Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        Тригонометрия
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

MEHT



Долгожитель


Цитата: undeddy написал 23 марта 2006 9:55
Остается только непонятным, каким именно способом нужно исследовать функцию f(x,y) на экстремумы?


Исследовать стандартными методами мат. анализа, разумеется

Находите частные производные f, приравниваете их к нулю - получим 2 стационарные точки: (0,0) и (pi/3,pi/3).
Для точки (0,0) не выполняется условие для экстремума, следовательно ее отбрасываем; точкой строгого экстремума является только (pi/3,pi/3).
Посчитав вторую частн. производную f по x в (pi/3,pi/3)
видим, что она отрицательна, следовательно точка является строгим максимумом f.

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 23 марта 2006 13:08 | IP
undeddy



Долгожитель

Производной функции f(x,y) является следующее выражение:

    -sinx - siny + (x' + y') sin(x + y) .

Если ее приравнять к нулю, то получится ур-е с двумя переменными, что решить нельзя. А что значит, "находите частные производные" ? Это как?


(Сообщение отредактировал undeddy 23 марта 2006 17:27)


(Сообщение отредактировал undeddy 23 марта 2006 17:28)

-----
Всему свойcтвенна своя справедливость.

Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 23 марта 2006 14:27 | IP
miss_graffiti


Долгожитель

частная производная - это производная от ф-ции нескольких переменных (например, 2: x и y), взятая в предположении, что (например) х - переменная, y - константа. это будет df/dx

Всего сообщений: 670 | Присоединился: сентябрь 2005 | Отправлено: 23 марта 2006 15:06 | IP
undeddy



Долгожитель

Все понятно. Теоретический материал на тему "Производная" находится в стадии формирования и не все аспекты этой темы имеются в моей теоретической базе. Проще говоря, нас еще не обучали такому типу произодных. Поэтому эту задачу можно пока отложить.

Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 23 марта 2006 15:20 | IP
MEHT



Долгожитель

Ну если вы еще не иссл. функции многих переменных, то тогда и не стоит касаться этого метода.
Тогда альтернативный вариант.

Пусть A=x, B=x+s, C=pi-(2x+s), и пусть x <= x+s <= pi-(2x+s);
0<x<pi/2, 0<s<pi/2

тогда неравенство запишется в виде
cos(x)+cos(x+s)-cos(2x+s) <= 1,5.

Преобразуем левую часть:

cos(x)+cos(x+s)-cos(2x+s) = 2cos(x+s/2)cos(s/2)-cos(2x+s)=
=2cos(x+s/2)cos(s/2) - [2cos^2(x+s/2)-1] ;

сделаем замену t=cos(x+s/2), m=cos(s/2).

(x+s/2)=(A+B)/2, т.е. половина суммы двух углов, значит 0<(x+s/2)<pi/2, и следовательно 0<t<1;

для m:   sqrt(2)/2<m<1.

Раскроем скобки, произведем замену, и выделим полный квадрат:

-2t^2+2mt+1 = (1+m^2/2)-2(t-m/2)^2.

Теперь достаточно определить, какое максимальное значение может принимать это выражение.
Положительное 2(t-m/2)^2 вычетается из положительного (1+m^2/2) т.е. максимальное значение выражения будет при наибольшем (1+m^2/2) и наименьшем 2(t-m/2)^2.

(1+m^2/2) принимает наиб. значение при наибольшем m, т.е. при m=1, тогда (1+m^2/2)=1,5 ;

при этом значении m выражение 2(t-m/2)^2 = 2(t-1/2)^2,
наим. значение будет при 2(t-1/2)^2=0,
т.е. при t=1/2 (что удовлетворяющему условию 0<t<1).

Следовательно при m=1 и t=1/2 выражение (1+m^2/2)-2(t-m/2)^2 будет иметь наиб. значение 1,5.


(Сообщение отредактировал MEHT 23 марта 2006 15:52)

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 23 марта 2006 15:49 | IP
undeddy



Долгожитель


Цитата: MEHT написал 23 марта 2006 18:49

для m:   sqrt(2)/2<m<1.

(1+m^2/2) принимает наиб. значение при наибольшем m, т.е. при m=1....



Объясни, как ты здесь оценил значение переменной m. И если уж ты так ее оценил, то надо было включить и единицу в область значений переменной m.

-----
Всему свойcтвенна своя справедливость.

Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 23 марта 2006 17:39 | IP
MEHT



Долгожитель

Ну вообщем да, правильнее так:
sqrt(2)/2 < m <=1.

Т.к. m=cos(s/2), а  0<=s<pi/2  ( s - разность между большим и меньшим острыми углами треугольника, следовательно такое неравенство)
или 0 <= s/2 < pi/4  (разделив предыдущ. на 2);
Косинус - убывающая функция на 0 <= s/2 < pi/4, следовательно взяв косинусы от каждой величины, поменяв соответственно знак неравенства, получаем:
cos(pi/4) < m <= 1  или  sqrt(2)/2<m<=1

Хотя левая граница для m тут в принципе роли не играет...


(Сообщение отредактировал MEHT 23 марта 2006 18:40)

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 23 марта 2006 18:34 | IP
undeddy



Долгожитель

Теперь все понял. Большое спасибо.

Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 23 марта 2006 19:01 | IP
undeddy



Долгожитель

У меня вот тут вопрос возник в ходе решения уравнения:

4cos^3x - 5sinx = 5cosx - 4sin^3x

После несложных преобразований получаем:

4(sinx + cosx)(1 - sinxcosx) = 5(sinx + cosx)

Так вот в чем вопрос: можно ли разделить обе части ур-я на (sinx + cosx) (при условии, что эта сумма не равна нулю). Не произойдет ли при этом потери корней?

В итоге, если разделить по вышеуказанному способу, ответ должен выйти такой:

x = (-1)^(k + 1) * PI/12 + PI*k/2, k из Z. Так ли?

Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 23 марта 2006 20:27 | IP
MEHT



Долгожитель

Вы потеряете корни. Именно те, при которых (sinx + cosx)=0.
Лучше так:

Перенести 5(sinx + cosx) в левую часть, вынести за скобки
(sinx + cosx), т.е. (sinx + cosx)*(1+4sinxcosx)=0.
Последнее в свою очередь разбивается на 2 ур.
(sinx + cosx)=0 и (1+4sinxcosx)=0 или, преобразовав оба уравн.,
sin(x+pi/4)=0 и sin(2x)=-1/2. Решения обоих этих ур. и представляет собой решение исходного.


(Сообщение отредактировал MEHT 23 марта 2006 21:04)

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 23 марта 2006 20:59 | IP

Эта тема закрыта, новые ответы не принимаются

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 ]

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com