graz
Новичок
|
   
Помогите с примерами пожалуйста, в четверг сдавать нада.
|
Всего сообщений: 38 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 17 марта 2009 23:44 | IP
|
|
SuNNyGirl
Начинающий
|
помогите,пожалуйста,с тремя примерчиками:
1)y'=z/x;z'=(z(y+2z-1))/(x(y-1))
2)2zy'=y^2-z^2+1;z'=z+y
3)dx/y=dy/x=dz/z
заранее благодарю)
(Сообщение отредактировал SuNNyGirl 18 марта 2009 20:25)
|
Всего сообщений: 61 | Присоединился: сентябрь 2008 | Отправлено: 18 марта 2009 10:28 | IP
|
|
RKI 
Долгожитель
|
Цитата: graz написал 16 марта 2009 19:43
Пример 1.
Найти общее решение(общий интеграл)дифференциального уравнения:
1. y'=(e^2x)/lny
2. y'=2xy+x
3. y=x(y'-корень степени х из е^y)
1) y' = (e^(2x))/lny
dy/dx = (e^(2x))/lny
(lny)dy = (e^(2x))dx
**
Посчитаем интегралы
int (lny)dy = [по частям] = y*lny - int yd(lny) =
= y*lny - int y*(1/y)dy = y*lny - int dy = y*lny - y + const =
= y(lny-1) + const
int (e^(2x))dx = (1/2)*int (e^(2x))d(2x) = (1/2)*(e^(2x)) + const
**
(lny)dy = (e^(2x))dx
y(lny-1) = (1/2)*(e^(2x)) + const
----------------------------------------------------------------
2) y' = 2xy + x
y' = 2xy
dy/dx = 2xy
dy/y = 2xdx
ln|y| = (x^2) + const
y = C*(e^(x^2)), C - const
y(x) = C(x)*(e^(x^2))
y'(x) = C'(x)*(e^(x^2)) + 2x*C(x)*(e^(x^2))
y'(x) = 2x*y(x) + x
C'(x)*(e^(x^2)) + 2x*C(x)*(e^(x^2)) = 2x*C(x)*(e^(x^2)) + x
C'(x)*(e^(x^2)) = x
C'(x) = x*(e^(-(x^2)))
**
Посчитаем интграл
int x*(e^(-(x^2)))dx = [y=-(x^2); dy=-2xdx; xdx=-(1/2)dy] =
= - (1/2)*int (e^y)dy = - (1/2)*(e^y) + D =
= - (1/2)*(e^(-(x^2))) + D
**
C(x) = - (1/2)*(e^(-(x^2))) + D
y(x) = C(x)*(e^(x^2))
y(x) = D*(e^(x^2)) - (1/2)
------------------------------------------------------------------
3) y=x*(y' - корень степени х из е^y)
y = x*(y' - e^(y/x))
y(x) = x*u(x)
y'(x) = u(x) + x*u'(x)
x*u = x*(u + x*u' - (e^u))
u = u + x*u' - (e^u)
x*u' - (e^u) = 0
x*u' = e^u
x*du/dx = e^u
du/(e^u) = dx/x
(e^(-u))du = dx/x
- (e^(-u)) = ln|x| + const
- 1/(e^u) = ln|x| + const
ln|x| + 1/(e^u) + const = 0
ln|x| + 1/(e^(y/x)) + const = 0
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 18 марта 2009 13:32 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: graz написал 16 марта 2009 19:43
Пример 5:
Найти общее решение дифференциального уравнения.
y'x+y=-xy^2
x*y' + y = - x(y^2)
x*y' = - y - x(y^2)
Сделаем замену
y(x) = 1/z(x)
y' = - z'/(z^2)
-x*z'/(z^2) = - (1/z) - x/(z^2)
x*z' = z + x
x*z' = z
x*dz/dx = z
dz/z = dx/x
ln|z| = ln|x| + const
z = C*x
z(x) = C(x)*x
z'(x) = C'(x)*x + C(x)
x*z'(x) = z(x) + x
C'(x)*(x^2) + C(x)*x = C(x)*x + x
C'(x)*(x^2) = x
C'(x) = 1/x
C(x) = ln|x| + D
z(x) = C(x)*x
z(x) = D*x + x*ln|x|
y(x) = 1/(Dx+xln|x|)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 18 марта 2009 14:15 | IP
|
|
Trushkov
Долгожитель
|
 
SuNNyGirl, а какие задания в этих трех примерчиках?
|
Всего сообщений: 273 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 18 марта 2009 19:04 | IP
|
|
SuNNyGirl
Начинающий
|
2trushkov:решить системы ду
|
Всего сообщений: 61 | Присоединился: сентябрь 2008 | Отправлено: 18 марта 2009 20:23 | IP
|
|
Trushkov
Долгожитель
|
graz, рассмотрите уравнение (1-2xy)y'=y(y-1) как уравнение относительно неизвестной функции x(y):
x'(y)=(1-2xy)/(y(y-1)).
Оно линейное. Решаете его, а частное решение выбираете из условия x(1)=0.
|
Всего сообщений: 273 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 18 марта 2009 20:24 | IP
|
|
Trushkov
Долгожитель
|
SuNNyGirl, во второй задаче подставим y, получим 2zz''-(z')^2-1=0. Дальше стандартно: вводим функцию: z'=p(z), z''=pp' и т.д.
В первой подставляем z, получаем
x(2(y')^2-(y-1)y'')/(y-1)=0. Дальше также, как и во втором номере.
В третьем из этого двойного равенства получаем систему двух уравнений относительно x(z), y(z):
dx/dz=y/z, dy/dz=x/z.
Дальше как угодно... Можете опять выразить x, подставить, получится уравнение Эйлера.
|
Всего сообщений: 273 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 18 марта 2009 20:38 | IP
|
|
SuNNyGirl
Начинающий
|
"во второй задаче подставим y, получим 2zz''-(z')^2-1=0. Дальше стандартно: вводим функцию: z'=p(z), z''=pp' и т.д. "
я выразила y из второго уравнения:y=z'-z =>y'=z''-z' =>получаем:2zz''-2zz'+zz^2-(z')^2-1=0-или я неправильно сделала?
|
Всего сообщений: 61 | Присоединился: сентябрь 2008 | Отправлено: 18 марта 2009 21:21 | IP
|
|
Trushkov
Долгожитель
|
Получаем
2z(z''-z')=(z'-z)^2-z^2-1.
Дальше надо правильно раскрыть скобки.
|
Всего сообщений: 273 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 18 марта 2009 21:46 | IP
|
|
Форум
Решение дифференциальных уравнений
