timka218
Новичок
|
   
Найдите общее решение дифференциального уравнения y'+2y=e в степени 3х
|
Всего сообщений: 1 | Присоединился: февраль 2009 | Отправлено: 2 фев. 2009 23:09 | IP
|
|
RKI 
Долгожитель
|
y'+2y = 0
y' = -2y
dy/dx = -2y
dy/y = -2dx
ln|y| = -2x+C
y = C*e^(-2x)
y(x) = C(x)*e^(-2x)
y'(x) = C'(x)*e^(-2x) - 2*C(x)*e^(-2x)
y' + 2y = e^(3x)
C'(x)*e^(-2x) - 2*C(x)*e^(-2x) + 2*C(x)*e^(-2x) = e^(3x)
C'(x)*e^(-2x) = e^(3x)
C'(x) = e^(5x)
C(x) = (1/5)*e^(5x) + D
y(x) = C(x)*e^(-2x)
y(x) = D*e^(-2x) + (1/5)*e^(3x)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 3 фев. 2009 10:57 | IP
|
|
marsvetlanka
Новичок
|
Помогите решить: 1. y' + y/x=(lnx + 1)/x
2. xy'=y ln (y/x)
3. (1-x^2)y''-xy'=2
4. y''+y'=6x+e^x
5. y'''-y'=0 y(0)=3, y'(0)=-1, y''(0)=1
|
Всего сообщений: 32 | Присоединился: январь 2009 | Отправлено: 3 фев. 2009 11:07 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
1) y' + y/x = (lnx+1)/x
y' + y/x = 0
y' = -y/x
dy/dx = -y/x
dy/y = -dx/x
ln|y| = -ln|x|+const
y = C/x, C=const
y(x) = C(x)/x
y' = C'(x)/x - C(x)/(x^2)
y' + y/x = (lnx+1)/x
C'(x)/x - C(x)/(x^2) + C(x)/(x^2) = (lnx+1)/x
C'(x)/x = (lnx+1)/x
C'(x) = lnx+1
C(x) = xlnx + D
y(x) = C(x)/x
y(x) = D/x + lnx
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 3 фев. 2009 11:28 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
2) xy'=y ln (y/x)
y' = (y/x)*ln(y/x)
y(x) = u(x)*x
y'(x) = u'(x)*x + u(x)
u'(x)*x + u(x) = u(x)*ln(u(x))
u'*x = u*lnu - u
(du/dx)*x = u*(lnu - 1)
du/u*(lnu-1) = dx/x
ln| lnu-1 | = ln|x| + const
lnu - 1 = C*x, C=const
ln(y/x) - 1 = Cx
ln(y/x) = Cx+1
lny - lnx = Cx+1
lny = Cx+lnx+1
y = e^(Cx+lnx+1)
y = x*e^(Cx+1)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 3 фев. 2009 11:48 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
4) y''+y'=6x+e^x
y'' + y' = 0
a^2 + a = 0
a*(a+1) = 0
a=-1; a=0
y0 = C*e^(0*x) + D*e^(-1*x), C и D - константы
y0 = C + D*(e^(-x))
y'' + y' = 6x
y1 = (ax+b)*x
y1 = a(x^2) + bx
(y1)' = 2ax + b
(y1)'' = 2a
(y1)'' + (y1)' = 6x
2a + 2ax + b = 6x
2a=6; 2a+b=0
a=3; b=-6
y1=3x(x-2)
y''+y'=e^x
y2 = c*e^x
(y2)' = c*e^x
(y2)'' = c*e^x
(y2)''+(y2)'=e^x
c*e^x + c*e^x = e^x
2c*e^x = e^x
2c=1; c=1/2
y2 = (1/2)*e^x
y = y0 + y1 + y2
y = C + D*(e^(-x)) + 3x(x-2) + (1/2)*(e^x)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 3 фев. 2009 12:12 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
5) y'''-y'=0 y(0)=3, y'(0)=-1, y''(0)=1
y'''-y' = 0
u=y'
u''-u = 0
a^2 - 1 = 0
a^2 = 1
a=-1; a=1
u(x) = C*(e^(-x)) + D*(e^x)
y' = C*(e^(-x)) + D*(e^x)
y = D*(e^x) - C*(e^(-x)) + F
y(0) = 3 => D - C + F = 3
y'(0) = -1 => D + C = -1
y''(0) = 1 => D - C = 1
C=-1; D=0; F=2
y = D*(e^x) - C*(e^(-x)) + F
y(x) = (e^(-x)) + 2
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 3 фев. 2009 12:27 | IP
|
|
marsvetlanka
Новичок
|
RKI, большое спасибо!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
|
Всего сообщений: 32 | Присоединился: январь 2009 | Отправлено: 3 фев. 2009 12:43 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
3) (1-x^2)y''-xy'=2
u=y'
(1-x^2)*u' - x*u = 2
(1-x^2)*u' - x*u = 0
(1-x^2)*u' = x*u
(1-x^2)*(du/dx) = x*u
du/u = xdx/(1-x^2)
ln|u| = -(1/2)*ln|1-x^2| + const
u = C/sqrt(1-x^2)
u(x) = C(x)/sqrt(1-x^2)
u'(x) = C'(x)/sqrt(1-x^2) + C(x)*x/(1-x^2)sqrt(1-x^2)
(1-x^2)*u' - x*u = 2
C'(x)*sqrt(1-x^2) + C(x)*x/sqrt(1-x^2) - C(x)*x/sqrt(1-x^2) = 2
C'(x)*sqrt(1-x^2) = 2
C'(x) = 2/sqrt(1-x^2)
C(x) = 2arcsin(x) + D
u(x) = C(x)/sqrt(1-x^2)
u(x) = (2arcsin(x)+D)/sqrt(1-x^2)
y' = (2arcsin(x)+D)/sqrt(1-x^2)
y(x) = (arcsin x)^2 + D*arcsin x + F
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 3 фев. 2009 12:44 | IP
|
|
marsvetlanka
Новичок
|
RKI
|
Всего сообщений: 32 | Присоединился: январь 2009 | Отправлено: 3 фев. 2009 13:39 | IP
|
|
Форум
Решение дифференциальных уравнений
