bekas
Долгожитель
|
   
В правильной треугольной пирамиде, сторона оснований которой равна а,
а боковое ребро 3а, проведено сечение параллельно боковому ребру.
Найти площадь этого сечения, если оно является ромбом.
Пусть это будет пирамида SABC, где S - вершина пирамиды, кроме того
SC - ребро, параллельно которому проведено сечение. Обозначим
точки пересечения сечения с ребрами пирамиды следующим образом:
для ребра AC это точка Z1, для ребра AS это точка Z2,
для ребра BS это точка Z3, для ребра CB это точка Z4.
По условию задачи X=Z1Z2=Z2Z3=Z3Z4=Z1Z4 и Z1Z2||Z4Z3, Z2Z3||Z1Z4.
Очевидно (докажите!), что Z1Z2||SC и Z1Z4||AB. Так как треугольник
CZ1Z4 - равносторонний, CZ1=X. Из подобия треугольников SAC и Z2AZ1
следует, что X/(a-X) = 3a/a, откуда X=3a/4.
Исходя из соображений симметрии, можно утверждать (докажите!),
что ромбовидное сечение на самом деле является квадратом
(квадрат - частный вид ромба, не так ли?), откуда сразу
получаем площадь этого сечения S = X*X = 9a*a/16.
|
Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 10 июня 2006 11:57 | IP
|
|
Armeika
Удален
|
Решите, пожалуйста, задачи по геометрии. Уровень – 11 класс. Желательно как можно быстрее.
В полушар вписан цилиндр наибольшего объема. Найдите отношение объема этого цилиндра к объему полушара.
Основание пирамиды – правильный шестиугольник. Одно из боковых ребер пирамиды перпендикулярно к плоскости ее основания и равно стороне шестиугольника. Найдите: двугранные углы при ребрах основания пирамиды, углы наклона боковых ребер пирамиды к плоскости ее основания.
К – середина стороны АD квадрата ABCD со стороной а. Квадрат перегнули по прямой КС так, что образовался двугранный угол равный 60 градусам. Найти расстояние между точками В и D.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 11 июня 2006 23:53 | IP
|
|
bekas
Долгожитель
|
В полушар вписан цилиндр наибольшего объема.
Найдите отношение объема этого цилиндра к объему полушара.
Очевидно, цилиндр должен располагаться в полушаре симметрично.
Если обозначить радиус полушара через R, а радиус цилиндра черех r,
то высота цилиндра по теореме Пифагора составит h = sqrt(R^2-r^2),
откуда объем цилиндра есть V=P*r^2*sqrt(R^2-r^2). Считаем R постоянной
величиной, а r - независимой переменной, и пытаемся найти максимум
функции V(r) традиционным способом - приравниванием нулю производной
этой функции (однако вам самостоятельно остается еще доказать, что
в результате получим именно максимум, а не минимум!). Для простоты
P отбросим, так как экстремум от него не зависит.
Итак, V'(r) = 2r*sqrt(R^2-r^2) - r^3/sqrt(R^2-r^2). Приравняем производную
нулю и сделаем очевидные преобразования:
2R^2 = 3r^2, r^2 = 2/3 * R^2, h = R/sqrt(3), V = (P*2sqrt(3)*R^3)/9
Так как объем полушара равен 2/3*P*R^3, то искомое отношение
составит величину sqrt(3)/3.
|
Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 12 июня 2006 15:10 | IP
|
|
bekas
Долгожитель
|
К - середина стороны АD квадрата ABCD со стороной а.
Квадрат перегнули по прямой КС так, что образовался двугранный
угол равный 60 градусам. Найти расстояние между точками В и D.
Вначале разберемся с двугранным углом. Если опустить перпендикуляр
из точки D на отрезок KC (обозначим пересечение этого перпендикуляра
и отрезка KC точкой O) и продолжить этот перпендикуляр далее до
пересечения с продолжением стороны BC (обозначим это пересечение
точкой Z), то угол между этими двумя перпендикулярами ZO и OD
и будет тем двугранным углом, который задан в задаче.
Очевидно, прямоугольные треугольники ZCD и CDK подобны, откуда
получаем ZC = 2CD = 2a. Из прямоугольного треугольника CDK
по теореме Пифагора получаем KC = a*sqrt(5)/2. Так как площадь
треугольника CDK S = (a*a/2)/2 = a^2/4 = 1/2*KC*OD, то OD = a/sqrt(5).
Опять же по теореме Пифагора OC = 2a/sqrt(5) и ZO = 4a/sqrt(5).
Теперь по теореме косинусов получим для треугольника ZOD, образованного
в результате перегиба (не политического!) и в котором угол ZOD равен 60
градусов:
ZD^2 = OD^2 + ZO^2 - 2*OD*ZO*cos(60), откуда ZD = a*sqrt(3).
Осталось только рассмотреть треугольник ZCD, который тоже образуется
в результате перегиба. В нем известны все стороны:
CD = a, ZC = 2a, ZD = a*sqrt(3). Так как ZB = BC, то замечаем, что
искомое расстояние B и D есть медиана трегольника ZCD. По одной,
возможно, не очень широко известной формуле, выражающей медиану
треугольника через его стороны:
BD = 1/2 * sqrt(2*ZD^2 + 2*CD^2 - ZC^2), откуда BD = a.
Возможно, можно и более простым способом решить эту задачу, уж больно
круглым получился ответ...
P.S. Действительно, ответ можно получить проще, так как после перегиба прямоугольный треугольник ZCD (в плоскости квадрата угол ZCD прямой) превращается в прямоугольный же треугольник ZDC (угол ZDC прямой по обратной теореме Пифагора: ZD^2 + CD^2 = ZC^2), откуда медиана равна половине гипотенузы ZC или 2a/2 = a.
