Guest
Новичок
|
   
А у меня надо найти косинус угла между диагоналями с и d параллелограмма, построенного на векторах а и b если а=3p+q, b=3p-2q, |p|=2, |q|=3 угол между p и q = p/4(пи на 4).
я находила с помощью ввода нового базиса. но сказали что нужно другое решение.
вы бы не могли помочь?
уже весь интернет обыскала-нигде нету.
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 10 янв. 2007 14:48 | IP
|
|
bekas
Долгожитель
|
Могу предложить следующее решение (возможно, и неверное).
Очевидно, диагонали параллелограмма есть векторы
x = a + b = 6p-q и y = a - b = q.
Используя распределительное свойство скалярного произведения, вычислим скалярное произведение
(x,y) = (6p-q,q) = (6p,q) - (q,q).
Так как (q,q) = |q|^2 = 9,
(6p,q) = 6*(p,q) = 6*|p|*|q|*cos(p/4) = 18*sqrt(2),
то (x,y) = 18*sqrt(2) - 9.
Исходя из того, что (x,y) = |x|*|y|*cos(z) и |y| = |q| = 3,
для решения задачи осталось найти |x|.
Величину |x| можно найти по теореме косинусов как сторону
треугольника на основании 2-х других его сторон:
|6p| = 12 и |q| = 3
и угла между ними в 45 градусов.
|x| = sqrt(144 + 9 - 36*sqrt(2)) = sqrt(153 - 36*sqrt(2))
sqrt(153 - 36*sqrt(2)) * 3 * cos(z) = 18*sqrt(2) - 9
cos(z) = (6*sqrt(2) - 3)/sqrt(153 - 36*sqrt(2))
Окончательно, z = arccos((6*sqrt(2) - 3)/sqrt(153 - 36*sqrt(2)))
|
Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 10 янв. 2007 21:39 | IP
|
|
bekas
Долгожитель
|
Величину |x| можно найти и оставаясь в рамках аналитической
геометрии. Для этого достаточно получить (x,x) = |x|^2 =
(6p-q,6p-q) = 36*|p|^2 -12*(p,q)+|q|^2. Учитывая, что
(p,q) = |p|*|q|*cos(P/4), получаем |x| = sqrt(153 - 36*sqrt(2))
|
Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 11 янв. 2007 19:07 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Народ, плиз, поделитесь соображениями по решению 3-х задач - просто какие-то геометрические монстры...
1) В пирамиде ABCD длина отрезка DB равна 5/2.Точка Е-середина АВ, а F -точка пересечения медиан грани BCD. Причем EF=8. Сфера радиуса 5 касается плоскостей ABD и BCD в точках Е и F соответственно. Найти двугранный угол между гранями ABD и BCD, площади граней BCD и ABD.
2) В треугольной пирамиде ABCD ребро DC равно 9, BD=AD. Ребро АС перпендикулярно к грани ABD. Сфера радиуса 2 касается грани АВС, ребра DC, а также грани DAB в точки пересечения ее медиан. Найти все ребра пирамиды.
3) Длина ребра основания правильной треугольной пирамиды SABC равна 3. Точки К и L расположены на ребрах АС и ВС соответственно, причем АК=3/2, BL=1. Известно, что для данной пирамиды существует единственный конус, вершина которого совпадает с точкой К, центр основания лежит на прямой SB, а отрезок KL является одной из образующих. Найти площадь полной поверхности этого конуса.
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 16 янв. 2007 22:54 | IP
|
|
undeddy
Долгожитель
|
Существует ли ГМТ, равноудаленных от двух скрещивающихся прямых?
|
Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 17 янв. 2007 17:23 | IP
|
|
StOper
Удален
|
Здравствуйте. Нужна ваша помощь! Сыну сотрудника по работе в лицее задали задачку. Решаем второй день всем отделом. Хоть сроки уже все вышли, но все равно интересно как она решается. Работа встала, помогите! Итак условие: дан квадрат ABCD, в квадрате точка М. Проведены отрезки BM, CM, DM. угол MBC=60 град. угол угол ADM = 15 град. Вопрос: чему равен угол MCD???. Сразу хочу еще раз уточнить, что задачка для 8го класса, тема про подобные треугольники и параллельные прямые. Не факт что решить надо именно этими способами но решение с синусами и косинусами не подойдет. Заранее спасибо.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 19 янв. 2007 10:10 | IP
|
|
bekas
Долгожитель
|
Если получится доказать (оставаясь в рамках подобных треугольников и параллельных прямых - у меня пока этого не получилось), что точка M находится посередине между левой и правой стороной квадрата (другими методами это доказывается просто), то угол MCD определится сразу - 30 градусов. Будем думать...
(Сообщение отредактировал bekas 20 янв. 2007 12:17)
|
Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 20 янв. 2007 12:16 | IP
|
|
StOper
Удален
|
Не обязательно доказывать в рамках подобных треугольников и параллельных прямых (задача на доп. оценку), но у меня получилось только при помощи тригонометрии, явно не для 8 класса. Так что если есть другие методы, буду благодарен.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 20 янв. 2007 13:59 | IP
|
|
bekas
Долгожитель
|
Для решения данной задачи рассмотрим вспомогательную задачу, когда отрезок BM = BC, т.е. треугольник
BMC - правильный.
Очевидно, в этом случае треугольник MCD - равнобедренный,
а угол MCD = 30 градусов, соответственно,
угол CMD = угол CDM = 75 градусов и угол ADM = 15 градусов.
А это как раз и означает, что выбранная нами точка M соответствует исходным данным. Угол MCD найден выше и равен 30 градусов.
|
Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 20 янв. 2007 19:55 | IP
|
|
bekas
Долгожитель
|
Решение задачи Guest от 16 янв. 2007 22:54
(довольно милой, вовсе не похожей на монстра):
2) В треугольной пирамиде ABCD ребро DC равно 9, BD=AD.
Ребро АС перпендикулярно к грани ABD.
Сфера радиуса 2 касается грани АВС, ребра DC,
а также грани DAB в точки пересечения ее медиан.
Найти все ребра пирамиды.
Пусть E - точка касания сферы грани ABC,
F - точка касания сферы ребра DC,
G - точка касания сферы грани DAB,
H - основание медианы, проведенной из вершины D
на основание AB равнобедренного треугольника BDA.
Проведем перпендикуляр из точки E на ребро AC,
их точка пересечения будет K.
При таких обозначениях очевидно:
GH - радиус сферы, DH = 2 * DH = 4 на
основании свойства точки пересечения медиан треугольника.
На основании свойства касательных, проведенных к сфере
из одной точки D, имеем равенство DH = DF = 4,
отсюда CF = CD - DF = 9 - 4 = 5.
Опять же, на основании свойства касательных, проведенных к сфере из одной точки C, имеем равенство CF = CE = 5.
Обозначим AH = HB = x, тогда из прямоугольного
треугольника AHD получим AD^2 = 36 + x^2.
Из другого прямоугольного треугольника CAD
получим AC^2 = 81 - AD^2 = 45 - x^2.
Очевидно, KA равно радиусу сферы, а KE = AH
(впрочем, это надо доказать!).
Отсюда CK = AC - KA = sqrt(45 - x^2) - 2.
Осталось рассмотреть последний прямоугольный треугольник
CKE, чтобы определить x:
25 = x^2 + (sqrt(45 - x^2) - 2)^2, x = 3.
После элементарных вычислений получаем длины ребер:
AB = 6, AD = BD = sqrt(45), CA = 6, CB = 6*sqrt(2).
|
Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 21 янв. 2007 9:25 | IP
|
|
|
Форум
Геометрические задачи
