MEHT
Долгожитель
|
   
Цитата: Leonid22 написал 6 нояб. 2007 0:51
Помогите решить несколько уравнений... Сам никак не разберусь, а преподша рвёт и мечет.
1) (yx^2+x[{x^2+y^2}^(1/2)])dy+(x^3-y[{x^2+y^2}^(1/2)])dx=0
2)(1-x^2)y'-xy=axy^2
3)(x-2xy-y^2)y'+y^2=0
4)xy'=y+[{y^2-x^2}^(1/2)]
Буду признателен за любое решение к любому примеру!
1) Целесообразно перейти к полярным координатам:
r=x*cos(a), y=r*sin(a), где r - радиус-вектор, a - полярный угол.
Тогда уравнение перепишется в более простом виде
[(r^3)*cos^2(a)]*dr + (r^3)*da = 0 или, сокращая на (r^3),
[cos^2(a)]*dr + da = 0, откуда
dr/da = -1/[cos^2(a)], где осталось только проинтегрировать по a.
2) Разделяете переменные:
(1-x^2)y'-x*y=a*x*y^2,
(1-x^2)y'= x*y*(a*y + 1),
y'/[y*(a*y + 1)] = x/(1-x^2). Далее интегрируете:
int{1/[y*(a*y + 1)]}dy = int{x/(1-x^2)}dx + C.
3) Уравнение (x-2xy-y^2)y'+y^2=0 можно свести к уравнению в полных дифференциалах. Для начала переписываем уравнение в виде
(x-2xy-y^2) dy + (y^2) dx = 0.
Легко видеть, что левая часть не является полным дифференциалом. Чтобы её таковой сделать, нужно подобрать такую фунцию h(x,y) (т.е. интегрирующий множитель), домножением на которую левая часть будет иметь вид полного дифференциала. Этот интегрирующий множитель можно взять зависящим только от y.
Тогда из уравнения
d/dx [(x-2xy-y^2)*h(y)] = d/dy [(y^2)*h(y)], где d/dx и d/dy - операторы дифференцирования,
находите h(y).
4) Заменой t(x) = y/x уравнение сводится к виду
x*t'(x) = sqrt[(t^2) - 1] и, разделив переменные
t'/sqrt[(t^2) - 1] = 1/x, непосредственно интегрируете.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 10 нояб. 2007 12:07 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Цитата: Neira написал 6 нояб. 2007 13:00
не поскажете?
y' = y^2/y^3 + 4 y/x +2
методом однородных уравнений.
никак не сообразить, с чего начать и зачем записано так y^2/y^3 , когда это 1/y
Скорее всего ошибка в условии.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 10 нояб. 2007 12:08 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Помогите решить
1) 2yy'' - 3(y')^2 = 4y^2 , при y(-2)=1, y'(-2)=0
2) xy' = y*(1 + ln(y) - ln(x))
3) 2y dx + (y^2 - 2x) dy = 0
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 12 нояб. 2007 19:54 | IP
|
|
Vadzik
Новичок
|
(x^2)*y'+xy+1=0 пробовал решать, не получается(((
надеюсь кто нибудь поможет!!!
заранее спасибо!!!
|
Всего сообщений: 26 | Присоединился: ноябрь 2007 | Отправлено: 14 нояб. 2007 20:24 | IP
|
|
Roman Osipov 
Долгожитель
|
   
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 15 нояб. 2007 21:48 | IP
|
|
M a l i c e
Новичок
|
может кто сможет помочь решить некоторые задания
1) (1+x^2)y''+(y')^2+1=0
y(0)=y'(0)=1
2) y''=(y-xy')/x^2 (воспользоваться однородностью по уи его ппроизводными)
3) проверить что y1(x)=1/(x+1)- решение диф уравнения
(x^2-1)y''+4xy'+2y=0 и и найти общее решение д у
(x^2-1)y''+4xy'+2y=6x
4) y''+4y'+3y=e^x+e^-x
|
Всего сообщений: 11 | Присоединился: апрель 2007 | Отправлено: 17 нояб. 2007 14:24 | IP
|
|
Devo
Новичок
|
Пожалуйста, помогите найти полный дифференциал:
z=ln(x-y)/x+y
Очень надеюсь на Вашу помощь!
|
Всего сообщений: 1 | Присоединился: ноябрь 2007 | Отправлено: 17 нояб. 2007 16:02 | IP
|
|
Roman Osipov
Долгожитель
|
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 17 нояб. 2007 17:24 | IP
|
|
M a l i c e
Новичок
|
Цитата: M a l i c e написал 17 нояб. 2007 14:24
может кто сможет помочь решить некоторые задания
1) (1+x^2)y''+(y')^2+1=0
y(0)=y'(0)=1
2) y''=(y-xy')/x^2 (воспользоваться однородностью по уи его ппроизводными)
3) проверить что y1(x)=1/(x+1)- решение диф уравнения
(x^2-1)y''+4xy'+2y=0 и и найти общее решение д у
(x^2-1)y''+4xy'+2y=6x
4) y''+4y'+3y=e^x+e^-x
пожалуста очень надо
|
Всего сообщений: 11 | Присоединился: апрель 2007 | Отправлено: 18 нояб. 2007 13:38 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
как это решать?
xy' = yln(y/x)
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 20 нояб. 2007 0:05 | IP
|
|
Форум
Решение дифференциальных уравнений
