Maybe
Удален
|
   
Есть вот такая вот задачка. Она вроде как по аналитич. геометрии, но решается с использованием ДУ первого порядка. Поэтому я в эту тему её и поместила.
Вот условие.
Необходимо найти все линии, у которых отрезок касательных между точкой касания и осью Ox делится пополам точкой пересечения с осью Oy.
Получается, что нужно найти угловой коэффициент, то бишь y'=dy/dx ( здесь и должно получиться ДУ-1 c разделяющимися переменными ). А потом уже получаем общий вид функции y,
Пробую решать. Но неуверена вообще в том ли направлении пробую... Подскажите, что не так?
Чтобы найти y', сначало надо найти dy (прирощение) и dx.
Предположим, M1 - точка касания, M0 - точка пересечения с Oy, M2 - точка пересечения с Oy.
Допустим, координаты М0 ( x0; y0 ) ( причем x0=0, т.к. М1 лежит на Oy. ). Тогда найдем М1 (x1; 2y0) , M2 (-x1; 0).
Получаю:
dy = y2 - y1 = 0 - 2y0 = 0 - y1 = -y1
dx = x2 - x1 = -x1 - x1 = -2x1
y' = dy / dx = -y1 / -2x1 = y1 / 2x1
Следовательно, для любой точки M (x;y) y'= y/2x
dy/dx = y/2x
dy/y = dx/2x
lny= (1/2) lnx + lnc
y / x^(1/2) = c - Общий вид.
Это всё, что у меня получилось...
(Сообщение отредактировал Maybe 31 марта 2006 2:33)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 31 марта 2006 1:46 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
Ну ... дифур сам решается. Но задачу я не понял.
Не могли бы вы объяснить:
осью Ox ltkbncz пополам
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 31 марта 2006 2:00 | IP
|
|
Maybe
Удален
|
Цитата: Genrih написал 31 марта 2006 2:00
Ну ... дифур сам решается. Но задачу я не понял.
Не могли бы вы объяснить:
осью Ox ltkbncz пополам
Извиняюсь, опять глюки с раскладкой :-) Там должно быть "осью Оx делится пополам".
То бишь надо найти уравнение общего вида такой функции, кот . отвечает условию.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 31 марта 2006 2:32 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
Все верно.
Я, к примеру, исходил из уравнения касательной в произвольной точке графика (х,у) :
У точки Мо пересечения с Оу координаты будут Мо(0,у/2), если за исходные х,у положить координаты точки касания, т.е. М1(х,у).
С другой стороны, учитывая уравнение касательной к графику f(x),- координаты Мо(0,у-у'х).
Приравняв соответсвующие координаты, получим : у-у'х=у/2 или тоже самое уравнение у'/у = 1/2х.
Т.е. все линии, обладающие таким свойством, будут вида С*x^1/2
(Сообщение отредактировал Genrih 31 марта 2006 15:04)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 31 марта 2006 16:01 | IP
|
|
Maybe
Удален
|
Genrih, ок :-) Спасибо :-) а то я не была уверена в правильности....Значит всё-таки не ошиблась :-)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 31 марта 2006 21:19 | IP
|
|
Maybe
Удален
|
Подскажите, какого вида это ДУ, а то не пойму, каким способом решить ...
x*y' - y = x*tg(x/y)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 19 апр. 2006 23:58 | IP
|
|
KMA 
Долгожитель
|
 
Если честно, то оно носит название Бернулли, но если совсем прямо, то уравнение совсем на него не похоже... Однако, если поделить все на х то получится дело, а дальше стабильная замена y=uv, после чего получаю, что v=x => u'x=tg (1/u), находишь u и подставляешь все в y=uv... Думаю, что дальше ты справишся...
|
Всего сообщений: 940 | Присоединился: декабрь 2005 | Отправлено: 20 апр. 2006 0:25 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
Цитата: Maybe написал 19 апр. 2006 22:58
Подскажите, какого вида это ДУ, а то не пойму, каким способом решить ...
x*y' - y = x*tg(x/y)
Однородное уравнение. Поможет смена : x*u(x)=y .
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 20 апр. 2006 0:26 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Цитата: KMA написал 20 апр. 2006 0:25
Если честно, то оно носит название Бернулли, но если совсем прямо, то уравнение совсем на него не похоже...
Нет, это не ур. Бернулли... 
Однако, если поделить все на х то получится дело, а дальше стабильная замена y=uv, после чего получаю, что v=x => u'x=tg (1/u), находишь u и подставляешь все в y=uv... Думаю, что дальше ты справишся...
Вообщем делит Maybe переменные в уравнении
u'x=tg (1/u), т.е. du/[tg (1/u)]=dx/x...
А теперь момент истины: нужно взять неопр. интеграл
int {du/[tg (1/u)]}.
Однородное уравнение. Поможет смена : x*u(x)=y
Придем к тому же интегралу
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 20 апр. 2006 1:47 | IP
|
|
Maybe
Удален
|
Цитата: MEHT написал 20 апр. 2006 1:47
Вообщем делит Maybe переменные в уравнении
u'x=tg (1/u), т.е. du/[tg (1/u)]=dx/x...
А теперь момент истины: нужно взять неопр. интеграл
int {du/[tg (1/u)]}.
МЕНТ, И как его взять...:-( в тигонометрии вроде бы ничего подходящего для замены такого вида tg нет...
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 20 апр. 2006 2:26 | IP
|
|
|
Форум
Решение дифференциальных уравнений
