KMA 
Долгожитель
|
     
Цитата: rerera написал 24 мая 2006 22:46
Помогите решить пожалуйста:
(cos(ln(x))/x)dx
Подведение под знак дифференциала, т. е. у тебя получиться в конечном итоге,
cos (ln x) d(ln x); Ну а дальше как простой интеграл cos t, только вместо t=ln x;
|
Всего сообщений: 940 | Присоединился: декабрь 2005 | Отправлено: 25 мая 2006 0:29 | IP
|
|
bekas
Долгожитель
|
rerera: И ещё: sqrt(x)/(1+sqrt(x))dx
Genrih: А чем он существенно отличается от t/(1+t) ?
Вообще-то, существенно, уважаемый Genrih!
Необходимо на самом деле иррациональную подинтегральную функцию
при помощи рационализирующей подстановки свести к функции рациональной.
Полагая x=z^2, находим dx=2zdz, откуда
I=Int((2z^2)/(1+z))dz = 2Int((z^2)/(z+1))dz
Поскольку полученная рациональная дробь неправильная, то делим
(с остатком) числитель на знаменатель:
(z^2)/(z+1) = z-1+1/(z+1).
Таким образом, I=z^2-2z+2ln(z+1). Остается вернуться к старой
переменной x, заменяя z на sqrt(x).
Окончательно, I=x-2sqrt(x)+2ln(sqrt(x)+1) + C.
|
Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 25 мая 2006 1:57 | IP
|
|
PCSpeaker
Удален
|
помогите пожалуйста посчитать пару интегралов
1) вроде должен быть простой, это даже не задание, а уже одно из последних действий задания, которое я почти дорешал до конца.
int((-5x+3)/(x^2+1)^2)dx
2) а вот это уже задание
int(3^x)*cos(x)dx
я даже знаю, что это вроде как решается методом интегрирования по частям, но сколько я не возился ничего не вышло.
Заранее благодарен.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 25 мая 2006 22:32 | IP
|
|
KMA
Долгожитель
|
PCSpeaker
Ты знаешь, тут дело подлое, надо 1 интеграл твой разложить на простейшие дроби. Это точно должны были изучать и по моему он должен решаться именно так.
|
Всего сообщений: 940 | Присоединился: декабрь 2005 | Отправлено: 25 мая 2006 22:38 | IP
|
|
PCSpeaker
Удален
|
Второе я внезапно решил (весь день пытался, а тут осенило). Так что дело только за первым. Да дело в том, что первое и получилось из разложеия на простейшие дроби. Это и есть одна из этих простейших дробей. Изначально задание было таково:
int (3x+5)/(x^5+2x^3+x)dx
его я разложил на a/x+(bx+c)/(x^2+1)+(dx+f)/(x^2+1)^2
нашел a,b,c,d,f. Подставил их. Так вот первые 2 дроби нормально проинтегрировались, а третяя (та что из dx+f/(x^2+1)^2) нет. Ее я собственно вам и написал.
Что до этого места я дошел правильно сомнений нет, так как а) это видел препод, б) при подсчете этого интеграла в маткаде выходит как раз то что нужно в ответе. Так что теперь осталось узнать как он считается без маткада =)
(Сообщение отредактировал PCSpeaker 25 мая 2006 23:32)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 25 мая 2006 23:25 | IP
|
|
bekas
Долгожитель
|
I = int((-5x+3)/(x^2+1)^2)dx
I1 = -5*int(x/(x^2+1)^2)dx
I2 = 3*int(1/(x^2+1)^2)dx
I = I1 + I2
I1 - почти табличный, путем введения x под знак дифференциала
I2 - это частный вид дроби 1/(x^2+a^2)^n, которая берется
по частям (u=1/(x^2+a^2)^2, dv=dx)
В результате получается реккурентная формула:
I[n+1] = (1/2n*a^2)*(x/((x^2+a^2)^n)) + ((2n-1)/(2n*a^2))*I[n]
Полученная формула сводит вычисление интеграла I[n+1]
к вычислению интеграла I[n]. Зная интеграл (при a=1)
I[1] = (1/a)*arctg(x/a) = 1/arctg(x) по этой формуле при n=1 можно найти
I[2] = 1/2 *( x/(x^2 + 1)) + 1/2 * arctg(x)
(Сообщение отредактировал bekas 26 мая 2006 0:23)
|
Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 26 мая 2006 0:22 | IP
|
|
PCSpeaker
Удален
|
Спасибо большое! Очень помогли!
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 26 мая 2006 11:06 | IP
|
|
PCSpeaker
Удален
|
Еще такой пример, последний который мне осталось решить, помогите плз
int(1/2-sinx)dx-int(1/3-sinx)dx
работаю сначала с первым, делаю тригонометрическую подстановку дохожу до
int(1/t^2-t+1)dx
что делать с этим? подскажите, плз
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 26 мая 2006 12:13 | IP
|
|
VF
Administrator
|
Цитата: PCSpeaker написал 26 мая 2006 14:13
int(1/t^2-t+1)dx
что делать с этим? подскажите, плз
Смущает 1/t^2 = t^(-2) ? Или вы скобки забыли и все после деления в знаменателе?
|
Всего сообщений: 3110 | Присоединился: май 2002 | Отправлено: 26 мая 2006 12:19 | IP
|
|
PCSpeaker
Удален
|
да скобки забыл =) но я уже решил, спасибо
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 26 мая 2006 13:55 | IP
|
|
Форум
Интегрирование
