delphist
Удален
|
   
Народ помогите решить две задачи или хотя бы скажите где копать
1) Основанием треугольной призмы ABCA1B1C1 служит равнобедренный треугольник АВС, АВ=АС, <А1АС=<А1АВ<90°. Доказать, что СС1В1В – прямоугольник.
2) В наклонной треугольной призме площади двух боковых граней равны 40 и 80 см2. Угол между ними равен 120°. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если длина бокового ребра равна 10 см.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 1 мая 2006 16:33 | IP
|
|
bekas
Долгожитель
|
2) В наклонной треугольной призме площади двух боковых граней равны
40 и 80 см2. Угол между ними равен 120°.
Найдите площадь боковой поверхности призмы, если длина бокового ребра
равна 10 см.
Пусть для определенности призма обозначена как ABCA1B1C1, причем площадь
грани BB1A1A равна 40, площадь грани CC1A1A равна 80.
Очевидно, что двугранный угол в 120 градусов образуется, если из некоторой
точки X ребра AA1 провести к этому ребру два перпендикуляра: один в плоскости
BB1A1A, другой в плоскости CC1A1A. Пусть первый перпендикуляр пересечется
с ребром BB1 (или возможно с его продолжением) в точке Y, а второй
перпендикуляр пересечется с ребром CC1 (или возможно с его продолжением)
в точке Z. Очевидно, при таком построении все ребра призмы будут
перпендикулярны плоскости XYZ. Кроме того, XZ является высотой параллелограмма
CC1A1A, если за его основание считать ребро AA1. Из условий задачи следует,
что XZ = 80/10 = 8. Аналогично, XY является высотой параллелограмма
BB1A1A, если за его основание считать ребро AA1. Из условий задачи следует,
что XY = 40/10 = 4. По теореме косинусов для треугольника YXZ получаем:
YZ^2 = XY^2 + XZ^2 - 2 * XY * XZ * cos(120)
Учитывая, что cos(120) = cos(90 + 30) = -sin(30) = -1/2, получим
YZ^2 = 102, YZ = sqrt(102).
Но ведь и YZ является высотой паралелограмма BB1C1C, если за его основание
принять CC1, а отсюда следует, что площадь третьей боковой грани BB1C1C
равна sqrt(102) * 10, и, соответственно, площадь боковой поверхности призмы
равна sqrt(102) * 10 + 120.
|
Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 2 мая 2006 0:00 | IP
|
|
bekas
Долгожитель
|
1) Основанием треугольной призмы ABCA1B1C1 служит равнобедренный треугольник
АВС, АВ=АС, <А1АС=<А1АВ<90°. Доказать, что СС1В1В - прямоугольник.
Из точки C опустим перпендикуляр на ребро AA1 (или его продолжение), пусть
точка пересечения этого перпендикуляра и ребра AA1 есть X.
Построим теперь отрезок BX и рассмотрим треугольники CXA и BXA.
Очевидно, эти треугольники равны, так как они содержат равные
стороны AB и AC, одну общую сторону XA и равные углы XAC и XAB
между этими сторонами.
Но отсюда сразу же следует, что угол BXA равен 90 градусов, то есть
BX (как и CX) является перпендикуляром к ребру AA1, а само ребро
AA1 перпендикулярно плоскости BXC. А так как ребро CC1 параллельно
ребру AA1, то ребро CC1 также перпендикулярно плоскости BXC, а следовательно
и перпендикулярно ребру BC. Исходя из очевидного факта, что СС1В1В является
параллелограммом, у которого угол C1CB равен 90 градусов, окончательно
делаем вывод, что СС1В1В - прямоугольник.
|
Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 2 мая 2006 0:29 | IP
|
|
delphist
Удален
|
Спасибо!!!
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 2 мая 2006 15:31 | IP
|
|
bekas
Долгожитель
|
На здоровье!
|
Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 2 мая 2006 21:14 | IP
|
|
bizon
Удален
|
Как определить объём отсеченной части конуса плоскостью, перпендикулярной основанию конуса? Известны высота конуса и радиус основания. Формулы будут использованы в Exel для расчёта объёмов через 1мм, поэтому не должны содержать интегралов.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 6 мая 2006 12:01 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Цитата: bizon написал 6 мая 2006 12:01
Как определить объём отсеченной части конуса плоскостью, перпендикулярной основанию конуса? Известны высота конуса и радиус основания.
Сама формула выводиться стандартно - через 3-й интеграл.
У вас сложность с составлением или взятием данного интеграла?
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 7 мая 2006 21:10 | IP
|
|
bekas
Долгожитель
|
У меня получается монстроидальный интеграл.
Уважаемый МЕНТ, какой же интеграл должен быть?
|
Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 7 мая 2006 23:31 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Пожайлуста. Рассмотрим конус в декартовой системе координат так, чтобы основание лежало в плоск. XOY, ось конуса совпадала с осью OZ.
Теперь выберем секущую плоскость. Пусть x=x0 - уравнение этой плоскости, причем 0<x0<R.
Эта плоскость рассекает цилиндр на 2 тела. Будем искать объем меньшего из этих тел.
Для простоты вычислений все функции запишем в циллиндрич. системе координат.
Боковая поверхность циллиндра на основании r<R записывается функцией z=H*(1-r/R);
функция основания z=0; таким образом для z имеем пределы:
[0;H*(1-r/R)].
Теперь опишем сегмент, на котором задано полученное тело. Для полярного угла (обозначим его через q)
пределы запишутся сразу:
-arccos(x0/R)<q<arccos(x0/R).
Теперь пределы для r(q). Верхний предел очевиден: r=R;
Из геом. соображений можно получаетеся, что нижний предел есть r=x0/cos(q).
Все пределы интегрирования найдены. Объем в циллиндрич. координатах есть тройной интеграл от r по пределам:
0 < z < H*(1-r/R),
x0/cos(q) < r < R,
-arccos(x0/R) < q < arccos(x0/R)
Этот интеграл сводиться к такому делу:
V=(1/3)*H*(R^2)*arccos(x0/R) - H*(x0^2)*int{dq/cos^2 (q)} +
+ (H*x0^3/3R)*int{dq/cos^3 (q)},
пределы интегрирования от -arccos(x0/R) до arccos(x0/R);
Как видим, вся проблема свелась к вычислению не таких уж и страшных интегралов
int{dq/cos^2 (q)} и int{dq/cos^3 (q)}.
P.S. Кстати, подынтегральные функции в обоих интегралах являются четными, а пределы симметричны относительно нуля, следовательно результат не измениться, если пределы интегрирования взять от 0 до arccos(x0/R), а сам интеграл удвоить.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 8 мая 2006 0:42 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Помогите пожалуйста решить это:
Вычислите объем правильной четырехугольной пирамиды , у которой длина каждого ребра равна 6 см.
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 8 мая 2006 16:11 | IP
|
|
|
Форум
Геометрические задачи
