MEHT
Долгожитель
|
    
Цитата: undeddy написал 23 марта 2006 9:55
Остается только непонятным, каким именно способом нужно исследовать функцию f(x,y) на экстремумы?
Исследовать стандартными методами мат. анализа, разумеется 
Находите частные производные f, приравниваете их к нулю - получим 2 стационарные точки: (0,0) и (pi/3,pi/3).
Для точки (0,0) не выполняется условие для экстремума, следовательно ее отбрасываем; точкой строгого экстремума является только (pi/3,pi/3).
Посчитав вторую частн. производную f по x в (pi/3,pi/3)
видим, что она отрицательна, следовательно точка является строгим максимумом f.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 23 марта 2006 13:08 | IP
|
|
undeddy
Долгожитель
|
Производной функции f(x,y) является следующее выражение:
-sinx - siny + (x' + y') sin(x + y) .
Если ее приравнять к нулю, то получится ур-е с двумя переменными, что решить нельзя. А что значит, "находите частные производные" ? Это как?
(Сообщение отредактировал undeddy 23 марта 2006 17:27)
(Сообщение отредактировал undeddy 23 марта 2006 17:28)
|
Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 23 марта 2006 14:27 | IP
|
|
miss_graffiti
Долгожитель
|
 
частная производная - это производная от ф-ции нескольких переменных (например, 2: x и y), взятая в предположении, что (например) х - переменная, y - константа. это будет df/dx
|
Всего сообщений: 670 | Присоединился: сентябрь 2005 | Отправлено: 23 марта 2006 15:06 | IP
|
|
undeddy
Долгожитель
|
Все понятно. Теоретический материал на тему "Производная" находится в стадии формирования и не все аспекты этой темы имеются в моей теоретической базе. Проще говоря, нас еще не обучали такому типу произодных. Поэтому эту задачу можно пока отложить.
|
Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 23 марта 2006 15:20 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Ну если вы еще не иссл. функции многих переменных, то тогда и не стоит касаться этого метода.
Тогда альтернативный вариант.
Пусть A=x, B=x+s, C=pi-(2x+s), и пусть x <= x+s <= pi-(2x+s);
0<x<pi/2, 0<s<pi/2
тогда неравенство запишется в виде
cos(x)+cos(x+s)-cos(2x+s) <= 1,5.
Преобразуем левую часть:
cos(x)+cos(x+s)-cos(2x+s) = 2cos(x+s/2)cos(s/2)-cos(2x+s)=
=2cos(x+s/2)cos(s/2) - [2cos^2(x+s/2)-1] ;
сделаем замену t=cos(x+s/2), m=cos(s/2).
(x+s/2)=(A+B)/2, т.е. половина суммы двух углов, значит 0<(x+s/2)<pi/2, и следовательно 0<t<1;
для m: sqrt(2)/2<m<1.
Раскроем скобки, произведем замену, и выделим полный квадрат:
-2t^2+2mt+1 = (1+m^2/2)-2(t-m/2)^2.
Теперь достаточно определить, какое максимальное значение может принимать это выражение.
Положительное 2(t-m/2)^2 вычетается из положительного (1+m^2/2) т.е. максимальное значение выражения будет при наибольшем (1+m^2/2) и наименьшем 2(t-m/2)^2.
(1+m^2/2) принимает наиб. значение при наибольшем m, т.е. при m=1, тогда (1+m^2/2)=1,5 ;
при этом значении m выражение 2(t-m/2)^2 = 2(t-1/2)^2,
наим. значение будет при 2(t-1/2)^2=0,
т.е. при t=1/2 (что удовлетворяющему условию 0<t<1).
Следовательно при m=1 и t=1/2 выражение (1+m^2/2)-2(t-m/2)^2 будет иметь наиб. значение 1,5.
(Сообщение отредактировал MEHT 23 марта 2006 15:52)
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 23 марта 2006 15:49 | IP
|
|
undeddy
Долгожитель
|
Цитата: MEHT написал 23 марта 2006 18:49
для m: sqrt(2)/2<m<1.
(1+m^2/2) принимает наиб. значение при наибольшем m, т.е. при m=1....
Объясни, как ты здесь оценил значение переменной m. И если уж ты так ее оценил, то надо было включить и единицу в область значений переменной m.
|
Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 23 марта 2006 17:39 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Ну вообщем да, правильнее так:
sqrt(2)/2 < m <=1.
Т.к. m=cos(s/2), а 0<=s<pi/2 ( s - разность между большим и меньшим острыми углами треугольника, следовательно такое неравенство)
или 0 <= s/2 < pi/4 (разделив предыдущ. на 2);
Косинус - убывающая функция на 0 <= s/2 < pi/4, следовательно взяв косинусы от каждой величины, поменяв соответственно знак неравенства, получаем:
cos(pi/4) < m <= 1 или sqrt(2)/2<m<=1
Хотя левая граница для m тут в принципе роли не играет...
(Сообщение отредактировал MEHT 23 марта 2006 18:40)
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 23 марта 2006 18:34 | IP
|
|
undeddy
Долгожитель
|
Теперь все понял. Большое спасибо.
|
Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 23 марта 2006 19:01 | IP
|
|
undeddy
Долгожитель
|
У меня вот тут вопрос возник в ходе решения уравнения:
4cos^3x - 5sinx = 5cosx - 4sin^3x
После несложных преобразований получаем:
4(sinx + cosx)(1 - sinxcosx) = 5(sinx + cosx)
Так вот в чем вопрос: можно ли разделить обе части ур-я на (sinx + cosx) (при условии, что эта сумма не равна нулю). Не произойдет ли при этом потери корней?
В итоге, если разделить по вышеуказанному способу, ответ должен выйти такой:
x = (-1)^(k + 1) * PI/12 + PI*k/2, k из Z. Так ли?
|
Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 23 марта 2006 20:27 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Вы потеряете корни. Именно те, при которых (sinx + cosx)=0.
Лучше так:
Перенести 5(sinx + cosx) в левую часть, вынести за скобки
(sinx + cosx), т.е. (sinx + cosx)*(1+4sinxcosx)=0.
Последнее в свою очередь разбивается на 2 ур.
(sinx + cosx)=0 и (1+4sinxcosx)=0 или, преобразовав оба уравн.,
sin(x+pi/4)=0 и sin(2x)=-1/2. Решения обоих этих ур. и представляет собой решение исходного.
(Сообщение отредактировал MEHT 23 марта 2006 21:04)
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 23 марта 2006 20:59 | IP
|
|
|
Форум
Тригонометрия
