RKI 
Долгожитель
|
   
1) int (x^2+3)dx/(x-1)(x-2) =
= int (x^2+3)dx/(x^2-3x+2) =
= int (1 + (3x+1)/(x-1)(x-2))dx =
= int dx + int (3x+1)dx/(x-1)(x-2) = (*)
(3x+1)/(x-1)(x-2) = A/(x-1) + B/(x-2)
(3x+1)/(x-1)(x-2) = (Ax-2A+Bx-B)/(x-1)(x-2)
3x + 1 = (A+B)x + (-2A-B)
{A+B=3; -2A-B=1
{A=-4; B=7
(3x+1)/(x-1)(x-2) = 7/(x-2) - 4/(x-1)
(*) = int dx + int 7dx/(x-2) - int 4dx/(x-1) =
= x + 7ln|x-2| - 4ln|x-1| + const
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 1 марта 2009 12:12 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
2) int (3x+2)dx/sqrt(x^2+2x+5) =
= int (3x+2)dx/sqrt(x^2+2x+1-1+5) =
= int (3x+2)dx/sqrt(x^2+2x+1+4) =
= int (3x+2)dx/sqrt((x+1)^2+4) =
y = x+1
dy = dx
= int (3y-1)dy/sqrt(y^2+4) =
= int 3ydy/sqrt(y^2+4) - int dy/sqrt(y^2+4) =
z = y^2 + 4
dz = 2ydy
= (3/2) int dz/sqrt(z) - int dy/sqrt(y^2+4) =
= 3sqrt(z) - ln|y+sqrt(y^2+4)| + const =
= 3sqrt(y^2+4) - ln|y+sqrt(y^2+4)| + const =
= 3sqrt(x^2+2x+5) - ln|x+1+sqrt(x^2+2x+5)| + const
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 1 марта 2009 12:23 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
3) int (e^x)dx/sqrt(5-(e^(2x))) =
y = e^x
dy = (e^x)dx
= int dy/sqrt(5-y^2) =
= arcsin(y/sqrt(5)) + const =
= arcsin((e^x)/sqrt(5)) + const
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 1 марта 2009 12:30 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
4) int sin(3x+1)*cos(5x+2)dx = (*)
sin(3x+1)*cos(5x+2) =
= (1/2)*sin(3x+1-5x-2) + (1/2)*sin(3x+1+5x+2) =
= (1/2)*sin(-2x-1) + (1/2)*sin(8x+3) =
= (1/2)*sin(8x+3) - (1/2)*sin(2x+1)
(*) = (1/2)*int sin(8x+3) dx - (1/2)*int sin(2x+1) dx =
в первом интеграле замена
y = 8x+3
dy = 8dx
во втором интеграле замена
z = 2x+1
dz = 2dx
= (1/16)*int siny dy - (1/4)*int sinz dz =
= -(1/16)cosy + (1/4)cosz + const =
= (1/4)*cos(2x+1) - (1/16)*cos(8x+3) + const
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 1 марта 2009 12:42 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
5) Существует формула
int ((sinx)^a)*((cosx)^b) dx =
= ((sinx)^(a+1))*((cosx)^(b-1))/(a+b) +
+ ((b-1)/(a+b))* int ((sinx)^a)*((cosx)^(b-2)) dx
int ((sinx)^2)*((cosx)^6)dx =
= (1/8)*((sinx)^3)*((cosx)^5) +
+ (5/8)*int ((sinx)^2)*((cosx)^4)dx =
= (1/8)*((sinx)^3)*((cosx)^5) +
+ (5/8)*(1/6)*((sinx)^3)*((cosx)^3) +
+ (5/8)*(1/2)*int ((sinx)^2)*((cosx)^2) =
= (1/8)*((sinx)^3)*((cosx)^5) +
+ (5/48)*((sinx)^3)*((cosx)^3) +
+ (5/16)*int ((sinx)^2)*((cosx)^2) =
= (1/8)*((sinx)^3)*((cosx)^5) +
+ (5/48)*((sinx)^3)*((cosx)^3) +
+ (5/16)*(1/4)*((sinx)^3)*(cosx) +
+ (5/16)*(1/4)*int ((sinx)^2)dx =
= (1/8)*((sinx)^3)*((cosx)^5) +
+ (5/48)*((sinx)^3)*((cosx)^3) +
+ (5/64)*((sinx)^3)*(cosx) +
+ (5/64)*int ((sinx)^2)dx =
= (1/8)*((sinx)^3)*((cosx)^5) +
