RKI 
Долгожитель
|
   
Цитата: Aleks написал 12 марта 2009 18:09
И прошу еще раз вас помочь:
внешняя ссылка удалена
15) int dx/x(x^2-6x+9) =
= int dx/x(x-3)^2 = (*)
Рассмотрим подынтегральное выражение.
1/x(x-3)^2 = A/x + B/(x-3) + C/(x-3)^2
Необходимо найти коэффициенты A, B, C
1/x(x-3)^2 = [A(x-3)^2 + Bx(x-3) + Cx]/x(x-3)^2
Знаменатель совпадает, поэтому приравниваем числители
1 = A(x-3)^2 + Bx(x-3) + Cx
1 = A(x^2-6x+9) + B(x^2-3x) + Cx
при x^2: 0 = A+B
при x^1: 0 = -6A-3B+C
при x^0: 1 = 9A
Необходимо решить систему:
{9A=1; A+B=0; C-6A-3B=0
{A=1/9; B=-1/9; C=1/3
1/x(x-3)^2 = A/x + B/(x-3) + C/(x-3)^2
1/x(x-3)^2 = (1/9)*(1/x) - (1/9)*1/(x-3) + (1/3)*1/(x-3)^2
(*) = int [(1/9)*(1/x) - (1/9)*1/(x-3) + (1/3)*1/(x-3)^2]dx =
= (1/9)*int dx/x - (1/9)*int dx/(x-3) + (1/3)*int dx/(x-3)^2 =
= (1/9)*int dx/x - (1/9)*int d(x-3)/(x-3) + (1/3)*int d(x-3)/(x-3)^2
= (1/9)*ln|x| - (1/9)*ln|x-3| - (1/3)*(1/x) + const =
= (1/9)*ln|x| - (1/9)*ln|x-3| - 1/(3x) + const
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 13 марта 2009 14:26 | IP
|
|
Rromashka
Участник
|
 
Помогите пожалуйста, очень срочно надо!
Интеграл arcsin(22x+8)
|
Всего сообщений: 110 | Присоединился: март 2009 | Отправлено: 13 марта 2009 14:30 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Aleks написал 12 марта 2009 18:09
И прошу еще раз вас помочь:
внешняя ссылка удалена
17) int dx/(x^3+x) =
= int dx/x(x^2+1) = (*)
Рассмотрим подынтегральную функцию
1/x(x^2+1) = A/x + (Bx+C)/(x^2+1)
Необходимо найти коэффициенты A, B, C
1/x(x^2+1) = [A(x^2+1) + (Bx+C)x]/x(x^2+1)
Знаменатели равны, поэтому приравниваем числители
1 = A(x^2+1) + (Bx+C)x
1 = A(x^2) + A + B(x^2) + Cx
при x^2: 0 = A+B
при x^1: 0 = C
при x^0: 1 = A
{A=1; C=0; A+B=0
{A=1; B=-1; C=0
1/x(x^2+1) = A/x + (Bx+C)/(x^2+1)
1/x(x^2+1) = 1/x - x/(x^2+1)
(*) = int [1/x - x/(x^2+1)]dx =
= int dx/x - int xdx/(x^2+1) =
= ln|x| - int xdx/(x^2+1) = (**)
Сделаем замену
y = x^2 + 1
dy = 2xdx => xdx = (1/2)dy
(**) = ln|x| - (1/2)*int dy/y =
= ln|x| - (1/2)*ln|y| + const =
= ln|x| - (1/2)*ln(x^2+1) + const
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 13 марта 2009 14:35 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Aleks написал 12 марта 2009 18:09
И прошу еще раз вас помочь:
внешняя ссылка удалена
18) int sin(5x/2)*cos(x/2)dx = (*)
sin(5x/2)*cos(x/2) =
= (1/2)*sin((5x/2)+(x/2)) + (1/2)*sin((5x/2)-(x/2)) =
= (1/2)*sin3x + (1/2)*sin2x
(*) = (1/2)*int (sin3x)dx + (1/2)*int (sin2x)dx = (**)
В первом интеграле сделаем замену
y = 3x
dy = 3dx => dx = (1/3)dy
Во втором интеграле сделаем замену
z = 2x
dz = 2dx => dx = (1/2)dz
(**) = (1/6)*int (siny)dy + (1/4)*int (sinz)dz =
= - (1/6)*(cosy) - (1/4)*(cosz) + const =
= - (1/6)*(cos3x) - (1/4)*(cos2x) + const
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 13 марта 2009 14:44 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Aleks написал 12 марта 2009 18:09
И прошу еще раз вас помочь:
внешняя ссылка удалена
19) int ((cos(3x/2))^4)dx = (*)
(cos(3x/2))^4 =
= ((cos(3x/2))^2)^2 =
= ((1+cos3x)/2)^2 =
= (1/4)*(1+cos3x)^2 =
= (1/4)*(1 + 2cos3x + (cos3x)^2) =
= (1/4) + (1/2)*(cos3x) + (1/4)*(cos3x)^2 =
= (1/4) + (1/2)*(cos3x) + (1/4)*(1+cos6x)/2 =
= (1/4) + (1/2)*(cos3x) + (1/8)*(1+cos6x) =
= (1/4) + (1/2)*(cos3x) + (1/8) + (1/8)*(cos6x) =
= (3/8) + (1/2)*(cos3x) + (1/8)*(cos6x)
