alena
Новичок
|
   
Помогите, плиз, решить такую задачку (через ДУ). Материальная точка движется по прямой со скоростью, обратно пропорциональной пройденному пути. в начальный момент движения точка находилась на расстоянии 10 м от начала отсчета пути и имела скорость 30 м/с. Определить пройденный путь и скорость точки через 10 с после начала движения?
|
Всего сообщений: 5 | Присоединился: ноябрь 2008 | Отправлено: 23 нояб. 2008 22:39 | IP
|
|
ProstoVasya
Долгожитель
|
Пусть x=x(t) - положение точки в момент t. Тогда условие движения можно записать в виде
x'(t) = k/x(t), где k - неизвестный параметр, который находится из условия: в начальный момент движения точка находилась на расстоянии 10 м от начала отсчета пути и имела скорость 30 м/с. Подставим в уравнение, получим 30=k/10. Отсюда, k=300, а уравнение примет вид
x'(t) = 300/x(t) или x'(t)x(t) = 300 или (x^2)' = 600.
Отсюда выводим x^2 = 600t +C. Константу С находим из того, что при t=0 должно быть x(0) =10, т.е. С = 110.
Ответ: x(t)=10sqrt(6t+1).
|
Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 23 нояб. 2008 22:59 | IP
|
|
alena
Новичок
|
ОГРОМНОЕ СПАСИБО!!! 
|
Всего сообщений: 5 | Присоединился: ноябрь 2008 | Отправлено: 24 нояб. 2008 0:27 | IP
|
|
Alfalfa
Начинающий
|
Подскажите, пожалуйста!
y''=x^2+y*x
|
Всего сообщений: 65 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 27 нояб. 2008 12:57 | IP
|
|
Trushkov
Долгожитель
|
  
Цитата: Alfalfa написал 27 нояб. 2008 12:57
Подскажите, пожалуйста!
y''=x^2+y*x
Ответ выражается через функции Эйри, которые в свою очередь выражаются через функции Бесселя.
Однородное уравнение как раз и есть уравнение Эйри: y''=xy.
Частное решение неоднородного уравнения можно найти, например, с помощью формулы Коши.
|
Всего сообщений: 273 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 27 нояб. 2008 13:36 | IP
|
|
SuNNyGirl
Начинающий
|
помогите решить ,пожалка,
y''(3+yy'^2)=y'^4
y'''y'^2=1
|
Всего сообщений: 61 | Присоединился: сентябрь 2008 | Отправлено: 27 нояб. 2008 18:54 | IP
|
|
Protector25
Новичок
|
Спасибо за образец решения.
Я решил тоже свою задачу.
Которую я писал тут: Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1,0) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый касательной на оси Оу, равен радиусу-вектору точки касания.
Вот у меня получилось уравнение x^2= C(C-2y), то есть парабола с осью OY. кривая проходит через точку (1,0). Ищу корни: x1=-1, x2= 1.
какой из корней тут будет правильным? (или оба).
потому что, я прочитал. что парабола может быть вырожденной, вот думаю, может корень будет x=1? А при -1 вырожденной.
Пожалуйста, подскажите.
Подскажите,
|
Всего сообщений: 23 | Присоединился: ноябрь 2008 | Отправлено: 27 нояб. 2008 18:56 | IP
|
|
Trushkov
Долгожитель
|
Цитата: SuNNyGirl написал 27 нояб. 2008 18:54
помогите решить ,пожалка,
y''(3+yy'^2)=y'^4
y'''y'^2=1
Стандартная замена для уравнений, в которые явно не входит независимая переменная (стр. 32 из книги "ОДУ" с внешняя ссылка удалена а именно, y'=p(y), y''=p'(y)p(y).
Второе уравнение можно решать сразу так, а можно для начала свести к уравнению второго порядка заменой y'=z.
Впрочем, после этого можно решать его и другим путем:
z''=1/z^2 умножается на z' и интегрируется.
Получаем z'^2/2=-1/z+C, выражаем z' и интегрируем получающиеся простые уравнения.
|
Всего сообщений: 273 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 27 нояб. 2008 20:56 | IP
|
|
ProstoVasya
Долгожитель
|
Тут другая история. Вы должны подставить начальные условия в общее решение. Найдёте значения константы С. Будет два значения: 1 и -1. Т.е. два решения y1(x) =(x^2 -1)/2 и y2(x) = (1-x^2)/2. Теперь надо вернуться к условию задачи. Там расстояние до точки касания равно отрезку на оси OY. Как это понимать? Если понимать отрезок как отклонение от начала координат, то обарешения годятся. Если понимать как координату пересечения с осью OY, то одно решение (второе). Подумайте над условием задачи.
|
Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 27 нояб. 2008 21:16 | IP
|
|
Protector25
Новичок
|
Расстояние от начала координат до точки касания -- OM, это радиус-вектор который провели из O(0,0) в точку общую для кривой и касательной.
Расстояние ON - это от начала координат до точки в которой касательная пересекает ось OY.
По условию, они равны OM=ON.
Да, там у меня и получаются такие корни C=-1, C=1.
А дальше я не очень понял: OM -- это да, радиус-вектор из начала координат в точку M, т.е., так и есть, отклонение.
А ON -- это отрезок на оси OY, от начала координат до N.
Стало быть, в случае отрезка OM правильны будут оба решения? А в случае ON только одно... А если они равны, то как будет правильно?
|
Всего сообщений: 23 | Присоединился: ноябрь 2008 | Отправлено: 27 нояб. 2008 21:38 | IP
|
|
|
Форум
Решение дифференциальных уравнений
