harp
Удален
|
   
Есть многоугольник, заданный вершинами, необходимо найти минимальной площади прямоугольник, в который можно "засунуть" заданный многоугольник.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 4 июля 2006 15:17 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
В параллелограмме ABCD биссектриса AM пересекает сторону CD в точке M, и диагональ BD в точке E. Найдите площадь
параллелограмма ABCD, если |AE|=3, |EM|=2, |CE|=sqrt(13).
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 9 июля 2006 0:37 | IP
|
|
miss_graffiti
Долгожитель
|
  
harp, ты уверен, что минимальной площади?
или под "засунуть" подразумевается соприкосновение углов прямоугольника со сторонами многоугольника?
|
Всего сообщений: 670 | Присоединился: сентябрь 2005 | Отправлено: 9 июля 2006 0:55 | IP
|
|
bekas
Долгожитель
|
В параллелограмме ABCD биссектриса AM пересекает сторону
CD в точке M, и диагональ BD в точке E. Найдите площадь
параллелограмма ABCD, если |AE|=3, |EM|=2, |CE|=sqrt(13).
Далее по тексту символ '#' будет обозначать 'угол'.
Очевидно, #BAM = #AMD, так как AB||CD. Кроме того,
#BAM = #MAD по исходным данным, следовательно,
#AMD = #MAD, то есть треугольник ADM - равнобедренный
(AD = DM).
Из очевидного подобия треугольников ABE и MDE (равенство трех углов) получаем соотношение:
AE/EM = AB/DM.
Для удобства обозначим DM через X, тогда AB = 3/2 * X и очевидно CM = 1/2 * X. Обозначим также #MAD через #a, тогда #CME = 180 - #a.
По теореме косинусов для треугольника CEM получим равенство:
13 = 4 + 1/4 * X^2 - 2 * X * cos(180 - #a) или
13 = 4 + 1/4 * X^2 + 2 * X * cos(#a).
Из равнобедренного треугольника ADM (основание которого равно 5, углы при основании равны #a, боковые стороны равны X), получаем равенство:
2/5 = X * cos(#a).
Решая систему уравнений
13 = 4 + 1/4 * X^2 + 2 * X * cos(#a)
2/5 = X * cos(#a)
получим X^2 = (4 * 41) / 5, cos(#a)^2 = 1 / 205, sin(#a)^2 = 204/205
По известной формуле sin(2#a) = 2 * cos(#a) * sin(#a) =
2/205 * sqrt(204).
Так как площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними, окончательно получим
S = X * 3/2 * X * sin(2#a) = 3/2 * X^2 * sin(2#a) =
3/2 * (4 * 41) / 5 * 2/205 * sqrt(204) = 492/1025 * sqrt(204)
P.S. Так как результат получился не "круглый", возможно,
где-то в вычислениях я и ошибся (но не в алгоритме решения задачи!).
|
Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 9 июля 2006 23:05 | IP
|
|
bekas
Долгожитель
|
Действительно, ошибся в вычислениях: половина AM равна 5/2, а не 2/5, поэтому система уравнений должна быть такой
13 = 4 + 1/4 * X^2 + 2 * X * cos(#a)
5/2 = X * cos(#a)
Тогда X = 4, cos(#a) = 1/10, sin(#a) = 3/10 * sqrt(11),
sin(2#a) = 2 * cos(#a) * sin(#a) = 3/50 * sqrt(11)
Соответственно, S = 3/2 * 16 * 3/50 * sqrt(11) =
36/25 * sqrt(11).
P.S. Подозрительно, что результат опять не "круглый"...
miss grafitti!
По-моему. harp разрешил свою проблему
(см. форум на lib.mexmat.ru, раздел "Математика",
сообщение от 4 июля 2006 года)
|
Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 10 июля 2006 7:29 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Спасибо за решение, но cos#a=5/8.
Вот еще задачка.
В треугольника ABC вписанная окружность делит медиану BM
на три равные части. Найти отношение сторон AB:BC:AC.
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 10 июля 2006 19:06 | IP
|
|
bekas
Долгожитель
|
Удалось только определить, что AC = 2AB, а далее нет
никаких идей...
|
Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 11 июля 2006 14:20 | IP
|
|
llorin1
Участник
|
Пусть |AB|>=|BC|. Если медиана |BM|=m, то по т. о касательной и секущей |BE|=|BK|=|ML|= m*sqrt(2) /3, где E, K и L – точки касания окружности со сторонами AB, BC и AC соответственно. Из равенств |LC|=|CK| и |BK|=|ML|, следует равенство |AC|=2|BC|.
Обозначим |AB|=c, |AC|=b, |ML|=p.
Тогда, c=b/2+2p, 4m^2=2c^2-(b^2)/2, p= m*sqrt(2) /3. Откуда, 9/2 (c-b/2)^2=2c^2-(b^2)/2, или (13b-10c)(b-2c)=0. Соотношение b=2c превращает треугольник ABC в отрезок b/2+b/2=b. Если 13b=10c, то известные неравенства треугольника выполняются (здесь можно вспомнить и ф. Герона S != 0). Окончательно получаем, AB:BC:AC=13:5:10.
|
Всего сообщений: 147 | Присоединился: июнь 2006 | Отправлено: 11 июля 2006 21:17 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
bekas, llorin1, спасибо за помощь.
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 14 июля 2006 12:49 | IP
|
|
hiuhuu
Удален
|
Скажите, пожалуйста, как вычислить объём усечёного ЦИЛИНДРА.
Выглядит так:
внешняя ссылка удалена
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 15 июля 2006 17:57 | IP
|
|
|
Форум
Геометрические задачи
