Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        Интегрирование
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

KMA



Долгожитель

1. Берутся такие интегралы обычно универсальной подстановкой, т. е. через tg x, а так если я не ошибаюсь, то существуют решения, специально именно для таких видов есть специальный раздел "Интегрирование тригонометрических функций", а так ход простой, раскрой cox 2x, вынеси общий член за скобку (sin x * cos x), потом поделю дробь почленно, и ты все увидишь.

3. По частям.

4. Не знаю толком, но по моему, здесь можно если только домножить и поделить на sqrt (x-4x^2), потом поделить почленно, а это уже известные типы интегралов

5. Тоже берется универсальной заменой tg x

-----
Gentoo, FreeBSD 7.2, PHP, JavaScript (jQuery), Python, Shell
Помогаю с задачами только на форуме.
Все мои действия четко согласуются с правилами раздела. Поэтому никаких претензий и обид.

Всего сообщений: 940 | Присоединился: декабрь 2005 | Отправлено: 4 мая 2006 0:17 | IP
bekas


Долгожитель

Для решения задачи 3) нам понадобятся интегралы e^x cosx dx и e^x sinx dx

Применим для первого интеграла I = e^x cosx dx интегрирование по частям и положим:

e^x = u, du = e^x dx
cosx dx = dv, v = sinx

Тогда I = e^x sinx - Int e^x sinx dx

Справа получился интеграл примерно той же сложности, что и исходный.
Это часто является указанием на возможность приведения интеграла к самому
себе. В нашем случае применим интегрирование по частям к интегралу

I1 = Int e^x sinx dx

Положив

e^x = u, du = e^x dx
sinx dx = dv, v = -cosx

получим

I1 = -e^x cosx + Int e^x cosx dx = -e^x cosx + I

Подставляя это в I = e^x sinx - Int e^x sinx dx, находим

I = e^x sinx + e^x cosx - I,

откуда I = e^x (sinx + cosx) / 2

Заметим, что нами попутно вычислен и интеграл e^x sinx dx, так как при
подстановке I в формулу I1 = Int e^x sinx dx = -e^x cosx + I

вытекает I1 = e^x (sinx - cosx) / 2

Теперь приступим к основной задаче вычисления интеграла I2 = Int xe^x sinx dx.

Положим x = u, du = dx,
       e^x sinx dx = dv, v = Int e^x sinx dx = I1 = e^x (sinx - cosx) / 2

Отсюда I2 = x e^x (sinx - cosx) / 2 - Int e^x (sinx - cosx) / 2 dx

Так как I3 = Int e^x (sinx - cosx) / 2 dx =
1/2 Int e^x sinx dx - 1/2 Int e^x cosx dx, то применяя предыдущий результат
вычисления I и I1 после несложных вычислений получим:

I3 = -e^x cosx / 2 и окончательно I2 = x e^x (sinx - cosx) / 2 + e^x cosx / 2
или I2 = e^x (xsinx - xcosx + cosx) / 2 + C.

Дифференцируя I2, убеждаемся в правильности получения
интеграла Int xe^x sinx dx.


-----
Из Северодонецка

Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 4 мая 2006 1:09 | IP
MEHT



Долгожитель

1. Знаменатель подынтегральной дроби можно преобразовать так
(sin^5xcosx+cos^5xsinx) = sin(x)cos(x)*[sin^4 (x) +
+cos^4 (x)]=(1/2)*sin(2x)*[1-(1/2)*sin^2 (2x)],
сделав в инт. замену t=sin(2x) получите
int {dt/[t*(1-(t^2)/2)]}
5. Заменой t=tg(x) этот интеграл не взять.
Раскройте квадрат суммы синусов:
(sinx+shx)^2 = sin^2 (x) + sh^2 (x) + 2*sin(x)*sh(x), и интеграл разобьется на сумму 3 интегралов. Используя соотношения
sin^2 (x) = (1/2)*[1-cos(2x)],
sh^2 (x) = (1/2)*[ch(2x)-1] находите первые 2 интеграла;
в третьем интеграле расписываете 2sh(x) через разность экспонент, и получаете:
int {2*sin(x)*sh(x)dx}=int{sin(x)*exp(x)dx} - int{sin(x)*exp(-x)dx}

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 4 мая 2006 1:15 | IP
MEHT



Долгожитель


Цитата: bekas написал 4 мая 2006 1:09
Для решения задачи 3) нам понадобятся интегралы e^x cosx dx и e^x sinx dx

bekas, ну могли бы так подробно не расписывать. Подобные интегралы уже встречались в данном разделе (Соотв. ссылка).


(Сообщение отредактировал MEHT 4 мая 2006 1:26)

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 4 мая 2006 1:25 | IP
surag


Удален

Может кто подскажет?
Является ли берущимся интеграл S (a^x)/(x^2)?
Буду очень признателен за ответ.

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 5 мая 2006 3:46 | IP
MEHT



Долгожитель


Цитата: surag написал 5 мая 2006 3:46
Может кто подскажет?
Является ли берущимся интеграл S (a^x)/(x^2)?
Буду очень признателен за ответ.

