RKI 
Долгожитель
|
   
Цитата: Aleks написал 12 марта 2009 18:09
И прошу еще раз вас помочь:
внешняя ссылка удалена
25) int dx/x(x^(1/2) + x^(2/3)) = (*)
Сделаем замену
y = x^(1/6)
x = y^6
dx = 6(y^5)dy
x^(1/2) = x^(3/6) = y^3
x^(2/3) = x^(4/6) = y^4
(*) = 6(y^5)dy/(y^6)(y^3 + y^4) =
= 6*int dy/y(y^3 + y^4) =
= 6*int dy/(y^4)(1+y) = (**)
1/(y^4)(1+y) = A/y + B/(y^2) + C/(y^3) + D/(y^4) + E/(1+y)
1 = A(y^3)(1+y) + B(y^2)(1+y) + Cy(y+1) + D(y+1) + E(y^4)
1 = A(y^3) + A(y^4) + B(y^2) + B(y^3) + C(y^2) + Cy + Dy + D +
+ E(y^4)
1 = (y^4)(A+E) + (y^3)(A+B) + (y^2)(B+C) + y(C+D) + D
A+E=0; A+B=0; B+C=0; C+D=0; D=1
A = -1; B = 1; C = -1; D = 1; E = 1
1/(y^4)(1+y) = - 1/y + 1/(y^2) - 1/(y^3) + 1/(y^4) + 1/(1+y)
(**) = 6*int [- 1/y + 1/(y^2) - 1/(y^3) + 1/(y^4) + 1/(1+y)]dy =
= - 6*int dy/y + 6*int dy/(y^2) - 6*int dy/(y^3) +
+ 6*int dy/(y^4) + 6*int dy/(1+y) =
= - 6*ln|y| - 6/y + 3/(y^2) - 2/(y^3) + 6*ln|1+y| + const =
= - 6*ln|x^(1/6)| - 6/(x^(1/6)) + 3/(x^(1/3)) -
- 2/(x^(1/2)) + 6*ln|1+x^(1/6)| + const =
= - ln|x| - 6/(x^(1/6)) + 3/(x^(1/3)) - 2/(x^(1/2)) +
+ 6*ln|1+x^(1/6)| + const
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 13 марта 2009 15:56 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Rromashka написал 13 марта 2009 14:30
Помогите пожалуйста, очень срочно надо!
Интеграл arcsin(22x+8)
int arcsin(22x+8)dx =
Сделаем замену
y = 22x+8
dy = 22dx => dx = dy/22
= (1/22)*int arcsiny dy =
по частям
= (1/22)*y*arcsiny - (1/22)*int y d(arcsiny) =
= (1/22)*y*arcsiny - (1/22)*int ydy/sqrt(1-y^2) =
сделаем замену
z = 1 - y^2
dz = - 2ydy => ydy = - (1/2)dz
= (1/22)*y*arcsiny + (1/44)*int dz/sqrt(z) =
= (1/22)*y*arcsiny + (1/22)*sqrt(z) + const =
= (1/22)*y*arcsiny + (1/22)*sqrt(1-y^2) + const =
= (1/22)*(22x+8)*arcsin(22x+8) +
+ (1/22)*sqrt(1-(22x+8)^2) + const
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 13 марта 2009 16:36 | IP
|
|
grignata
Новичок
|
RKI, а мне поможете? вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость
интеграл от 0 до пи/2
e^tgx dx/cos^2 (x)
пожалуйста
(Сообщение отредактировал grignata 13 марта 2009 16:50)
(Сообщение отредактировал grignata 13 марта 2009 16:51)
|
Всего сообщений: 30 | Присоединился: февраль 2009 | Отправлено: 13 марта 2009 16:50 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: grignata написал 13 марта 2009 16:50
интеграл от 0 до пи/2
e^tgx dx/cos^2 (x)
int (e^(tgx))dx/(cosx)^2 =
Сделаем замену
y = tgx
dy = dx/(cosx)^2
= int (e^y)dy = (e^y) + const =
= (e^(tgx)) + const
int _{0}^{П/2} (e^(tgx))dx/(cosx)^2 =
= e^(tgx) |_{0}^{П/2}
Посмотрим значение e^(tgx) в точке x=П/2
lim_{x->П/2-0} e^(tgx) = +бесконечность
lim_{x->П/2+0} e^(tgx) = 0
Таким образом,
lim_{x->П/2} e^(tgx) не существует
Следовательно, данный интеграл расходится
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 13 марта 2009 17:03 | IP
|
|
Rromashka
Участник
|
 
Огромное спасибо, я тоже этим путем шла, но до второй замены не додумалась! Спасибо!
