bekas
Долгожитель
|
   
Я просто хотел обратить внимание пользователей вашей формулы, что необходимо рассматривать в общем виде 2 случая, последний из которых и приведен вами...
|
Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 23 июля 2006 11:59 | IP
|
|
undeddy
Долгожитель
|
Дана такая задача:
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC и имеющей площадь S на стороне AB взяты точки P и R, а на стороне CD - точки Q и S таким образом, что
AP/PB = p, AR/RB = r > p, DS/SC = s, DQ/QC = q > s. Отрезки PQ и RS пересекаются в точке O. Найти площадь треугольника PRO, если AD/BC = a.
Какой в этой задаче наиболее "компактный" метод решения? У меня что-то уж больно длинное решение вышло. Если решили мне помочь, то решение здесь приводить вовсе не обязательно ввиду его громоздкости (задача в общем виде), достаточно привести план решения.
|
Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 31 июля 2006 15:48 | IP
|
|
llorin1
Участник
|
Одним из способов решения подобных задач является введение векторов. По определению, псевдовекторным произведением [A,B] ненулевых векторов A и B называется число | A|*| B |*sin(A,B), абсолютная величина которого, равна площади параллелограмма, образованного этими векторами. Через (A,B) здесь обозначен ориентированный угол, по определению, угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки вектор A, чтобы он стал сонаправлен вектору B. Углы, отличающиеся на 360 град., считаются равными. Проверяется, что (A,B) =360-(B, A)= -(B, A) и (-A,B) =180+(A,B).
Основные свойства [A,B] (проверяются):
1)[A, A]=0;
2)[A,B] = -[B, A]:
3)[k*A,B]=k*[A,B];
4)[A+C,B]= [A,B]+ [C,B];
5)Если A=(a1,a2), B=(b1,b2), то [A,B]=a1*b2 - a2*b1.
Переходя непосредственно к решению задачи, понятно, что искомая площадь
S(PRO) равна |[PO,PR]/2|. Введите базис, например, AD и AB. Через него выразите все необходимые вектора. Для того, чтобы определить вектора PO и OR, положим PO=k/(k+1)*PQ и OR=x/(x+1)*SR . Выразите через базис вектор PO+OR-PR, используя введенные переменные. С другой стороны, ясно, что PO+OR-PR=0=0* AD+0* AB. Пользуясь единственностью разложения вектора в базисе, найдите k и x , приравняв коэффициенты при AD и AB слева и справа. Для удобства записи переопределим:
m = p/(1 + p), n = s/(1 + s), v = r/(1 + r), u = q/(1 + q).
Тогда, k = (n + a*(1 - n))*(v - m)/((u - n)*(v + a*(1 - v))) , значение x нам не потребуется.
Площадь трапеции равна S=|[BD,AC]/2|= (1 + a)/(2*a)*|[ AD,AB]|. Эта известная формула (половина произведения диагоналей на синус угла между ними)
S=|[BD,AC]/2|, для площади выпуклого четырехугольника, может быть получена так:
S=S(ABC)+S(BCD)=|[AC, AB]/2+[AD,AC]/2|= |-[AB,AC]/2+[AD,AC]/2|=
=|[AD-AB,AC]/2|=|[BD,AC]/2|.
Вычисление |[PO,PR]/2| дает выражение
(u + a*(1 - u))*(v - m)*k*|[ AD,AB]|/(2*a*(1 + k)) .
Поэтому, окончательно, можно записать:
S(PRO)= k*S*(u+a*(1-u))*(v-m)/((1+a)*(1+k)) , где k найдено выше.
-------------------------
Подобным методом можно решить задачу, которую я приводил в этом форуме на стр. 21.
|
Всего сообщений: 147 | Присоединился: июнь 2006 | Отправлено: 2 авг. 2006 3:19 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Любителям решать геометрические задачки хочу предложить простую по формулировке задачку (возможно, что некоторые ярые любители геометрии с ней уже сталкивались) :
"Если в треугольнике длины 2-х биссектрисс равны, доказать что он равнобедренный."
Какие будут идеи? 
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 15 авг. 2006 14:21 | IP
|
|
bekas
Долгожитель
|
Данная теорема Штейнера-Лемуса довольно подробно
освещена в "Новые встречи с геометрией", Коксетер, Грейтцер
|
Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 16 авг. 2006 22:26 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Цитата: bekas написал 16 авг. 2006 22:26
Данная теорема Штейнера-Лемуса довольно подробно
освещена в "Новые встречи с геометрией", Коксетер, Грейтцер
Благодарю за информацию... не знал.
P.S.
А не припомните ли сам метод доказательства: аналитический или геометрический?
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 16 авг. 2006 22:55 | IP
|
|
bekas
Долгожитель
|
Доказательство геометрическое и основано на двух леммах:
1) Если две хорды окружности стягивают различные острые углы с вершинами на этой окружности, то меньшему углу соответствует меньшая хорда
2) В треугольнике с двумя различными углами меньший угол обладает большей биссектрисой
|
Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 18 авг. 2006 22:47 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Две вершины прямоугольника расположены на стороне AC
треугольника ABC, а две другие на сторонах AB и BC. Известно,
что середина высоты этого треугольника, проведенной к стороне AC, лежит на одной из диагоналей прямоугольника, а сторона прямоугольника, расположенная на AC, в три раза меньше AC. В каком отношении высота треугольника делит сторону AC?
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 20 авг. 2006 10:10 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Цитата: Guest написал 20 авг. 2006 10:10
Две вершины прямоугольника расположены на стороне AC
треугольника ABC, а две другие на сторонах AB и BC. Известно,
что середина высоты этого треугольника, проведенной к стороне AC, лежит на одной из диагоналей прямоугольника, а сторона прямоугольника, расположенная на AC, в три раза меньше AC. В каком отношении высота треугольника делит сторону AC?
Решение получается неоднозначным, т.е. зависит от параметров самого треугольника ABC.
Укажите в задаче (для однозначного решения) дополнительное условие, скажем,
отношение высоты, проведенной к АС к самой стороне АС.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 21 авг. 2006 1:38 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Условие правильно.
-----
В действительности все выглядит иначе, чем на самом деле!
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 21 авг. 2006 15:00 | IP
|
|
|
Форум
Геометрические задачи
