MEHT
Долгожитель
|
    
Цитата: undeddy написал 9 сен. 2006 13:01
И вот еще такая проблема при решении задачи:
Найти arctg(1/2) + arctg(1/3). Итак, пусть arctg(1/2) = a, a E (-PI/2; PI/2), arctg(1/3) = b, b E (-PI/2; PI/2). Тогда tga = 1/2, tgb = 1/3. Находим, что tg(a+b) = 1 => arctg(1/2) + arctg(1/3) = PI/4 + PI*k, k E Z. Из уже установленных ограничений на a и b получаем, что -PI < arctg(1/2) + arctg(1/3) < PI. Отсюда находим, что k = 0, k = -1. И значит ответа у задачи будет два (?): PI/4 и -3PI/4. Но решение должно быть только одно. Так где же ошибка у меня?
Для a и b диапазон (-PI/2; PI/2) является слишком большим.
Заметьте, что arctg(1/2) и arctg(1/3) неорицательны, следовательно для (a+b) получаем диапазон
(0; PI/2),
и единственное решение (при k=0)
arctg(1/2) + arctg(1/3)=PI/4.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 10 сен. 2006 0:09 | IP
|
|
undeddy
Долгожитель
|
Теперь понял. Спасибо.
А если рассматривать такую формулу в общем виде:
arctga + arctgb = arctg ( (a+ b) / (1 - ab) ), то при каких a и b эта формула будет являться верной?
|
Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 10 сен. 2006 8:16 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Цитата: undeddy написал 10 сен. 2006 8:16
Теперь понял. Спасибо.
А если рассматривать такую формулу в общем виде:
arctga + arctgb = arctg ( (a+ b) / (1 - ab) ), то при каких a и b эта формула будет являться верной?
Пусть x=arctg(a) + arctg(b);
тогда
tg(x) = (a+ b) / (1 - ab).
Решая это уравнение, имеем
arctg(a) + arctg(b) = arctg[(a+b) / (1 - ab)] +pi*k, k - целое число, выбираемое таким образом, чтобы углы
x и
arctg[(a+ b) / (1 - ab)] +pi*k
были в одной координатной четверти.
Теперь можно сказать, что цитируемая формула есть частный случай верхней формулы (при k=0).
Следовательно выражение
arctga + arctgb = arctg ( (a+b) / (1 - ab) )
верно при всех a и b для которых угол
x=arctg(a) + arctg(b)
удовлетворяет интервалу (-pi/2;0) или (0;pi/2)
(т.е. тем интервалам, где определено значение арктангенса).
В противном случае формула не имеет смысла.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 10 сен. 2006 13:23 | IP
|
|
undeddy
Долгожитель
|
Да, это понятно, но нужно найти точно возможные значения a и b. И еще:
x=arctg(a) + arctg(b)
удовлетворяет интервалу (-pi/2;0) или (0;pi/2)
(т.е. тем интервалам, где определено значение арктангенса).
Разве ноль не входит в область значений арктангенса?
|
Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 10 сен. 2006 14:05 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Цитата: undeddy написал 10 сен. 2006 14:05
Да, это понятно, но нужно найти точно возможные значения a и b.
Значит Вы хотите все разрешить параметрически - через а и b? Можно и так... но получится громозко.
x=arctg(a) + arctg(b),
-pi<x<pi
tg(x)=(a+b) / (1 - ab)
Можно рассмотреть частные случаи:
1)Пусть a>0, b>0; для x имеем 0<x<pi
1.1)
при
(1 - ab) > 0
получаем tg(x)>0, следовательно угол x лежит либо в I, либо в III. Но углы III-й четверти не удовлетворяют неравенству для x, а это означает, что
o<x<pi/2, и для формула для арктангенсов имеет место при k=0.
1.2)
при
(1 - ab) < 0
получаем tg(x)<0, следовательно угол x лежит либо в II, либо в IV. Но углы IV-й четверти не удовлетворяют неравенству для x, а это означает, что
pi/2<x<pi, и формула для арктангенсов имеет место при k=1.
2)Пусть a>0, b<0;
Функция Y=arctg(X) является возрастающей и нечетной.
2.1)
Если |a|>|b|, то
x=arctg(a) + arctg(b)=arctg(|a|) - arctg(|b|)>0,
и c учетом неравенства
-pi<x<pi
для x имеем
0<x<pi;
tg(x)=(a+b) / (1 - ab)=(|a|-|b|) / (1 + |a|*|b|)>0;
получили случай рассмотренный в (1.1), т.е.
o<x<pi/2, и для формула для арктангенсов имеет место при k=0.
2.2)
Если |b|>|a|, то
x=arctg(a) + arctg(b)=arctg(|a|) - arctg(|b|)<0,
и c учетом неравенства
-pi<x<pi
для x имеем
-pi<x<0;
tg(x)=(a+b) / (1 - ab)=(|a|-|b|) / (1 + |a|*|b|)<0;
получаем, что
-pi/2<x<0,
и формула для арктангенсов имеет место при k=0.
Аналогично можно рассмотреть случаи
a<0, b<0 и a<0, b>0.
Получим, что при
a<0, b<0,
(1 - ab) > 0,
имеет место случай k=0;
a<0, b<0,
(1 - ab) < 0,
имеет место случай k=-1;
a<0, b>0,
|b|>|a|,
имеет место случай k=0;
a<0, b>0,
|a|>|b|,
имеет место случай k=0.
Теперь можно точно ответить на поставленный вопрос.
k=0 имеет место в случае если а и b удовлетворяют неравенству
(1 - ab) > 0
P.S.
Пардон за первоначально допущенную ошибку. Исправил...
(Сообщение отредактировал MEHT 11 сен. 2006 11:34)
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 10 сен. 2006 18:16 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Цитата: undeddy написал 10 сен. 2006 14:05
Разве ноль не входит в область значений арктангенса?
Разумеется входит. Но это уже частный случай - его целесообразно рассмотреть отдельно, чтобы не запутаться в главном...
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 10 сен. 2006 18:23 | IP
|
|
undeddy
Долгожитель
|
Как можно найти cos8(градусов)?
|
Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 7 окт. 2006 17:35 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Цитата: undeddy написал 7 окт. 2006 17:35
Как можно найти cos8(градусов)?
Калькулятором, или по старинке - посмотреть таблицы Брадиса. 
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 7 окт. 2006 19:12 | IP
|
|
undeddy
Долгожитель
|
Без помощи вычислительных средств или таблиц.
|
Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 7 окт. 2006 20:29 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Ну тогда используя изв. формулу разложения косинуса в ряд Маклорена
cos(x)=1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - (x^6)/6! + ...
8 градусов = 2*pi/45 радиан.
Этот угол мал, поэтому членами со степенями большими чем x^2 можно пренебречь, тогда приближенно получ.
cos(x) ~=1 - (x^2)/2!, и подставляя значение
cos(2*pi/45) ~=1 - 2*(pi/45)^2.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 7 окт. 2006 20:59 | IP
|
|
|
Форум
Тригонометрия
