Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        Геометрические задачи
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

MEHT



Долгожитель

Опять же могу предложить альтернативный вариант.
Не нужно рассматривать частных случаев совпадения точки М с верш. треугольника.

Введем декартову систему коодинат так, чтобы O совпад. с центром окружности,
и чтобы точка A лежала на оси абсцисс. Пусть радиус окр. равен a. Тогда
A(a;0), В(-a/2;a*sqrt(3)/2), C(-a/2;-a*sqrt(3)/2).
Любую точку на окружности можно описать только углом между радиус-вектором этой точки и осью абсцисс;
пусть этот угол есть j, тогда
M(a*cos(j);a*sin(j)).
Из координат точек элементарно составляются вектора
AM, BM, CM,
и наход. квадраты их модулей
AM^2, BM^2, CM^2.
Просуммировав их, все тригоном. функции,
содержащие j сокращаются,
остается лишь величина 6*a^2 не зависящая от j, а следов. и от выбора точки на окружности.

Замечу, что для решения задачи подобным образом вполне достаточно знаний школьного курса геометрии.


(Сообщение отредактировал MEHT 30 марта 2006 2:38)

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 30 марта 2006 1:46 | IP
Genrih


Удален


Цитата: MEHT написал 30 марта 2006 0:46

Введем декартову систему коодинат так, чтобы O совпад. с центром окружности,
и чтобы точка A лежала на оси абсцисс. Пусть радиус окр. равен a. Тогда
A(a;0), В(a/2;a*sqrt(3)/2), C(a/2;-a*sqrt(3)/2).


Здесь кажись опечатка: в точках В и С надо взять отрицательные абссцисы, иначе весь треугольник уместится в правой полуокружности

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 30 марта 2006 2:29 | IP
MEHT



Долгожитель


Цитата: Genrih написал 30 марта 2006 2:29

Цитата: MEHT написал 30 марта 2006 0:46

Введем декартову систему коодинат так, чтобы O совпад. с центром окружности,
и чтобы точка A лежала на оси абсцисс. Пусть радиус окр. равен a. Тогда
A(a;0), В(a/2;a*sqrt(3)/2), C(a/2;-a*sqrt(3)/2).


Здесь кажись опечатка: в точках В и С надо взять отрицательные абссцисы, иначе весь треугольник уместится в правой полуокружности


Да, конечно...

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 30 марта 2006 2:36 | IP
undeddy



Долгожитель

В другой задаче необходимо (предварительно) построить сечение прямоугольной призмы ABCA'B'C', основанием которой является равнобедренный треугольник ABC, учитывая что секущая плоскость перпендикулярна к прямой A'C и пересекает ребра AC и A'C'.
Поможите в построении сечения. Каким именно образом в данном случае провести плоскость, перпендикулярную к прямой A'C?


(Сообщение отредактировал undeddy 30 марта 2006 21:05)

-----
Всему свойcтвенна своя справедливость.

Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 30 марта 2006 18:04 | IP
bekas


Долгожитель

Задача построения плоскости в таком виде полностью не определена. Рекомендую обнародовать всю задачу, а не вашу
выжимку из нее в вашей трактовке...

-----
Из Северодонецка

Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 30 марта 2006 22:12 | IP
undeddy



Долгожитель

Ладно вот так:

Основание прямой призмы ABCA'B'C' - равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = BC = 5, угол ABC равен 2arcsin(3/5). Плоскость, перпендикулярная к прямой A'C, пересекает ребра AC и A'C' в точках D и E соответсвенно, причем AD = AC/3, EC' = A'C'/3. Найти площадь сечения призмы этой плоскостью.

Здесь дело даже не в том, что я не знаю идею решения этой задачи, а в том, что мне непонятен чертеж.

Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 31 марта 2006 12:10 | IP
bekas


Долгожитель

Основание прямой призмы ABCA'B'C' - равнобедренный треугольник ABC,
в котором AB = BC = 5, угол ABC равен 2arcsin(3/5).
Плоскость, перпендикулярная к прямой A'C, пересекает ребра AC и A'C'
в точках D и E соответсвенно, причем AD = AC/3, EC' = A'C'/3.
Найти площадь сечения призмы этой плоскостью.

Идея решения задачи.

Определимся сначала со стороной AC, опять же привлекая теорему косинусов:

AC*AC = 25 + 25 - 2*25 * cos(ABC)

Вспоминаем, что cos(2X) = 1 - 2*sin(X)*sin(X) и получаем
cos(ABC) = 1 - 2*sin(arcsin(3/5))*sin(arcsin(3/5)) = 1 - 2 * 3/5 * 3/5 = 7/25.

Отсюда следует, что AC*AC = 36, AC = 6.

Рассмотрим теперь плоскость A'C'CA. Предполагается, что плоскость,
перпендикулярная к прямой A'C, должна быть перпендикулярна и плоскости A'C'CA.
Итак, пересечение этих двух плоскостей проходит по прямой DE, а эта линия
перпендикулярна к прямой A'C. Обозначим точку пересечения прямых A'C и DE как O.

Очевидно, A'E = DC = 4, EC' = AD = 2. Обозначим для удобства C'C=x, A'C=y, OE=z.

По теореме Пифагора для треугольника A'C'C получаем y*y = x*x + 36.

Треугольники A'OE и DOC равны по трем углам
и DC=A'E. Отсюда OE=OD и A'O=OC, то есть точка O есть центр
симметрии прямоугольника A'C'CA.

