Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        Тригонометрия
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

MEHT



Долгожитель


Цитата: undeddy написал 9 сен. 2006 13:01
И вот еще такая проблема при решении задачи:

Найти arctg(1/2) + arctg(1/3). Итак, пусть arctg(1/2) = a, a E (-PI/2; PI/2), arctg(1/3) = b, b E (-PI/2; PI/2). Тогда tga = 1/2, tgb = 1/3. Находим, что tg(a+b) = 1 => arctg(1/2) + arctg(1/3) = PI/4 + PI*k, k E Z. Из уже установленных ограничений на a и b получаем, что -PI < arctg(1/2) + arctg(1/3) < PI. Отсюда находим, что k = 0, k = -1. И значит ответа у задачи будет два (?): PI/4 и -3PI/4. Но решение должно быть только одно. Так где же ошибка у меня?


Для a и b диапазон (-PI/2; PI/2) является слишком большим.
Заметьте, что arctg(1/2) и arctg(1/3) неорицательны, следовательно для (a+b) получаем диапазон
(0; PI/2),
и единственное решение (при k=0)
arctg(1/2) + arctg(1/3)=PI/4.

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 10 сен. 2006 0:09 | IP
undeddy



Долгожитель

Теперь понял. Спасибо.
А если рассматривать такую формулу в общем виде:

arctga + arctgb = arctg ( (a+ b) / (1 - ab) ), то при каких a и b эта формула будет являться верной?

Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 10 сен. 2006 8:16 | IP
MEHT



Долгожитель


Цитата: undeddy написал 10 сен. 2006 8:16
Теперь понял. Спасибо.
А если рассматривать такую формулу в общем виде:

arctga + arctgb = arctg ( (a+ b) / (1 - ab) ), то при каких a и b эта формула будет являться верной?


Пусть x=arctg(a) + arctg(b);
тогда
tg(x) = (a+ b) / (1 - ab).
Решая это уравнение, имеем
arctg(a) + arctg(b) = arctg[(a+b) / (1 - ab)] +pi*k, k - целое число, выбираемое таким образом, чтобы углы
x и
arctg[(a+ b) / (1 - ab)] +pi*k
были в одной координатной четверти.


Теперь можно сказать, что цитируемая формула есть частный случай верхней формулы (при k=0).
Следовательно выражение
arctga + arctgb = arctg ( (a+b) / (1 - ab) )
верно при всех a и b для которых угол
x=arctg(a) + arctg(b)
удовлетворяет интервалу (-pi/2;0) или (0;pi/2)
(т.е. тем интервалам, где определено значение арктангенса).
В противном случае формула не имеет смысла.

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 10 сен. 2006 13:23 | IP
undeddy



Долгожитель

Да, это понятно, но нужно найти точно возможные значения a и b. И еще:

x=arctg(a) + arctg(b)
удовлетворяет интервалу (-pi/2;0) или (0;pi/2)
(т.е. тем интервалам, где определено значение арктангенса).  


Разве ноль не входит в область значений арктангенса?

Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 10 сен. 2006 14:05 | IP
MEHT



Долгожитель


Цитата: undeddy написал 10 сен. 2006 14:05
Да, это понятно, но нужно найти точно возможные значения a и b.



Значит Вы хотите все разрешить параметрически - через а и b? Можно и так... но получится громозко.

x=arctg(a) + arctg(b),
-pi<x<pi

tg(x)=(a+b) / (1 - ab)

Можно рассмотреть частные случаи:
1)Пусть a>0, b>0; для x имеем 0<x<pi

1.1)
при
(1 - ab) > 0
получаем tg(x)>0, следовательно угол x лежит либо в I, либо в III. Но углы III-й четверти не удовлетворяют неравенству для x, а это означает, что
o<x<pi/2, и для формула для арктангенсов имеет место при k=0.

1.2)
при
(1 - ab) < 0
получаем tg(x)<0, следовательно угол x лежит либо в II, либо в IV. Но углы IV-й четверти не удовлетворяют неравенству для x, а это означает, что
pi/2<x<pi, и формула для арктангенсов имеет место при k=1.

2)Пусть a>0, b<0;
Функция Y=arctg(X) является возрастающей и нечетной.

2.1)
Если |a|>|b|, то
x=arctg(a) + arctg(b)=arctg(|a|) - arctg(|b|)>0,

и c учетом неравенства
-pi<x<pi
для x имеем
0<x<pi;

tg(x)=(a+b) / (1 - ab)=(|a|-|b|) / (1 + |a|*|b|)>0;
получили случай рассмотренный в (1.1), т.е.
o<x<pi/2, и для формула для арктангенсов имеет место при k=0.

2.2)
Если |b|>|a|, то
x=arctg(a) + arctg(b)=arctg(|a|) - arctg(|b|)<0,

и c учетом неравенства
-pi<x<pi
для x имеем
-pi<x<0;

tg(x)=(a+b) / (1 - ab)=(|a|-|b|) / (1 + |a|*|b|)<0;
получаем, что
-pi/2<x<0,
и формула для арктангенсов имеет место при k=0.

Аналогично можно рассмотреть случаи
a<0, b<0 и a<0, b>0.
Получим, что при

a<0, b<0,
(1 - ab) > 0,
имеет место случай k=0;

a<0, b<0,
(1 - ab) < 0,
имеет место случай k=-1;

a<0, b>0,
|b|>|a|,
имеет место случай k=0;

a<0, b>0,
|a|>|b|,
имеет место случай k=0.

Теперь можно точно ответить на поставленный вопрос.
k=0 имеет место в случае если а и b удовлетворяют неравенству
(1 - ab) > 0

P.S.
Пардон за первоначально допущенную ошибку. Исправил...

(Сообщение отредактировал MEHT 11 сен. 2006 11:34)

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 10 сен. 2006 18:16 | IP
MEHT



Долгожитель


Цитата: undeddy написал 10 сен. 2006 14:05

Разве ноль не входит в область значений арктангенса?


Разумеется входит. Но это уже частный случай - его целесообразно рассмотреть отдельно, чтобы не запутаться в главном...

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 10 сен. 2006 18:23 | IP
undeddy



Долгожитель

Как можно найти cos8(градусов)?

Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 7 окт. 2006 17:35 | IP
MEHT



Долгожитель


Цитата: undeddy написал 7 окт. 2006 17:35
Как можно найти cos8(градусов)?


Калькулятором, или по старинке - посмотреть таблицы Брадиса.


-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 7 окт. 2006 19:12 | IP
undeddy



Долгожитель

Без помощи вычислительных средств или таблиц.

Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 7 окт. 2006 20:29 | IP
MEHT



Долгожитель

Ну тогда используя изв. формулу разложения косинуса в ряд Маклорена
cos(x)=1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - (x^6)/6! + ...
8 градусов = 2*pi/45 радиан.
Этот угол мал, поэтому членами со степенями большими чем x^2 можно пренебречь, тогда приближенно получ.
cos(x) ~=1 - (x^2)/2!, и подставляя значение
cos(2*pi/45) ~=1 - 2*(pi/45)^2.

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 7 окт. 2006 20:59 | IP

Эта тема закрыта, новые ответы не принимаются

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 ]

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com