Guest
Новичок
|
   
Владимир и остальные помогите плиз
y'' +2sin(y)cos^3(y) = 0
Мне сказали что это нужно решать методом понижения порядка , но какую замену делать ?
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 2 нояб. 2006 22:29 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Цитата: Guest написал 2 нояб. 2006 22:29
Владимир и остальные помогите плиз
y'' +2sin(y)cos^3(y) = 0
Мне сказали что это нужно решать методом понижения порядка , но какую замену делать ?
Домножте лев. и прав. часть на y', т.е.
y''*y' +2*y'*sin(y)*cos^3(y) = 0, или
(1/2)*[(y')^2 - cos^4 (y)]'=0, откуда
(y')^2 - cos^4 (y) = const
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 3 нояб. 2006 0:24 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
эээ а чем это
(y')^2 - cos^4 (y) = const легче исходного ??
На линейное не похоже на однородное тоже
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 3 нояб. 2006 0:42 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Цитата: Guest написал 3 нояб. 2006 0:42
эээ а чем это
(y')^2 - cos^4 (y) = const легче исходного ??
На линейное не похоже на однородное тоже
(y')^2 - cos^4 (y) = C,
y' = +- sqrt[C + cos^4 (y)],
разделяете переменные,
y'/sqrt[C + cos^4 (y)] = +- 1,
int {dy/sqrt[C + cos^4 (y)]} = +- int dx + C1.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 3 нояб. 2006 1:56 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Извини я наверно уже достал , но можно еще вопрос интеграл в левой части берущийся ?
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 3 нояб. 2006 18:15 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
В общем виде - неберущийся, но если
к уравнению
y'' +2sin(y)cos^3(y) = 0
заданы еще некоторые начальные условия, то
может оказаться, что С=0, тогда интеграл сводиться к табличному.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 3 нояб. 2006 21:00 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
Берется, над комплексными числами, в общем виде. Но выразить явно "у" не получится все-равно (за исключением С=0)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 3 нояб. 2006 21:31 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Цитата: Genrih написал 3 нояб. 2006 21:31
Берется, над комплексными числами, в общем виде. Но выразить явно "у" не получится все-равно (за исключением С=0)
Интересно как?
Не берется - имеется ввиду в элементарных функциях.
int {dy/sqrt[C + cos^4 (y)]} = { t=tg(x) } =
= int {dt/sqrt[1 + C*(1+t^2)^2]} - эллиптический инт. 1-го рода.
(Сообщение отредактировал MEHT 3 нояб. 2006 21:50)
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 3 нояб. 2006 21:50 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
начальные условия Y(0)=0 и Y'(0) = 1
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 3 нояб. 2006 23:22 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Цитата: Guest написал 3 нояб. 2006 23:22
начальные условия Y(0)=0 и Y'(0) = 1
Ну так и есть: константа С обнуляется.
При понижении порядка получили уравнение
(y')^2 - cos^4 (y) = C,
при подстановке в которое этих нач. условий получаем
(Y'(0))^2 - cos^4 (Y(0)) = 0 = C;
в этом случае решение запишется как
int {dy/sqrt[сos^4 (y)]} = +- int dx + C1, или
tg(y) = +-x + C1,
подставляем сюда нач. условие Y(0)=0, получаем
tg(Y(0)) = 0 = C1, т.е. определена константа С1 и решение запишется как
tg(y) = +-x.
Осталось уточнить знак при аргументе в правой части. Для этого можно продифференцировать это равенство по x, т.е.
y'(x)*[1/cos^2 (y(x)) = +-1,
и снова подставить нач. условия:
Y'(0)*[1/cos^2 (Y(0)) = 1, следовательно при единице следует выбрать знак "+".
Окончательно, поставленная задача Коши имеет единственное решение
y = arctg(x).
(Сообщение отредактировал MEHT 4 нояб. 2006 3:21)
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 4 нояб. 2006 2:29 | IP
|
|
Форум
Решение дифференциальных уравнений
