miss_graffiti
Долгожитель
|
       
никак...
насколько я помню задания централизованного тестирования, там именно оценочно все делалось.
|
Всего сообщений: 670 | Присоединился: сентябрь 2005 | Отправлено: 3 нояб. 2006 1:42 | IP
|
|
sms
Удален
|
Да нет, там в задачах с решениями надо всё доказать.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 3 нояб. 2006 21:24 | IP
|
|
Karaff
Удален
|
Плиз решите задачи!!! Завтра сдавать, а я я третий день голову ломаю не могу решить((((
Найти величины углов между прямыми, соединяющими точку пересечения высот правильного тетраэда с его вершинами.
Центр нижнего основания куба соединен с вершинами верхнего основания. Вычислить углы между прямыми.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 8 нояб. 2006 13:12 | IP
|
|
sms
Удален
|
Введите координаты. Найдите координаты нужных точек. Потом уравнения прямых через пары точек. Потом углы между прямыми.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 8 нояб. 2006 22:01 | IP
|
|
bekas
Долгожитель
|
ТЕТРАЭДР
--------
Пусть длина ребра правильного тетраэда есть x.
Очевидно, в силу симметрии, высота проецируется в центр окружности, описанной около правильного треугольника, являющегося боковой стороной тетраэдра. Известно, что радиус этой окружности равен R = x * sqrt(3)/3.
Отсюда по теореме Пифагора длина любой высоты тетраэдра равна x * sqrt(2/3).
Для определенности обозначим тетраэдр как SABC (S - вершина тетраэдра, ABC - треугольник в основании тетраэдра). Рассмотрим теперь равнобедренный треугольник SAK, образованный боковым ребром тетраэдра SA (это будет основание равнобедренного треугольника) и двумя перпендикулярами, проведенными соответственно из A к ребру BC и из S к тому же ребру BC и пересекающиеся в точке K, представляющей середину ребра BC (это будут боковые стороны равнобедренного треугольника).
Легко видеть, что AK = SK = x * sqrt(3)/2 (естественно, SA = x).
Если в равнобедренном треугольнике SAK провести из A и S высоты этого треугольника соответственно SP и AQ (пусть они пересекаются в точке M, не забываем, что их длина уже получена ранее и равна x * sqrt(2/3)), то угол SMA и будет искомым углом. Проведем также и высоту KZ.
Отсюда получаем, что cos(QAS) = AQ/SA = sqrt(2/3), а также
sin(ZMA) = cos(QAS) = sqrt(2/3) и cos(ZMA) = sqrt(1/3).
Далее замечаем, что искомый угол SMA равен двум углам ZMA.
По формуле sin(SMA) = 2*sin(ZMA)*cos(ZMA) получим
sin(SMA) = 2*sqrt(2)/3 и SMA = arcsin(2*sqrt(2)/3).
КУБ
---
Пусть длина ребра куба есть x, тогда половина диагонали
нижнего основания по теореме Пифагора есть x*sqrt(2)/2,
а квадрат длины прямой L, соединяющей центр нижнего основания с любой вершиной верхнего основания, по той же теореме Пифагора есть x^2 * 3/2. Осталось рассмотреть любой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого образованы двумя прямыми типа L, а в качестве основания этого треугольника послужит ребро верхнего основания куба.
По теореме косинусов для этого треугольника получим уравнение:
x^2 = L^2 + L^2 - 2*L*L*cos(A), где A - искомый угол.
Итак, x^2 = 3*x^2 - 9/2*x^2*cos(A), откуда cos(A) = 4/9,
A = arccos(4/9)
P.S. Рекомендую проверить расчеты, я мог и ошибиться.
Данное решение не из аналитической геометрии, а для школьного уровня...
|
Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 8 нояб. 2006 22:06 | IP
|
|
bekas
Долгожитель
|
В задаче про куб допущена ошибка в фразе:
Итак, x^2 = 3*x^2 - 9/2*x^2*cos(A), откуда cos(A) = 4/9,
A = arccos(4/9)
Правильно надо так:
Итак, x^2 = 3*x^2 - 3*x^2*cos(A), откуда cos(A) = 2/3,
A = arccos(2/3)
Решение про куб методом аналитической геометрии выглядит так:
Расположим куб в координатной плоскости так, чтобы одна из его вершин совпала с началом координат, а три его ребра, выходящие из этой вершины, совпали с положительным направлением осей x, y, z.