Из очевидного подобия прямоугольных
треугольников A'OE и A'C'C следует пропорция:

y/2 : z = 6 : x, откуда z = xy/12.

По теореме Пифагора для треугольника A'OE получаем (y*y)/4 + xy*xy/144 = 16.

Решая последнее уравнение совместно с y*y = x*x + 36, получим
x*x = 12, y*y = 48, z = 2.

Итак, DE = 2z = 4.

Если рассмотреть треугольник A'B'C', то плоскость пересечет его по
перпендикуляру, проведенному через точку E к стороне A'C'. Пусть этот
перпендикуляр пересечет сторону B'C' в точке F'. После несложных
вычислений получим EF' = 8/3.

Если рассмотреть треугольник ABC, то плоскость пересечет его по
перпендикуляру, проведенному через точку D к стороне AC. Пусть этот
перпендикуляр пересечет сторону AB в точке F. Естественно, DF = EF' = 8/3.

Теперь осталось определиться, как произойдет пересечение
плоскости с ребром BB'. Нам крупно повезло - из условий задачи следует,
что перпендикуляр, опущенный из середины ребра BB' на плоскость A'C'CA,
проецируется в центр плоскости A'C'CA, то есть в точку O. А это и означает,
что этот перпендикуляр принадлежит плоскости сечения. Обозначим середину
ребра BB' как S. Таким образом, плоскость сечения состоит из прямоугольника
DEF'F и треугольника F'SF. Не будем останавливаться на очевидном равенстве
F'S=FS, а вычислим FS из прямоугольного треугольника FBS:

AF = 10/3, FB = 5/3, BS = 1/2 * x = 1/2 * sqrt(12).

FS*FS = BS*BS + FB*FB, FS*FS = 3 + 25/9 = 52/9, FS = sqrt(52)/3.

Кроме того, не забываем, что FF' = 2z = 4. Из этих данных легко
получить, что площадь треугольника F'SF равна 8/3, ну а площадь прямоугольника
DEF'F равна 32/3. Окончательно, площадь сечения равна 32/3 + 8/3 = 40/3.

Настоятельно рекомендую тщательно проверить мои расчеты - возможно, где-то
я и ошибся...


-----
Из Северодонецка

Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 31 марта 2006 21:17 | IP
Lina


Новичок

Всем привет!
Помоги те пожалуйста решить следующее,мыслей нет никаких:
В кубе АВСDA1B 1C1D1 с ребром длины а точка К-середина ребра АВ,точка Е-середина ребра DD1.Найти периметр треугольника А1КЕ и определить в каком отношении делит объём куба плоскость,проходящая через вершины этого треугольника.
Заранее,спасибо.

Всего сообщений: 3 | Присоединился: апрель 2011 | Отправлено: 12 апр. 2006 16:27 | IP
bekas


Долгожитель

Для получения периметра треугольника А1КЕ активно применяем теорему
Пифагора:

1) из треугольника KAD получаем KD^2 = KA^2 + AD^2 = 5/4 * a^2
2) из треугольника KDE получаем KE^2 = KD^2 + ED^2 = 3/2 * a^2
  KE = a * sqrt(3/2)
3) очевидно, A1K = A1E = KD = a/2 * sqrt(5)

Отсюда P = A1K + A1E + KE = a * sqrt(5) + a * sqrt(3/2)
P = a * (sqrt(5) + sqrt(3/2))

Для построения сечения куба плоскостью продолжим отрезок A1E до
пересечения с продолжением ребра AD; обозначим точку пересечения как F.

Соединим точку F с точкой K и обозначим точку пересечения отрезка KF
и ребра DC как G. Очевидно, что плоскость сечения будет определяться
точками A1, E, G, K и эта плоскость отсекает от куба усеченную
пирамиду с основаниями A1AK и EDG и высотой AD.

Очевидно, что треугольники A1AK и EDG подобны с коэффициентом подобия 2.
Известно, что площади подобных фигур относятся как квадрат их подобия.

Поэтому, если S1 для треугольника A1AK равна a^2 / 4, то
S2 для треугольника EDG равна a^2 / 16.

Осталось применить формулу объема для усеченной пирамиды:

V = 1/3 *(S1 + sqrt(S1 * S2) + S2) * a

После несложных вычислений получаем V = a^3 / 8.

Окончательно, плоскость делит объем куба в отношении 7/8.


-----
Из Северодонецка

Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 12 апр. 2006 23:10 | IP
Questioner2006



Новичок

Hi all.
Помогите построить пример замкнутой поверхности знакопеременной кривизны, у которой области положительной кривизны видно с одной стороны, а отрицательной кривизны - с другой.
Сам придумал следующее: незамкнутая поверхность, полученная вращением вокруг оси Оу графика многочлена 4 степени (такого, что у него максимум в х=0 и 2 минимума в х=а, х=-а ).
Если коеффициенты подобрать так, чтобы касательная в точке перегиба содержала её радиус-вектор, то в этой точке вектор нормали перпендикулярен радиус-вектору, функция (r,m(r))=0 ( m(r) - нормаль в точке r). То есть, области поверхности с кривизной различного знака будут видны с разных сторон. Правильно или нет?
Это задача 3.60 из сборника Кованцова и др., "Дифференциальная геометрия, топология, тензорный анализ". Ответа в задачнике нет; думаю уже не первый день.
Спасибо.

Всего сообщений: 13 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 13 апр. 2006 4:39 | IP

Эта тема закрыта, новые ответы не принимаются

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 ]

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com