olga b
Новичок
|
    
Нужна помощь помогите решить интегралы
1) int ((1+lnx)/x)dx
2)от 0 до pi/4 int ( tgxlncosx) dx
3)от 0 до pi/2 int (sinxdx)/(1+sinx)^2
4) от -arcsin(2/корень из5) до pi/4 int ((2-tgx)/(sinx+3cosx)^2) dx
|
Всего сообщений: 22 | Присоединился: февраль 2009 | Отправлено: 4 марта 2009 16:50 | IP
|
|
RKI 
Долгожитель
|
Цитата: olga b написал 4 марта 2009 16:50
1) int ((1+lnx)/x)dx
1) int (1+lnx)dx/x =
= int dx/x + int (lnx)dx/x =
= int dx/x + int (lnx) d(lnx) =
= lnx + (1/2)*(lnx)^2 + const =
= (1/2)*(lnx)*(2 + lnx) + const
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 4 марта 2009 17:44 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: olga b написал 4 марта 2009 16:50
2)от 0 до pi/4 int ( tgxlncosx) dx
int tgx*ln(cosx)dx =
y = ln(cosx)
dy = (1/cosx)*(-sinx)dx = -tgx dx
= - int ydy = - (1/2)*(y^2) + const =
= - (1/2)*(ln(cosx))^2 + const
int_{0}^{П/4} (tgx)(ln(cosx))dx =
= -(1/2)*(ln(cos(П/4)))^2 + (1/2)*(ln(cos0))^2 =
= - (1/2)*(ln(1/sqrt(2)))^2 + 0 =
= - (1/2)*(ln(1/sqrt(2)))^2
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 4 марта 2009 17:55 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: olga b написал 4 марта 2009 16:50
3)от 0 до pi/2 int (sinxdx)/(1+sinx)^2
int (sinx)dx/(1+sinx)^2 = (!)
y = tg(x/2)
sinx = 2y/(1+y^2)
dx = 2dy/(1+y^2)
(1+sinx)^2 = (1+2y/(1+y^2))^2 = ((1+y^2+2y)^2)/((1+y^2)^2)
(sinx)dx/(1+sinx)^2 =
= 4y((1+y^2)^2)dy/((1+y^2)^2)((1+y^2+2y)^2) =
= 4ydy/((1+y^2+2y)^2) =
= 4ydy/(y+1)^4
(!) = int 4ydy/(y+1)^4 =
= 4*int ydy/(y+1)^4 =
= 4*int (y+1-1)dy/(y+1)^4 =
= 4*int dy/(y+1)^3 - 4*int dy/(y+1)^4 =
z = y+1
dz = dy
= 4*int dz/(z^3) - 4*int dz/(z^4) =
= -2/(z^2) + (4/3)*1/(z^3) + const =
= (4-6z)/3(z^3) + const =
= -(6y+2)/3(y+1)^3 + const =
= - (6tg(x/2)+2)/3((tg(x/2)+1)^3) + const
-----------------------------------------------------
int_{0}^{П/2} (sinx)dx/(1+sinx)^2 =
= - (6+2)/24 + (0+2)/3 = -8/24 + 2/3 =
= -1/3 + 2/3 = 1/3
(Сообщение отредактировал RKI 4 марта 2009 18:11)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 4 марта 2009 18:09 | IP
|
|
Demidroll
Новичок
|
1)
Помогите кто может: интеграл от arcsin(2\корень из 5) до Pi\4
Сам интеграл:
4tg(x)-5
------------------------ dx - ?
cos^2(x)-sin(2x)+1
Заранее благодарю.