+ (5/48)*((sinx)^3)*((cosx)^3) +
+ (5/64)*((sinx)^3)*(cosx) +
+ (5/64)*int ((1-cos2x)/2)dx =
= (1/8)*((sinx)^3)*((cosx)^5) +
+ (5/48)*((sinx)^3)*((cosx)^3) +
+ (5/64)*((sinx)^3)*(cosx) +
+ (5/128)*int (1-cos2x)dx =
= (1/8)*((sinx)^3)*((cosx)^5) +
+ (5/48)*((sinx)^3)*((cosx)^3) +
+ (5/64)*((sinx)^3)*(cosx) +
+ (5/128)*(x-(1/2)sin2x) + const =
= (1/8)*((sinx)^3)*((cosx)^5) +
+ (5/48)*((sinx)^3)*((cosx)^3) +
+ (5/64)*((sinx)^3)*(cosx) -
- (5/256)sin2x + (5/128)x + const =
= (1/8)*((sinx)^3)*((cosx)^5) +
+ (5/48)*((sinx)^3)*((cosx)^3) +
+ (5/64)*((sinx)^3)*(cosx) -
- (5/128)(sinx)(cosx) + (5/128)x + const
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 1 марта 2009 13:39 | IP
|
|
Svetik
Новичок
|
Уважаемый RKI, огромное спасибо!!! Я просто плохо понимаю интегралы, по поводу пятого решения: нашла на форуме похожее решение Романа Осипова на стр 18, это не одно и тоже? На мой взгляд там неиного проще, хотя могу и ошибаться. Объясните если не сложно.
внешняя ссылка удалена
(Сообщение отредактировал Svetik 1 марта 2009 15:46)
|
Всего сообщений: 13 | Присоединился: ноябрь 2008 | Отправлено: 1 марта 2009 14:16 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
это не одно и тоже
у Вас ситуация усложнилась тем, что и sinx и cosx в четной степени - поэтому подобные преобразования ни к чему не привели бы
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 1 марта 2009 14:43 | IP
|
|
Svetik
Новичок
|
Спасибо, а так похожи!
|
Всего сообщений: 13 | Присоединился: ноябрь 2008 | Отправлено: 1 марта 2009 14:49 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
8) int dx/(2cosx+3) = (*)
y = tg(x/2)
cosx = (1-(tg(x/2))^2)/(1+(tg(x/2))^2) = (1-y^2)/(1+y^2)
x = 2arctgy; dx = 2dy/(1+y^2)
(*) = int 2dy/(1+y^2)(2(1-y^2)/(1+y^2) + 3) =
= int 2dy/(2(1-y^2)+3(1+y^2)) =
= int 2dy/(2-2y^2+3+3y^2) =
= int 2dy/(y^2+5) =
= (2/sqrt(5))*arctg(y/sqrt(5)) + const =
= (2/sqrt(5))*arctg((tg(x/2))/sqrt(5)) + const
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 1 марта 2009 14:55 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
6) int sqrt(x^2+9)dx =
интегрирование по частям
= x*sqrt(x^2+9) - int x*d(sqrt(x^2+9)) =
= x*sqrt(x^2+9) - int (x^2)dx/sqrt(x^2+9) =
= x*sqrt(x^2+9) - int (x^2+9-9)dx/sqrt(x^2+9) =
= x*sqrt(x^2+9) - int sqrt(x^2+9)dx + int 9dx/sqrt(x^2+9)
Искомый интеграл находится и в правой, и в левой части. Перенесем его из правой части в левую. Получаем
2*int sqrt(x^2+9)dx = x*sqrt(x^2+9) + 9*int dx/sqrt(x^2+9) =
= x*sqrt(x^2+9) + 9*ln|x+sqrt(x^2+9)| + const
int sqrt(x^2+9)dx = (1/2)x*sqrt(x^2+9) +
+ (9/2)*ln|x+sqrt(x^2+9)| + const
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 1 марта 2009 15:08 | IP
|
|
Форум
Интегрирование - 2