Тогда координаты двух точек двух прямых, угол между которыми требуется найти, есть соответственно
{1/2;1/2;0} {0;0;1} и {1/2;1/2;0} {0;1;1}.
Уравнения этих прямых есть x/(1/2) = y/(1/2) = (z-1)/(-1) и
x/(1/2) = (y-1)/(-1/2) = (z-1)/(-1). По известной формуле
cos(A) = (l1l2 + m1m2 + n1n2)/
(sqrt(l1^2 + m1^2 +n1^2)*sqrt(l2^2 + m2^2 +n2^2))
l1 = 1/2, n1 = 1/2, m1 = -1, l2 = 1/2, n2 = -1/2, m2 = -1
Отсюда cos(A) = 2/3, A = arccos(2/3).
Не сложнее выглядит и решение методом аналитической геометрии задачи про тетраэдр...
|
Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 8 нояб. 2006 23:24 | IP
|
|
Karaff
Удален
|
Спасиб огромное, огромное!!!
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 9 нояб. 2006 14:11 | IP
|
|
codename47
Новичок
|
Если не трудно, то помогите решить неравенство из СПбГУ (Математико-механический факультет (вариант вступительного экзамена)).
arctg(x)+arctg(3-2x)>pi/4
Сам-то я решил, но при решении применял производную обратно тригонометрической функции (arctg(x))’=1/(1+x^2). Но дело в том, что эти производные, как я знаю, не входят в среднюю школьную программу, а на вступительных испытаниях (я узнавал в день открытых дверей) сверх надлежащего дать не могут, следовательно, возможно есть другой вариант решения, который мне и интересен.
Спосибо!
+ не могли бы заглянуть на «Свободное общение» и помочь с выбором фак-та (или даже предложить свой вариант факультета в каком-нибудь ВУЗе ЭксЛенинграда с физико-математической направленностью) в топе «Есть два варианта»
|
Всего сообщений: 32 | Присоединился: август 2006 | Отправлено: 24 нояб. 2006 22:40 | IP
|
|
klimanya
Новичок
|
arctg(x)>pi/4-arctg(3-2x)
-pi/2<pi/4-arctg(3-2x)<pi/2
-pi/4<arctg(3-2x)<3pi/4
-pi/4<arctg(3-2x)<3pi/4
3-2x>-1
2x<4
x<2
Вроде так... 
|
Всего сообщений: 36 | Присоединился: октябрь 2006 | Отправлено: 27 нояб. 2006 10:33 | IP
|
|
codename47
Новичок
|
Цитата: klimanya написал 27 нояб. 2006 10:33
arctg(x)>pi/4-arctg(3-2x)
-pi/2<pi/4-arctg(3-2x)<pi/2
-pi/4<arctg(3-2x)<3pi/4
-pi/4<arctg(3-2x)<3pi/4
3-2x>-1
2x<4
x<2
Вроде так...
Не, не так все просто. Ну во-перых мне кажется, что у тебя (вас) была ошибка уже во второй строчке: -pi/2<pi/4-arctg(3-2x)<pi/2 - это почему? Ведь здесь arctg(x)>pi/4-arctg(3-2x) стоит Знак ">", а не "=", следовательно минимально возможное (но не факт, что тачно) значение выражения pi/4-arctg(3-2x) будет p/4-p/2=-p/2, а максимально возможное (и также не факт что точно) p/4-(-p/2)=3p/4.И из этого НЕ будет следовать -p/2<p/4-arctg(3-2x)<3pi/4.
Спасибо, что посмотрел!
|
Всего сообщений: 32 | Присоединился: август 2006 | Отправлено: 29 нояб. 2006 8:41 | IP
|
|
|
Форум
Тригонометрия