2)
интеграл от729 до 64
2*x^(1\3)+x^(1\6)+1
-------------------------------- dx -?
x+x^(4\3)-2*x^(3\2)
|
Всего сообщений: 35 | Присоединился: февраль 2009 | Отправлено: 4 марта 2009 19:46 | IP
|
|
Central
Новичок
|
nna спасибо большое!)
|
Всего сообщений: 5 | Присоединился: март 2009 | Отправлено: 4 марта 2009 23:12 | IP
|
|
olga b
Новичок
|
Долгожитель спасибо огромное за помощь буду разбираться в решении.
|
Всего сообщений: 22 | Присоединился: февраль 2009 | Отправлено: 5 марта 2009 8:22 | IP
|
|
IrEEsh
Новичок
|
 
Нужна помощь, не успеваю в срок... Заранее спасибо)
1) int (x+3)^(1\2)dx\ (1+(x+3)^(1\3))
2) int dx\(x*(x^2-a^2)^(1\2))
3) int dx\(x^2*(1+x^2)^(1\2))
|
Всего сообщений: 26 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 5 марта 2009 10:57 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Demidroll написал 4 марта 2009 19:46
1)
Помогите кто может: интеграл от arcsin(2\корень из 5) до Pi\4
Сам интеграл:
4tg(x)-5
------------------------ dx - ?
cos^2(x)-sin(2x)+1
int (4tgx-5)/((cosx)^2-sin2x+1) = (!)
(4tgx-5)/((cosx)^2-sin2x+1) =
= (4tgx-5)/((cosx)^2-2(sinx)(cosx)+1) =
= (4tgx-5)/((cosx)^2)(1-2tgx+1/((cosx)^2)) =
= (4tgx-5)/((cosx)^2)(1-2tgx+1+(tgx)^2)
= (4tgx-5)/((cosx)^2)(2-2tgx+(tgx)^2)
(!) = int (4tgx-5)dx/((cosx)^2)(2-2tgx+(tgx)^2) = (!!)
y = tgx
dy = dx/(cosx)^2
(!!) = int (4y-5)dy/(2-2y+y^2) =
= int (4y-5)dy/((y-1)^2+1) = (!!!)
z = y-1
dz = dy
4y-5 = 4(z+1)-5 = 4z+4-5 = 4z-1
(!!!) = int (4z-1)dz/(1+z^2) =
= 4*int zdz/(1+z^2) - int dz/(1+z^2) =
= 2*int d(1+z^2)/(1+z^2) - int dz/(1+z^2) =
= 2*ln(1+z^2) - arctg(z) + const =
= 2*ln(1+y^2-2y+1) - arctg(y-1) + const =
= 2*ln(y^2-2y+2) - arctg(y-1) + const =
= 2*ln((tgx)^2 - 2tgx + 2) - arctg(tgx-1) + const
F(x) = 2*ln((tgx)^2 - 2tgx + 2) - arctg(tgx-1)
F(П/4) = 2*ln(1-2+2) - arctg(1-1) = 2*ln1 - arctg0 = 0 - 0 = 0
sin(arcsin(2/sqrt(5))) = 2/sqrt(5)
cos(arcsin(2/sqrt(5))) = 1/sqrt(5)
tg(arcsin(2/sqrt(5))) = 2
F(arcsin(2/sqrt(5))) = 2*ln(4 - 4 + 2) - arctg(2-1) =
= 2*ln2 - arctg1 = ln4 - П/4
int_{arcsin(2/sqrt(5))}^{П/4} int (4tgx-5)/((cosx)^2-sin2x+1) =
= F(П/4) - F(arcsin(2/sqrt(5))) = 0 - ln4 + П/4 = П/4 - ln4
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 5 марта 2009 14:51 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: IrEEsh написал 5 марта 2009 10:57
2) int dx\(x*(x^2-a^2)^(1\2))
2) int dx/x*sqrt(x^2-a^2) =
= int dx/x*sqrt((x^2)(1-(a^2)/(x^2))) =
= int dx/(x^2)*sqrt(1-(a/x)^2) =
y = a/x
dy = -adx/(x^2); dx/(x^2) = -dy/a
= (-1/a)*int dy/sqrt(1-y^2) =
= (-1/a)*arcsin(y) + const =
= (-1/a)*arcsin(a/x) + const
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 5 марта 2009 14:58 | IP
|
|
Форум
Интегрирование - 2