А может еще один? :-)
интеграл (x^2)*cos(22x-1)dx
|
Всего сообщений: 110 | Присоединился: март 2009 | Отправлено: 13 марта 2009 17:06 | IP
|
|
grignata
Новичок
|
ура!!! спасибо большое, я перед этим ещё один писала
интеграл от 0 до бесконечности
(x+2)dx/(x^2+4x+1)^(4/3)
у меня получилось 3/2, проверьте пожалуйста
|
Всего сообщений: 30 | Присоединился: февраль 2009 | Отправлено: 13 марта 2009 17:09 | IP
|
|
grignata
Новичок
|
Цитата: Rromashka написал 13 марта 2009 17:06
Огромное спасибо, я тоже этим путем шла, но до второй замены не додумалась! Спасибо!
А может еще один? :-)
интеграл (x^2)*cos(22x-1)dx
u=x^2 du=2xdx
dv=cos(22x-1)dx v=1/22 * sin (22x-1)
=(x^2)/22 * sin (22x-1) - 1/11 * int x*sin (22x-1)
u=x du=dx
dv=sin (22x-1) v=-1/22 * cos(22x-1)
= =(x^2)/22 * sin (22x-1) - 1/11 *(-1/22 * cos(22x-1) + 1/22 *int cos(22x-1)dx )
.... немного упростить и подсчитать и всё
|
Всего сообщений: 30 | Присоединился: февраль 2009 | Отправлено: 13 марта 2009 17:14 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Rromashka написал 13 марта 2009 17:06
Огромное спасибо, я тоже этим путем шла, но до второй замены не додумалась! Спасибо!
А может еще один? :-)
интеграл (x^2)*cos(22x-1)dx
int (x^2)*cos(22x-1)dx =
= (1/22)*int (x^2)*d(sin(22x-1)) =
по частям
= (1/22)*(x^2)*sin(22x-1) - (1/22)*int sin(22x-1)*d(x^2) =
= (1/22)*(x^2)*sin(22x-1) - (1/11)*int x*sin(22x-1)dx =
= (1/22)*(x^2)*sin(22x-1) + (1/242)*int x*d(cos(22x-1)) =
= (1/22)*(x^2)*sin(22x-1) + (1/242)*x*cos(22x-1) -
- (1/242)*int cos(22x-1) dx =
= (1/22)*(x^2)*sin(22x-1) + (1/242)*x*cos(22x-1) -
- (1/5324)*sin(22x-1) + const
Два раза применяется формула по частям.
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 13 марта 2009 17:18 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: grignata написал 13 марта 2009 17:09
ура!!! спасибо большое, я перед этим ещё один писала
интеграл от 0 до бесконечности
(x+2)dx/(x^2+4x+1)^(4/3)
у меня получилось 3/2, проверьте пожалуйста
int (x+2)dx/(x^2+4x+1)^(4/3) =
y = x^2+4x+1
dy = (2x+4)dx = 2(x+2)dx
= (1/2)*int dy/y^(4/3) = - (3/2)*(y^(-1/3)) + const
= - (3/2)*(x^2+4x+1)^(-1/3) + const
int_{0}^{+бесконечность} (x+2)dx/(x^2+4x+1)^(4/3) =
= - (3/2)*(x^2+4x+1)^(-1/3) |_{0}^{+бесконечность} =
= 0 + 3/2 = 3/2
Ряд сходится
(Сообщение отредактировал RKI 13 марта 2009 17:46)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 13 марта 2009 17:25 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Aleks написал 12 марта 2009 18:09
И прошу еще раз вас помочь:
внешняя ссылка удалена
28) int dx/((x^2+9)^(3/2)) = (*)
Сделаем замену
x = 3tgy
(x^2) + 9 = 9(tgy)^2 + 9 = 9((tgy)^2 + 1) = 9/(cosy)^2
(x^2+9)^(3/2) = (9/(cosy)^2)^(3/2) = 27/(cosy)^3
dx = 3/(cosy)^2
dx/((x^2+9)^(3/2)) = (1/9)*cosy
(*) = (1/9)*int (cosy)dy =
= (1/9)*(siny) + const =
= (1/9)*sin(arctg(x/3)) + const =
= (1/9)*x/sqrt(9+x^2) + const
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 13 марта 2009 17:37 | IP
|
|
Форум
Интегрирование - 2
