Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        Решение дифференциальных уравнений
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

Guest



Новичок

Владимир и остальные помогите плиз

y'' +2sin(y)cos^3(y) = 0

Мне сказали что это нужно решать методом понижения порядка , но какую замену делать ?

Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 2 нояб. 2006 22:29 | IP
MEHT



Долгожитель


Цитата: Guest написал 2 нояб. 2006 22:29
Владимир и остальные помогите плиз

y'' +2sin(y)cos^3(y) = 0

Мне сказали что это нужно решать методом понижения порядка , но какую замену делать ?


Домножте лев. и прав. часть на y', т.е.
y''*y' +2*y'*sin(y)*cos^3(y) = 0, или
(1/2)*[(y')^2 - cos^4 (y)]'=0, откуда
(y')^2 - cos^4 (y) = const

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 3 нояб. 2006 0:24 | IP
Guest



Новичок

эээ а чем это
(y')^2 - cos^4 (y) = const    легче исходного ??

На линейное не похоже на однородное тоже

Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 3 нояб. 2006 0:42 | IP
MEHT



Долгожитель


Цитата: Guest написал 3 нояб. 2006 0:42
эээ а чем это
(y')^2 - cos^4 (y) = const    легче исходного ??

На линейное не похоже на однородное тоже


(y')^2 - cos^4 (y) = C,
y' = +- sqrt[C + cos^4 (y)],
разделяете переменные,
y'/sqrt[C + cos^4 (y)] = +- 1,
int {dy/sqrt[C + cos^4 (y)]} = +- int dx + C1.

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 3 нояб. 2006 1:56 | IP
Guest



Новичок

Извини я наверно уже достал ,  но можно еще вопрос  интеграл в левой части берущийся ?

Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 3 нояб. 2006 18:15 | IP
MEHT



Долгожитель

В общем виде - неберущийся, но если
к уравнению
y'' +2sin(y)cos^3(y) = 0
заданы еще некоторые начальные условия, то
может оказаться, что С=0, тогда интеграл сводиться к табличному.

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 3 нояб. 2006 21:00 | IP
Genrih


Удален

Берется, над комплексными числами, в общем виде. Но выразить явно "у" не получится все-равно (за исключением С=0)

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 3 нояб. 2006 21:31 | IP
MEHT



Долгожитель


Цитата: Genrih написал 3 нояб. 2006 21:31
Берется, над комплексными числами, в общем виде. Но выразить явно "у" не получится все-равно (за исключением С=0)

Интересно как?
Не берется - имеется ввиду в элементарных функциях.

int {dy/sqrt[C + cos^4 (y)]} = { t=tg(x) } =
= int {dt/sqrt[1 + C*(1+t^2)^2]} - эллиптический инт. 1-го рода.


(Сообщение отредактировал MEHT 3 нояб. 2006 21:50)

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 3 нояб. 2006 21:50 | IP
Guest



Новичок

начальные условия Y(0)=0  и Y'(0) = 1

Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 3 нояб. 2006 23:22 | IP
MEHT



Долгожитель


Цитата: Guest написал 3 нояб. 2006 23:22
начальные условия Y(0)=0  и Y'(0) = 1


Ну так и есть: константа С обнуляется.
При понижении порядка получили уравнение
(y')^2 - cos^4 (y) = C,
при подстановке в которое этих нач. условий получаем
(Y'(0))^2 - cos^4 (Y(0)) = 0 = C;
в этом случае решение запишется как
int {dy/sqrt[сos^4 (y)]} = +- int dx + C1, или
tg(y) = +-x + C1,
подставляем сюда нач. условие Y(0)=0, получаем
tg(Y(0)) = 0 = C1, т.е. определена константа С1 и решение запишется как
tg(y) = +-x.
Осталось уточнить знак при аргументе в правой части. Для этого можно продифференцировать это равенство по x, т.е.
y'(x)*[1/cos^2 (y(x)) = +-1,
и снова подставить нач. условия:
Y'(0)*[1/cos^2 (Y(0)) = 1, следовательно при единице следует выбрать знак "+".
Окончательно, поставленная задача Коши имеет единственное решение
y = arctg(x).


(Сообщение отредактировал MEHT 4 нояб. 2006 3:21)

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 4 нояб. 2006 2:29 | IP

Эта тема закрыта, новые ответы не принимаются

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 ]

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com