bekas
Долгожитель
|
   
Зачем же так сложно - с привлечением Герона?
Есть известная формула для выражения медианы через стороны треугольника:
Ma = 1/2 * SQRT(2 * (b*b + c*c) - a*a)
Здесь Ma - медиана, проведенная из угла A на сторону a.
По данным задачи имеем (a - неизвестная сторона,c=SQRT(13),b=1):
2 = 1/2 * SQRT(2*(1+13) - a*a)
4 = SQRT(28-a*a);
16 = 28-a*a
a*a = 12
Не будем спешить и извлекать квадратный корень из 12, чтобы получить
значение длины a (опять же, если для получения площади соберемся
привлекать Герона - как-никак уже известны все три стороны треугольника)
Опять оставим в покое Герона и заметим, что c*c = b*b + a*a, так как
13 = 1 + 12. Следовательно, треугольник прямоугольный и его площадь
равна SQRT(12)/2.
Теперь вернемся к доказательству формулы
Ma = 1/2 * SQRT(2 * (b*b + c*c) - a*a)
Пусть у нас есть треугольник ABC (то есть a=BC, b=AC, c=AB)
и медиана Ma=AD (то есть BD=DC)
Продолжим медиану AD на расстояние DE=AD и построим отрезки BE и EC.
В полученном четырехугольнике ABEC точка D пересечения диагоналей
AE=2Ma и BC=a делит каждую из них пополам; следовательно,
ABEC - параллелограмм. Теперь используем теорему о том, что сумма
квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме длин квадратов
его сторон. Составив уравнение и решив его относительно Ma,
получим искомое соотношение Ma = 1/2 * SQRT(2 * (b*b + c*c) - a*a)
Действительно:
(2*Ma)*(2*Ma)+(a*a) = (b*b) + (b*b) + (c*c) + (c*c)
(2*Ma)*(2*Ma) = 2 * (b*b + c*c) - a*a
Ma*Ma = (2 * (b*b + c*c) - a*a)/4
Ma = 1/2 * SQRT(2 * (b*b + c*c) - a*a)
Для полноты решения докажем и утверждение о том, что сумма
квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме длин
квадратов его сторон (хотя это и должно быть одной из базовых
теорем в школьной программе).
Действительно, по теореме косинусов для нашего параллелограмма ABEC:
AE*AE = AB*AB + BE*BE - 2*AB*BE*cos(угол ABE)
BC*BC = AB*AB + AC*AC - 2*AB*AC*cos(угол BAC)
Сложим два равенства (с учетом того, что BE=AC):
AE*AE + BC*BC = 2*AB*AB + 2*AC*AC - 2*AB*AC*cos(угол ABE) - 2*AB*AC*cos(угол BAC)
Но так как угол ABE = 180 - угол BAC,
то cos(угол ABE) = cos(180 - угол BAC) = -cos(угол BAC)
Следовательно, два последних слагаемых в правой части равенства
взаимно уничтожатся и получим
AE*AE + BC*BC = 2*AB*AB + 2*AC*AC, а это и означает,
что сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма
равна сумме длин квадратов его сторон.
(Сообщение отредактировал bekas 12 фев. 2006 2:21)
|
Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 12 фев. 2006 2:02 | IP
|
|
bekas
Долгожитель
|
P.S. Очевидно, SQRT(12)/2=SQRT(3)
Кроме того, теорему о медиане можно доказать сразу,
базируясь на теореме косинусов для двух треугольников,
на которые медиана делит исходный треугольник. Там в результате суммирования равенств также произойдет взаимоуничтожение слагаемых, содержащих косинусы углов,
сумма которых равна 180 градусов...
|
Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 12 фев. 2006 12:51 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Пусть для внутрених углов A, B, Y треугольника выполняется равенство
sin(3A/2) + sin(3B/2) - sin(3Y/2) - cos(3A/2) - cos(3B/2) - cos(3Y/2) = 1
Доказать, что один из углов треугольника равняется 60 или 120 градусов
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 17 фев. 2006 18:55 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Помогите, пожалуйста, решить задачи на планиметрию:
Точки M, N лежат на боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС. АМ=2/3АВ, CN=1/4BC. Найти в каком отношении отрезок МN делит высоту ВD.
