/((y^2)+(14/25)) -
- (1/25)*int dy/((y^2)+(14/25)) =
= (1/10)*ln((y^2)+(14/25)) -
- (1/25)*(5/sqrt(14))*arctg(5y/sqrt(14)) + const =
= (1/10)*ln((x^2)+(2/5)x+(3/5)) -
- (1/5sqrt(14))*arctg((5x+1)/sqrt(14)) + const
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 16 марта 2009 12:29 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: youngtill1die написал 15 марта 2009 16:44
вот интегралы
внешняя ссылка удалена
10)
Рассмотрим следующие три интеграла
(I) = int arctgydy =
по частям
= y*arctgy - int yd(arctgy) =
= y*arctgy - int ydy/(1+(y^2)) =
= y*arctgy - (1/2)*int d((y^2)+1)/(1+(y^2)) =
= y*arctgy - (1/2)*ln(1+(y^2)) + const
---------------------------------------------------------------------
(II) = int y*arctgy dy =
= (1/2)*int arctgy d(y^2) =
по частям
= (1/2)*(y^2)*arctgy - (1/2)*int (y^2)d(arctgy) =
= (1/2)*(y^2)*arctgy - (1/2)*int (y^2)dy/(1+(y^2)) =
= (1/2)*(y^2)*arctgy - (1/2)*int ((y^2)+1-1)dy/(1+(y^2)) =
= (1/2)*(y^2)*arctgy - (1/2)*int dy + (1/2)*int dy/(1+(y^2)) =
= (1/2)*(y^2)*arctgy - (1/2)y + (1/2)arctgy + const
--------------------------------------------------------------------------
(III) = int (y^2)*arctgy dy =
= (1/3)*int arctgy d(y^3) =
по частям
= (1/3)*(y^3)*arctgy - (1/3)*int (y^3)d(arctgy) =
= (1/3)*(y^3)*arctgy - (1/3)*int (y^3)dy/(1+(y^2)) =
= (1/3)*(y^3)*arctgy - (1/3)*int (y(1+(y^2))-y)dy/(1+(y^2)) =
= (1/3)*(y^3)*arctgy - (1/3)*int ydy + (1/3)*int ydy/(1+(y^2)) =
= (1/3)*(y^3)*arctgy - (1/6)*(y^2) + (1/6)*int d(1+(y^2))/(1+(y^2)) =
= (1/3)*(y^3)*arctgy - (1/6)*(y^2) + (1/6)*ln(1+(y^2)) + const
------------------------------------------------------------------------------
int (x^2)*arctg(2x+3)dx = (*)
Сделаем замену
y = 2x + 3
x = (1/2)y - (3/2)
dx = (1/2)dy
(*) = (1/2)*int [((1/2)y-(3/2))^2]*arctgy dy =
= (1/2)*int ((1/4)(y^2)-(3/2)y+(9/4))*arctgy dy =
= (1/8)*int (y^2)*arctgy dy - (3/4)*int y*arctgy dy +
+ (9/8)*int arctgy dy =
= (1/8)*(III) - (3/4)*(II) + (9/8)*(I) =
= (1/24)*(y^3)*arctgy - (1/48)*(y^2) + (1/48)*ln(1+(y^2)) -
- (3/8)*(y^2)*arctgy + (3/8)y - (3/8)arctgy +
+ (9/8)*y*arctgy - (9/16)*ln(1+(y^2)) + const =
= (1/24)*arctgy*((y^3) - 9(y^2) + 27y - 9) -
- (1/48)*y*(y-18) - (13/24)*ln(1+(y^2)) + const =
= (1/24)*arctg(2x+3)*(8(x^3)+18) -
- (1/48)*(4(x^2)-24x-45) - (13/24)*ln(4(x^2)+12x+10) =
= (1/12)*arctg(2x+3)*(4(x^3)+9) -
- (1/48)*(4(x^2)-24x-45) - (13/24)*ln(4(x^2)+12x+10) + const
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 16 марта 2009 13:50 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: youngtill1die написал 15 марта 2009 16:44
вот интегралы
внешняя ссылка удалена
21) int (sin3x)(cos5x)dx = (*)
(sin3x)(cos5x) =
= (1/2)*sin(3x+5x) + (1/2)*sin(3x-5x) =
= (1/2)*sin8x + (1/2)*sin(-2x) =
= (1/2)*sin8x - (1/2)*sin2x
(*) = int [(1/2)*sin8x - (1/2)*sin2x]dx =
= (1/2)*int (sin8x)dx - (1/2)*int (sin2x)dx =
= (1/16)*int (sin8x)d(8x) - (1/4)*int (sin2x)d(2x) =
= - (1/16)*(cos8x) + (1/4)*(cos2x) + const =
= (1/4)*(cos2x) - (1/16)*(cos8x) + const
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 16 марта 2009 13:56 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: youngtill1die написал 15 марта 2009 16:44
вот интегралы
внешняя ссылка удалена
22) int ((cos(2x/3))^2)dx =
= int ((1+cos(4x/3))/2)dx =
= int (1/2)dx + int (1/2)(cos(4x/3))dx =
= (1/2)*int dx + (1/2)*int (cos(4x/3))dx =
= (1/2)x + (3/8)*int (cos(4x/3))d(4x/3) =
= (1/2)x + (3/8)*sin(4x/3) + const
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 16 марта 2009 14:02 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: youngtill1die написал 15 марта 2009 16:44
вот интегралы
внешняя ссылка удалена
23) int (sin(x/8))^3 dx = (*)
Сделаем замену
y = x/8
x = 8y
dx = 8dy
(*) = 8*int (siny)^3 dy =
= 8*int ((siny)^2)*siny*dy =
= - 8*int (1-(cosy)^2)*d(cosy) =
= 8*int ((cosy)^2 - 1)*d(cosy) =
= 8*(1/3)*(cosy)^3 - 8*cosy + const =
= (8/3)*(cos(x/8))^3 - 8*(cos(x/8)) + const
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 16 марта 2009 14:11 | IP
|
|
grignata
Новичок
|
проверьте, пожалуйста
int (от 1 до 2) (dx/sh^2 (5x)) =1/5 int (от 1 до 2) (d(5x)/sh^2 (5x))= 1/5*(-cth(5x) ) |(от 1 до 2)=1/5*(-cth(10)+cth(5) )
|
Всего сообщений: 30 | Присоединился: февраль 2009 | Отправлено: 16 марта 2009 14:16 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
int dx/(sh(5x))^2 = (1/5)*int d(5x)/(sh(5x))^2 =
= (1/5)*int dy/(shy)^2 =
= - (1/5)*cthy + C =
= (-1/5)*cth(5x) + C
int_{1}^{2} dx/(sh(5x))^2 =
= - (1/5)*cth10 + (1/5)*cth5
Да, верно
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 16 марта 2009 14:52 | IP
|
|
Форум
Интегрирование - 2