(Сообщение отредактировал bekas 12 июня 2006 22:47)
|
Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 12 июня 2006 18:47 | IP
|
|
bekas
Долгожитель
|
Основание пирамиды - правильный шестиугольник.
Одно из боковых ребер пирамиды перпендикулярно к плоскости ее основания
и равно стороне шестиугольника.
Найдите: двугранные углы при ребрах основания пирамиды,
углы наклона боковых ребер пирамиды к плоскости ее основания.
Пусть основание пирамиды есть ABCDEF и SA = X - одно из боковых ребер
пирамиды, перпендикулярное к ABCDEF. Начнем с углов наклона
боковых ребер пирамиды к плоскости ее основания.
1) Ребро SA наклонено под углом 90 градусов (по исходным данным)
2) Ребро SB наклонено под углом 45 градусов, так как AB = SA
3) Так как угол ABC равен 120 градусов, то по теореме косинусов
AC^2 = X^2 + X^2 - 2X^2*cos(120), откуда AC = X*sqrt(3).
Отсюда следует, что ребро SC наклонено под углом
arctg(X/(X*sqrt(3))) = 30 градусов
4) Так как AD = 2X, то ребро SD наклонено под углом arctg(X/(2X)) =
arctg(1/2) градусов
5) В силу симметрии очевидно, что наклон ребра SE совпадает с наклоном
ребра SC, а наклон ребра SF - с наклоном ребра SB
Теперь двугранные углы.
1) Двугранный угол при ребре AB равен 90 градусов (по исходным данным)
2) Если продолжить отрезок BC за точку B и опустить перпендикуляр
из точки A это продолжение (пусть их пересечение есть точка Z),
то двугранным углом при ребре BC будет угол SZA. Мы уже выяснили,
что AC = X*sqrt(3). А так как угол BCA равен 30 градусов, то
AZ = AC * sin(30) = X*sqrt(3)/2 и угол SZA = arctg(X/(X*sqrt(3)/2)) =
arctg(2/sqrt(3)) градусов
3) Продолжим CD за точку C до пересечения с перпендикуляром, проведенным
из точки A на это продолжение, пусть точка пересечения N.
Тогда в прямоугольном треугольнике AND AD = 2X, угол NDA = 60 градусов,
AN = AD*sin(60) = X*sqrt(3). Двугранным углом при ребре CD будет
угол SNA = arctg(X/(X*sqrt(3))) = 30 градусов
4) Для оставшихся ребер смотрим соответствующие симметричные ребра
Возможно, где-то в вычислениях я и ошибся...
|
Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 12 июня 2006 20:28 | IP
|
|
Armeika
Удален
|
bekas, спасибо! Ты мне очень помог=)) Очень благодарна:-*
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 13 июня 2006 15:01 | IP
|
|
Armeika
Удален
|
bekas, а как насчет еще одной=))
Для правильного тетраэдра ABCD с ребром a, определить растояние от точки К - середины ребра АС - до плоскости BCD и угол между прямой КВ и этой плоскостью.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 13 июня 2006 17:15 | IP
|
|
bekas
Долгожитель
|
Так как тетраэдр правильный, то в силу его симметричности перпендикуляр,
проведенный от точки K до плоскости BCD (обозначим пересечение
перпендикуляра с плоскостью BCD точкой Z), будет проецироваться
на высоту треугольника BCD, проведенную из вершины C.
Длина этого перпендикуляра KZ и будет искомым расстоянием. Спроектируем
точку A в центр треугольника BCD, пусть это будет точка O.
Очевидно, точка O является центром радиуса окружности, описанной
вокруг правильного треугольника (R = OC); в данном случае
воспользуемся формулой: a = R*sqrt(3), откуда R = a/sqrt(3).
По теореме Пифагора из треугольника AOC получаем AO = a*sqrt(2/3).
Очевидно, KZ есть средняя линия треугольника AOC, откуда
сразу получаем искомое расстояние KZ = a/sqrt(6).
Углом между прямой KB и плоскостью BCD будет угол KBZ. Легко определить,
что BK = a*sin(60) = a*sqrt(3)/2. Тогда sin(KBZ) = KZ/BK = sqrt(2)/3,
cледовательно, угол KBZ = arcsin(sqrt(2)/3).
|
Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 13 июня 2006 22:25 | IP
|
|
undeddy
Долгожитель
|
Есть такая задача: в треугольнике ABC AB = 2, BC = 3, M - середина AC, угол ABM = 2 угла MBC. Найти Sabc, сторону AC.
На самом деле, яхотел бы проконсультироваться насчет многовариантности решения этой задачи. У меня получилось, что возможно 4 значения величины стороны AC. Правильно ли это?
|
Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 14 июня 2006 18:00 | IP
|
|
dduakov
Удален
|
Ребята, помогите решить задачку. Вроде бы просто, но я уже 5 дней и ночей бьюсь - не получается((
Дано: квадрат ABCD с стороной d. Точка D является центром окружности радиусом R, причём d/2<R<d. Окружность пересекается с диагональю BD в точке L и с отрезком AD в точке М. Из точек А и B проводятся отрезки AK и BK (пересекаются в точке К).
Найти функцию BK=f(АК, d, R) (или AK=f(BК, d, R) ), такую чтобы точка К всегда лежала на дуге LM. (Т.Е. как должны быть связаны АК и BK через d и R, чтобы К лежала на дуге)
Заранее спасибо огромное!!!!!!
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 14 июня 2006 23:45 | IP
|
|
|
Форум
Геометрические задачи