Равнобочная трапеция, у которой угол при основании равен 60 градусам, описана около окружности. В каком отношении прямая, соединяющая точки касания окружности с боковыми сторонами делят площадь трапеции.
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 17 фев. 2006 22:41 | IP
|
|
miss_graffiti
Долгожитель
|
  
в первой у меня 11/24 получилось.
во второй получается, что эта линия - средняя линия трапеции, и вроде как делит в соотношении 7/5.
хотя вполне могла ошибиться в расчетах.
а по сути задачки простенькие.
|
Всего сообщений: 670 | Присоединился: сентябрь 2005 | Отправлено: 18 фев. 2006 14:26 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
miss graffiti, напиши пожалуйста решение! Очень прошу!
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 18 фев. 2006 17:52 | IP
|
|
bekas
Долгожитель
|
К сожалению, miss graffiti права наполовину, так как прямая,
соединяющая точки касания окружности с боковыми сторонами, действительно
является средней линией, но вовсе не трапеции, а следующего равностороннего
треугольника. Действительно, если продолжить боковые стороны трапеции до
их пересечения X, то получается этот самый равносторонний треугольник,
в который вписана окружность. Естественно, что точки касания этой окружности
делят стороны равностороннего треугольника пополам, следовательно, наша
прямая и будет средней линией равностороннего треугольника.
Обозначим сторону равностороннего треугольника через A. Известно, что
радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен
(A * SQRT(3))/6. Очевидно, высота трапеции равна диаметру вписанной
окружности (A * SQRT(3))/3, а высота равностороннего треугольника равна
(A * SQRT(3))/2. Таким образом, высота треугольника, образованного
точкой пересечения X и меньшим верхним основанием трапеции, равна
(A * SQRT(3))/2 - (A * SQRT(3))/3 = (A * SQRT(3))/6. Отсюда следует,
что половина верхнего основания трапеции равна A/6, а длина верхнего
основания равна A/3.
Итак, длина верхнего основания трапеции равна A/6, длина нижнего основания
трапеции равна A, высота трапеции равна (A * SQRT(3))/3, площадь трапеции
равна (7*A*A*SQRT(3))/36
Если рассмотреть трапецию, образованную средней линией треугольника и верхним
основанием исходной трапеции, то длина ее нижнего основания равна A/2,
длина верхнего основания равна A/6, а высота (после несложных вычислений)
равна (A * SQRT(3))/12; ее площадь соответственно равна (A*A*SQRT(3))/18
Таким образом, отношение площади только что выше рассмотренной трапеции
к площади исходной трапеции составит (A*A*SQRT(3))/18 деленное на
(7*A*A*SQRT(3))/36 или 2/7. Поэтому линия делит трапецию на площади
в отношении 2/5
|
Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 18 фев. 2006 18:41 | IP
|
|
miss_graffiti
Долгожитель
|
первая тоже на среднюю линию...
например, можно построить прямоугольничек...
со сторонами, параллельными высоте и проходящими через M и N....
а дальше смотреть размеры, исходя из подобия треугольников.
|
Всего сообщений: 670 | Присоединился: сентябрь 2005 | Отправлено: 18 фев. 2006 18:52 | IP
|
|
bekas
Долгожитель
|
miss graffiti, так как насчет трапеции (см. мое решение)?
|
Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 18 фев. 2006 21:31 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
bekas
А почему, точки касания окружности
делят стороны равностороннего треугольника пополам? Да и почему треугольник равносторонний?
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 18 фев. 2006 21:58 | IP
|
|
|
Форум
Геометрические задачи