Нет, в элементарных функциях его не взять.
Сделав замену t=x*ln(a), а далее взяв по частям получим:
S (a^x)/(x^2)=ln(a)*[-exp(t)/t + int (exp(t)dt/t)]

int (exp(t)dt/t) можно записать через интегральную показательную функцию определяемую как
Ei(t)=int (exp(u)du/u) - пределы от (-оо) до t (причем t<0).
Ei(t) является первообразной exp(t)dt/t), следовательно для исходного интеграла можем записать
S (a^x)/(x^2)=ln(a)*[-exp(t)/t + Ei(t)]+const, t<0.
Кстати, для справки, разложение Ei(t) в степенной ряд имеет вид:
Ei(t)=C+ln(-t)+sum[t^k/k!*k],
где сумма берется по k от 1 до (+оо),
С~0,577216 - постоянная Эйлера-Маскерони.



(Сообщение отредактировал MEHT 5 мая 2006 14:52)

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 5 мая 2006 14:51 | IP
surag


Удален

Спасибо за столь подробное решение.

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 5 мая 2006 23:42 | IP
bekas


Долгожитель

Уважаемый КМА!
Вы сообщали:

4. Не знаю толком, но по моему, здесь можно если только домножить и поделить на sqrt (x-4x^2), потом поделить почленно, а это уже известные типы интегралов

Напомню, что речь шла об интеграле Int sqrt(x - 4 * x^2) dx

Для решения задачи нам понадобится интеграл I = sqrt(a^2-t^2) dt

Применим для этого интеграла интегрирование по частям и положим:

sqrt(a^2-t^2) = u, du = -t/sqrt(a^2-t^2) dt
dt = dv, v = t

Тогда I = t*sqrt(a^2-t^2) - Int t * -t/sqrt(a^2-t^2) dt =

t*sqrt(a^2-t^2) + Int t^2/sqrt(a^2-t^2) dt =
t*sqrt(a^2-t^2) - Int ((a^2-t^2)-a^2)/sqrt(a^2-t^2) dt =
t*sqrt(a^2-t^2) - Int (a^2-t^2)/sqrt(a^2-t^2) dt + a^2*Int 1/sqrt(a^2-t^2) dt

Поскольку избавляясь от иррациональности в знаменателе получим
Int (a^2-t^2)/sqrt(a^2-t^2) dt = Int sqrt(a^2-t^2) dt
Int 1/sqrt(a^2-t^2) dt = arcsin(t/a)

то Int sqrt(a^2-t^2) dt = t*sqrt(a^2-t^2) - Int sqrt(a^2-t^2) dt + a^2*arcsin(t/a)

Замечая, что интеграл привелся к себе, окончательно получим:

Int sqrt(a^2-t^2) dt = t/2 * sqrt(a^2-t^2) + a^2*arcsin(t/a)/2

Ну а теперь займемся нашим основным интегралом Int sqrt(x - 4 * x^2) dx
После несложных вычислений преобразуем sqrt(x - 4 * x^2) к
2*sqrt((1/8)^2-(x-1/8)^2) и тогда

Int sqrt(x - 4 * x^2) dx = 2 * Int sqrt((1/8)^2-(x-1/8)^2) d(x-1/8)

Вспоминаем интеграл в начале моего сообщения и окончательно получаем
при условии a = 1/8, t = x - 1/8:

I = (8*x - 1)/16 * sqrt(x - 4 * x^2) + 1/64 * arcsin(8x-1) + C

Дифференцируя I', убеждаемся в правильности найденного интеграла.



(Сообщение отредактировал bekas 7 мая 2006 13:22)

-----
Из Северодонецка

Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 7 мая 2006 13:21 | IP
MEHT



Долгожитель

Уважаемый bekas, ну и любите же вы все усложнять .
К примеру вышерассмотренный Вами интеграл можно взять проще:
I=int {sqrt(a^2-t^2) dt}
Сделаем замену
t=|a|*sin(x), -pi/2<x<pi/2,
dt=|a|*cos(x)dx; подставим в интеграл, получим:

I=int {sqrt(a^2-t^2) dt}= (a^2) * int {cos^2 (x) dx} =
= (a^2/2) * int { [1+cos(2x)]dx} = (a^2/2)*[x+(1/2)*sin(2x)]=
=(a^2/2)*[x+sin(x)cos(x)].
Теперь осуществим обратную замену от x к t;
x=arcsin(t/|a|),  sin(x)=t/|a|,   cos(x)=(1/|a|)*sqrt(a^2-t^2);

I=(a^2/2)*[arcsin(t/|a|)+(t/a^2)*sqrt(a^2-t^2)]=
=(a^2/2)*arcsin(t/|a|)+(t/2)*sqrt(a^2-t^2)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 7 мая 2006 22:39 | IP
anushy


Удален

ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ
  Pi/2
4a S sqrt(1-(sqrt(a^2-b^2)/a)^2*sin^2t)dt
    0

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 11 мая 2006 21:23 | IP

Эта тема закрыта, новые ответы не принимаются

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 ]

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com