MEHT
Долгожитель
|
   
Результат будет существенно зависеть от коэффициетнов a, b, c.
В общем виде одного красивого результата получить не удастся.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 14 нояб. 2007 14:42 | IP
|
|
Mira_5
Новичок
|
Большое-большое спасибо всем откликнувшимся!
Теперь я разобралась. Задачка, конечно, очень интересная, но вот информации по ней совсем не было, а вы мне так здорово помогли! Спасибо!
|
Всего сообщений: 39 | Присоединился: сентябрь 2007 | Отправлено: 14 нояб. 2007 18:50 | IP
|
|
attention 
Долгожитель
|
Мент, ну разве не красивый результат? 
(Сообщение отредактировал attention 22 нояб. 2007 2:13)
|
Всего сообщений: 994 | Присоединился: апрель 2006 | Отправлено: 14 нояб. 2007 22:40 | IP
|
|
Roman Osipov
Долгожитель
|
  
Отличная работа, attention! Красиво.
Результат все таки не обладает тем свойством, что он рассчитан на все a, b, c. Скажем при a=0 решение теряет смысл, если b^2+8a^2-4ac<0, решение перестает вестись на множестве действительных чисел и уходит в область комплекстных чисел.
Что сказать, интеграл зависит от 3-x параметров.
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 14 нояб. 2007 23:36 | IP
|
|
attention
Долгожитель
|
Спасибо, за рецензию . Но, вроде бы, обычно в подобных примерах параметры предполагают действительными и неравными нулю; а чтобы определить, при каких значениях параметров, решение будет вестись на множестве действительных чисел, надо, как я понял решить
неравенство b^2+8a^2-4ac>0, но это к Вам . Мне кажется, что неравенство выполняется при любых действительных b, а с какими значениями параметров a и c - мне не ясно.
(Сообщение отредактировал attention 15 нояб. 2007 1:08)
|
Всего сообщений: 994 | Присоединился: апрель 2006 | Отправлено: 15 нояб. 2007 0:15 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Да, результат красивый, но полагаю неверный. Да и не полный.
Во-первых, смущает равенство после слов "Следовательно, имеем:" - в числителе подынтегральной функции последнего интеграла не хватает множителя x^2.
Во-вторых, как я уже говорил выше, да и как уже заметил Roman Osipov, результат будет зависеть от выбора коэффициентов.
Например, в представлении
a*t^2 + b*t + (c-2*a) = a*(t-t1)*(t-t2)
корни t1 и t2 могут оказаться комплексными, и как следствие - конечный результат будет представлять собой фунцию комплексного аргумента, чего обычно стараются всевозможными способами избегать при расчётах.
Ведь в противном случае, например, такой табличный интеграл
int{dx/[x^2 + 1]} = arctg(x) + C,
можно было бы взять как
int{dx/[x^2 + 1]} = int{dx/[(x+i)*(x-i)]} = (1/2i) * int{[1/(x-i)] - 1/[(x+i)]}dx =
= (1/2i)*ln[(x-i)/(x+i)] + C,
где i - мнимая единица.
Как видно, второй результат выводит интеграл в пространство комплексных чисел.
(Сообщение отредактировал MEHT 15 нояб. 2007 7:44)
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 15 нояб. 2007 7:18 | IP
|
|
attention
Долгожитель
|
Цитата: MEHT написал 15 нояб. 2007 6:18
Да, результат красивый, но полагаю неверный. Да и не полный.
Во-первых, смущает равенство после слов "Следовательно, имеем:" - в числителе подынтегральной функции последнего интеграла не хватает множителя x^2.
Мент, зачем он там нужен?! Да, и, вообще, равенство верно при b^2+8a^2-4ac > 0, проверьте, вроде не ошибся.
Цитата: MEHT написал 15 нояб. 2007 6:18
Ведь в противном случае, например, такой табличный интеграл
int{dx/[x^2 + 1]} = arctg(x) + C,
можно было бы взять как
int{dx/[x^2 + 1]} = int{dx/[(x+i)*(x-i)]} = (1/2i) * int{[1/(x-i)] - 1/[(x+i)]}dx =
= (1/2i)*ln[(x-i)/(x+i)] + C,
где i - мнимая единица.
