RKI 
Долгожитель
|
   
3) Сначала решим однородное уравнение
y''-2y'+y=0
Составим его характеристическое уравнение
a^2-2a+1=0
(a-1)^2=0
a=1 (корень кратности 2)
Тогда решение однородного уравнения имеет вид
y0 = (A+Bx)exp{x}
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 7 дек. 2008 19:35 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Частное решение уравнения имеет вид
yч = Ccos2x+Dsin2x
Подставляем частное решение в исходное уравнение и найдем константы C и D
(yч)'=-2Csin2x+2Dcos2x
(yч)''=-4Ccos2x-4Dsin2x
-4Ccos2x-4Dsin2x+4Csin2x-4Dcos2x+Ccos2x+Dsin2x=
=-12cos2x-9sin2x
(-3D+4C)sin2x+(-3C-4D)=-12cos2x-9sin2x
-3D+4C=-9
-3C-4D=-12
D=3
C=0
yч = 3sin2x
Общее решение исходного уравнения имеет вид
y=y0+yч =
= (A+Bx)exp{x}+3sin2x
(Сообщение отредактировал RKI 7 дек. 2008 19:48)
(Сообщение отредактировал RKI 7 дек. 2008 19:49)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 7 дек. 2008 19:43 | IP
|
|
MariaXXX
Новичок
|
спасибо большое.
1) сделала замену...получилось
Интеграл (dx/x)=Интеграл (du/sec(u))
Так я не знаю, как найти интеграл du/sec(u)
3) я понимаю, что это уравнение элементарное...только уже давно все это проходила и забыла. А теперь вот срочно надо. Напишите, пожалуйста, поподробнее
|
Всего сообщений: 11 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 7 дек. 2008 19:52 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
y = (A+Bx)exp{x}+3sin2x
Константы A и B найдем из условий
y(0)=-2
y(0)=A=-2
y=(-2+Bx)exp{x}+3sin2x
y'=Bexp{x}+(-2+Bx)exp{x}+6cos2x
y'(0)=0
y'(0)=B-2+6=B+4=0
B=-4
y=-2(1+2x)exp{x}+3sin2x - ответ
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 7 дек. 2008 19:53 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
MariaXXX
смотрите внимательно
я только что Вам в трех сообщениях расписала 3 уравнение
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 7 дек. 2008 19:54 | IP
|
|
Trushkov
Долгожитель
|
  
sec(x)=1/cos(x)
|
Всего сообщений: 273 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 7 дек. 2008 19:57 | IP
|
|
MariaXXX
Новичок
|
2 RKI: спасибо Вам большое
....может, Вы мне еще второе уравнение напишите?
|
Всего сообщений: 11 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 7 дек. 2008 20:04 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
(1-x^2)y''-xy'=2
Сделаем замену g(x)=y'(x)
(1-x^2)g'-xg=2 (*)
Решим сначала однородное уравнение
(1-x^2)g'-xg=0
(1-x^2)dg/dx=xg
dg/g=xdx/(1-x^2)
Интегрируем
ln|g| = -1/2*ln|1-x^2|+const
g=C/sqrt(1-x^2)
Методом Лагранжа получаем что решение уравнения (*) имеет вид
g=C(x)/sqrt(1-x^2)
g'=C'(x)/sqrt(1-x^2)+C(x)x/(1-x^2)sqrt(1-x^2)
(1-x^2)g'-xg=2
C'(x)sqrt(1-x^2)+xC(x)/sqrt(1-x^2)-xC(x)/sqrt(1-x^2)=2
C'(x)sqrt(1-x^2)=2
C'(x)=2/sqrt(1-x^2)
C(x)=2arcsinx+D
g=2arcsinx/sqrt(1-x^2)+D/sqrt(1-x^2)
y'=2arcsinx/sqrt(1-x^2)+D/sqrt(1-x^2)
Интегрируем
y=(arcsinx)^2+Darcsinx - это и есть ответ
(Сообщение отредактировал RKI 7 дек. 2008 20:30)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 7 дек. 2008 20:06 | IP
|
|
MariaXXX
Новичок
|
ну и совсем уже для тупых..а что такое sqrt
|
Всего сообщений: 11 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 7 дек. 2008 20:15 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
sqrt - квадратный корень
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 7 дек. 2008 20:20 | IP
|
|
Форум
Решение дифференциальных уравнений