(*) = (3/8)*int dx + (1/2)*int (cos3x)dx + (1/8)*int (cos6x)dx =
= (3/8)x + (1/6)*int (cos3x)d(3x) + (1/48)*int (cos6x)d(6x) =
= (3/8)x + (1/6)*(sin3x) + (1/48)*(sin6x) + const
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 13 марта 2009 14:56 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Aleks написал 12 марта 2009 18:09
И прошу еще раз вас помочь:
внешняя ссылка удалена
20) int ((sinx)^7)dx =
= int ((sinx)^6)*(sinx)dx = (*)
(sinx)^6 =
= ((sinx)^2)^3 =
= (1-(cosx)^2)^3 =
= 1 - 3(cosx)^2 + 3(cosx)^4 - (cosx)^6
(*) = int [1 - 3(cosx)^2 + 3(cosx)^4 - (cosx)^6]*(sinx)dx = (**)
Сделаем замену
t = cosx
dt = - (sinx)dx
(**) = int (1 - 3(t^2) + 3(t^4) - (t^6))*(-dt) =
= int ((t^6) - 3(t^4) + 3(t^2) - 1)dt =
= (1/7)(t^7) - (3/5)(t^5) + (t^3) - t + const =
= (1/7)*((cosx)^7) - (3/5)*((cosx)^5) + ((cosx)^3) -
- cosx + const
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 13 марта 2009 15:05 | IP
|
|
grignata
Новичок
|
помогите вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость
а) интеграл от 0 до бесконечности
(x+2)dx/(x^2+4x+1)^(4/3)
б) интеграл от 0 до pi/2
e^tgx dx/cos^2 (x)
заранее спасибо всем, кто откликнется
(Сообщение отредактировал grignata 13 марта 2009 16:52)
|
Всего сообщений: 30 | Присоединился: февраль 2009 | Отправлено: 13 марта 2009 15:12 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Aleks написал 12 марта 2009 18:09
И прошу еще раз вас помочь:
внешняя ссылка удалена
21) int dx/(2sinx-cosx-2) = (*)
Сделаем замену
t = tg(x/2)
sinx = 2t/(1+t^2)
cosx = (1-t^2)/(1+t^2)
dx = 2dt/(1+t^2)
2sinx-cosx-2 = 4t/(1+t^2) - (1-t^2)/(1+t^2) - 2 =
= (4t-(1-t^2)-2(1+t^2))/(1+t^2) =
= (4t - 1 + t^2 - 2 - 2t^2)/(1+t^2) =
= (- t^2 +4t - 3)/(1+t^2)
dx/(2sinx-cosx-2) = 2(1+t^2)dt/(- t^2 + 4t - 3)(1+t^2) =
= 2dt/(-t^2+4t-3) =
= - 2dt/(t^2-4t+3) =
= - 2dt/(t-3)(t-1)
(*) = int (-2)dt/(t-3)(t-1) =
= int ((t-3)-(t-1))dt/(t-3)(t-1) =
= int [1/(t-1) - 1/(t-3)]dt =
= int dt/(t-1) - int dt/(t-3) =
= int d(t-1)/(t-1) - int d(t-3)/(t-3) =
= ln|t-1| - ln|t-3| + const =
= ln|(t-1)/(t-3)| + const =
= ln|(tg(x/2)-1)/(tg(x/2)-3)| + const
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 13 марта 2009 15:20 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Aleks написал 12 марта 2009 18:09
И прошу еще раз вас помочь:
внешняя ссылка удалена
22) int dx/(4 - 3((sinx)^2) - 4(sinx)(cosx)) =
= int dx/((sinx)^2)*(4/((sinx)^2) - 3 - 4(cosx)/(sinx)) = (*)
Известно следующее тождество:
1/((sinx)^2) = 1 + (ctgx)^2
(*) = int dx/((sinx)^2)*(4(1+(ctgx)^2) - 3 - 4ctgx) =
= int dx/((sinx)^2)*(4(ctgx)^2 - 4ctgx + 1) =
= int dx/((sinx)^2)*((2ctgx-1)^2) = (**)
Сделаем замену
y = 2ctgx - 1
dy = - 2dx/(sinx)^2 => dx/((sinx)^2) = - (1/2)dy
(**) = - (1/2)*int dy/(y^2) =
= 1/(2y) + const =
= 1/(4ctgx-2) + const
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 13 марта 2009 15:30 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Aleks написал 12 марта 2009 18:09
И прошу еще раз вас помочь:
внешняя ссылка удалена
24) int ((cosx)^4)dx/((sinx)^6) =
= int ((cosx)^4)dx/((sinx)^4)((sinx)^2) =
= int ((ctgx)^4)/((sinx)^2) = (*)
Сделаем замену
y = ctgx
dy = - dx/(sinx)^2 => dx/(sinx)^2 = - dy
(*) = - int (y^4)dy =
= - (1/5)(y^5) + const =
= - (1/5)((ctgx)^5) + const
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 13 марта 2009 15:36 | IP
|
|
Форум
Интегрирование - 2
