Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        Геометрические задачи
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

bekas


Долгожитель

Я просто хотел обратить внимание пользователей вашей формулы, что необходимо рассматривать в общем виде 2 случая, последний из которых и приведен вами...

-----
Из Северодонецка

Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 23 июля 2006 11:59 | IP
undeddy



Долгожитель

Дана такая задача:

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC и имеющей площадь S на стороне AB взяты точки P и R, а на стороне CD - точки Q и S таким образом, что

AP/PB = p, AR/RB = r > p, DS/SC = s, DQ/QC = q > s. Отрезки PQ и RS пересекаются в точке O. Найти площадь треугольника PRO, если AD/BC = a.


Какой в этой задаче наиболее "компактный" метод решения? У меня что-то уж больно длинное решение вышло. Если решили мне помочь, то решение здесь приводить вовсе не обязательно ввиду его громоздкости (задача в общем виде), достаточно привести план решения.

Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 31 июля 2006 15:48 | IP
llorin1


Участник

Одним из способов решения подобных  задач является введение  векторов. По определению,  псевдовекторным произведением  [A,B]  ненулевых векторов A  и  B называется число | A|*| B |*sin(A,B), абсолютная величина которого, равна площади параллелограмма, образованного этими векторами. Через (A,B) здесь обозначен ориентированный угол, по определению,  угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки вектор A, чтобы он стал сонаправлен вектору  B. Углы, отличающиеся  на 360 град., считаются равными.  Проверяется, что (A,B) =360-(B, A)= -(B, A)  и  (-A,B) =180+(A,B).
Основные свойства  [A,B] (проверяются):
1)[A, A]=0;
2)[A,B] =  -[B, A]:
3)[k*A,B]=k*[A,B];
4)[A+C,B]= [A,B]+ [C,B];
5)Если A=(a1,a2), B=(b1,b2), то [A,B]=a1*b2 - a2*b1.
Переходя непосредственно к решению задачи, понятно, что искомая площадь    
S(PRO) равна |[PO,PR]/2|. Введите базис, например, AD и AB.  Через него выразите все необходимые вектора.  Для того, чтобы определить вектора  PO и  OR,  положим  PO=k/(k+1)*PQ и OR=x/(x+1)*SR . Выразите через базис вектор  PO+OR-PR, используя введенные переменные. С другой стороны, ясно, что PO+OR-PR=0=0* AD+0* AB.  Пользуясь единственностью разложения вектора в базисе,  найдите k и x , приравняв коэффициенты  при AD и AB слева и справа. Для удобства записи переопределим:
m = p/(1 + p), n = s/(1 + s), v = r/(1 + r), u = q/(1 + q).
Тогда, k = (n + a*(1 - n))*(v - m)/((u - n)*(v + a*(1 - v))) ,  значение x  нам не потребуется.
Площадь трапеции равна S=|[BD,AC]/2|= (1 + a)/(2*a)*|[ AD,AB]|. Эта известная формула (половина произведения диагоналей на синус угла между ними)
S=|[BD,AC]/2|, для площади выпуклого четырехугольника, может быть получена так:
S=S(ABC)+S(BCD)=|[AC, AB]/2+[AD,AC]/2|= |-[AB,AC]/2+[AD,AC]/2|=
=|[AD-AB,AC]/2|=|[BD,AC]/2|.
Вычисление |[PO,PR]/2| дает выражение
(u + a*(1 - u))*(v - m)*k*|[ AD,AB]|/(2*a*(1 + k)) .
Поэтому, окончательно, можно записать:
S(PRO)= k*S*(u+a*(1-u))*(v-m)/((1+a)*(1+k)) , где k  найдено выше.

-------------------------
Подобным методом можно решить задачу, которую я приводил в этом форуме на стр. 21.

Всего сообщений: 147 | Присоединился: июнь 2006 | Отправлено: 2 авг. 2006 3:19 | IP
MEHT



Долгожитель

Любителям решать геометрические задачки хочу предложить  простую по формулировке задачку (возможно, что некоторые ярые любители геометрии с ней уже сталкивались) :
"Если в треугольнике длины 2-х биссектрисс равны, доказать что он равнобедренный."
Какие будут идеи?

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 15 авг. 2006 14:21 | IP
bekas


Долгожитель

Данная теорема Штейнера-Лемуса довольно подробно
освещена в "Новые встречи с геометрией", Коксетер, Грейтцер

-----
Из Северодонецка

Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 16 авг. 2006 22:26 | IP
MEHT



Долгожитель


Цитата: bekas написал 16 авг. 2006 22:26
Данная теорема Штейнера-Лемуса довольно подробно
освещена в "Новые встречи с геометрией", Коксетер, Грейтцер


Благодарю за информацию... не знал.
P.S.
А не припомните ли сам метод доказательства: аналитический или геометрический?


-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 16 авг. 2006 22:55 | IP
bekas


Долгожитель

Доказательство геометрическое и основано на двух леммах:

1) Если две хорды окружности стягивают различные острые углы с вершинами на этой окружности, то меньшему углу соответствует меньшая хорда

2) В треугольнике с двумя различными углами меньший угол обладает большей биссектрисой

-----
Из Северодонецка

Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 18 авг. 2006 22:47 | IP
Guest



Новичок

Две вершины прямоугольника расположены на стороне AC
треугольника ABC, а две другие на сторонах AB и BC. Известно,
что середина высоты этого треугольника, проведенной к стороне AC, лежит на одной из диагоналей прямоугольника, а сторона прямоугольника, расположенная на AC, в три раза меньше AC. В каком отношении высота треугольника делит сторону AC?

Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 20 авг. 2006 10:10 | IP
MEHT



Долгожитель


Цитата: Guest написал 20 авг. 2006 10:10
Две вершины прямоугольника расположены на стороне AC
треугольника ABC, а две другие на сторонах AB и BC. Известно,
что середина высоты этого треугольника, проведенной к стороне AC, лежит на одной из диагоналей прямоугольника, а сторона прямоугольника, расположенная на AC, в три раза меньше AC. В каком отношении высота треугольника делит сторону AC?


Решение получается неоднозначным, т.е. зависит от параметров самого треугольника ABC.
Укажите в задаче (для однозначного решения) дополнительное условие, скажем,
отношение высоты, проведенной к АС к самой стороне АС.

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 21 авг. 2006 1:38 | IP
Guest



Новичок

Условие правильно.

-----
В действительности все выглядит иначе, чем на самом деле!

Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 21 авг. 2006 15:00 | IP

Эта тема закрыта, новые ответы не принимаются

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 ]

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com