Как видно, второй результат выводит интеграл в пространство комплексных чисел.
Так, что ж Вы сравниваете, схоже - да не схоже.
Я не утверждал, что результат универсальный - понятно, что надо решить неравенство b^2+8a^2-4ac<0, чтобы понять, при каких значениях параметров решение будет на множестве действительных чисел.
P. S. Помогли бы решить неравенство.
(Сообщение отредактировал attention 15 нояб. 2007 14:33)
|
Всего сообщений: 994 | Присоединился: апрель 2006 | Отправлено: 15 нояб. 2007 12:37 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Мент, зачем он там нужен?!
a*x^4+b*x^3+c*x^2+b*x+a = a*t^2 + b*t +(c-2*a) = a*[(t-t1)*(t-t2)],
где t = x + (1/x),
a =/= 0 (т.е. не равно нулю).
Значит
a*[(t-t1)*(t-t2)] = a*[(x + 1/x - t1)*(x + 1/x - t2)] =
= [a/(x^2)]*[(x^2 - t1*x + 1)*(x - t2*x + 1)],
откуда
int[dx/(a*x^4+b*x^3+c*x^2+b*x+a)] = (1/a)*int{(x^2)*dx/[(x^2 - t1*x + 1)*(x - t2*x + 1)]}.
Я не утверждал, что результат универсальный - понятно, что надо решить неравенство b^2+8a^2-4ac<0, чтобы понять, при каких значениях параметров решение будет на множестве действительных чисел.
Но спрашивалось ведь решение в общем виде - т.е. при произвольных a, b, c.
P. S. Помогли бы решить неравенство.
А зачем его решать? Да и как? Выразить интервалы изменения одного из параметров через остальные? - стоит ли? Ведь при конкретном задании параметров a, b, c неравенство проверяется непосредсвенно.
(Сообщение отредактировал MEHT 15 нояб. 2007 16:19)
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 15 нояб. 2007 16:06 | IP
|
|
attention
Долгожитель
|
Цитата: MEHT написал 15 нояб. 2007 15:06
Мент, зачем он там нужен?!
a*x^4+b*x^3+c*x^2+b*x+a = a*t^2 + b*t +(c-2*a) = a*[(t-t1)*(t-t2)],
где t = x + (1/x),
a =/= 0 (т.е. не равно нулю).
Значит
a*[(t-t1)*(t-t2)] = a*[(x + 1/x - t1)*(x + 1/x - t2)] =
= [a/(x^2)]*[(x^2 - t1*x + 1)*(x - t2*x + 1)],
откуда
int[dx/(a*x^4+b*x^3+c*x^2+b*x+a)] = (1/a)*int{(x^2)*dx/[(x^2 - t1*x + 1)*(x - t2*x + 1)]}.
Что Вы имеете ввиду, что за алгебра?
Не пойму. Видно я более ограниченный, чем думаю.
Если подставить вместо t в a*t^2 + b*t +(c-2*a) t = x + (1/x), разве получим a*x^4+b*x^3+c*x^2+b*x+a???
А если перемножить a*(x^2 - t1*x + 1)*(x^2 - t2*x + 1), разве не получим a*x^4+b*x^3+c*x^2+b*x+a?!
|
Всего сообщений: 994 | Присоединился: апрель 2006 | Отправлено: 15 нояб. 2007 16:54 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Что Вы имеете ввиду, что за алгебра?
Не пойму. Видно я более ограниченный, чем думаю.
Если подставить вместо t в a*t^2 + b*t +(c-2*a) t = x + (1/x), разве получим a*x^4+b*x^3+c*x^2+b*x+a???
А если перемножить a*(x^2 - t1*x + 1)*(x^2 - t2*x + 1), разве не получим a*x^4+b*x^3+c*x^2+b*x+a?!
Да, конечно же Вы правы.
Приношу Вам свои извинения.
Был не прав, ошибочно отождествляя
a*x^4+b*x^3+c*x^2+b*x+a
с величиной
a*[(t-t1)*(t-t2)], тогда как
a*x^4+b*x^3+c*x^2+b*x+a = a*(x^2)*[(t-t1)*(t-t2)]
Всё от невнимательности 
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 15 нояб. 2007 17:49 | IP
|
|
|
Форум
Интегрирование
