Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        Тригонометрия
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

looser



Участник

1)Какое наименьшее значение принимает (cosx+cosy+cosz), если sinx+siny+sin>=корню из 5

2)Вычислить log2(sin1*sin3*...*sin89) Здесть цифры в градусах, 2-основание логарифма.

Буду благодарна за любые подсказки и намеки.

Всего сообщений: 116 | Присоединился: март 2007 | Отправлено: 9 янв. 2008 14:43 | IP
MEHT



Долгожитель

1) Введем обозначения:

a=sin(x), b=sin(y), c=sin(z)

f = (cosx+cosy+cosz) = +- sqrt(1 - a^2) +- sqrt(1 - b^2) +- sqrt(1 - c^2).

Таким образом нужно найти наименьшее значение f при a+b+c >= sqrt(5).
Т.к. требуется минимизировать f, то целесообразно у каждого из слагаемых в f выбрать знаки минусы:

f =-[sqrt(1 - a^2) + sqrt(1 - b^2) + sqrt(1 - c^2)].

Теперь положим a=b=c=sqrt(5)/3. Тогда f=-2.
Это по сути дела уже и есть минимальное значение f.
Осталось доказать что это так.
Для этого в согласии с наложенным неравенством будем менять, например, a и b, замечая при этом, что f будет при этом расти. Однако этот путь доказательства довольно громозкий.

Лучше, как мне кажется, пойти стандартными методами - исследовать на экстемумы функцию трёх переменных
f=f(a,b,c)=-[sqrt(1 - a^2) + sqrt(1 - b^2) + sqrt(1 - c^2)]
на области заданной неравенством a+b+c >= sqrt(5), причём
-1 <= a <= 1,
-1 <= b <= 1,
-1 <= c <= 1.

2) Тут по-видимому нужно вычислять численно.

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 10 янв. 2008 5:55 | IP
looser



Участник

Спасибо огромное, особенно за оперативность!

1)Как исследовать на экстремумы функцию трех переменных? Задача школьная, и это не должно быть оч сложно, просто я не знаю как это. Хоть в общих чертах?

2) Численно. Но не на калькуляторе. Все должно как-то упроститься и в итоге красивая цифирка.

Всего сообщений: 116 | Присоединился: март 2007 | Отправлено: 10 янв. 2008 16:02 | IP
Roman Osipov



Долгожитель

Речь о градусах или радианах (sin1*sin3*...*sin89)?

Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 10 янв. 2008 20:30 | IP
MEHT



Долгожитель


Речь о градусах или радианах (sin1*sin3*...*sin89)?


О градусах.


2) Численно. Но не на калькуляторе. Все должно как-то упроститься и в итоге красивая цифирка.


Тут можно наметить два пути.
Либо произведение подлогарифмического произведения заменить на сумму логарифмов, содержащую 45 слагаемых.

Либо по формуле
sin(a)*sin(b) = (1/2)*[cos(a-b) - cos(a+b)]
преобразовать сомножители
sin(1°)*sin(89°), sin(3°)*sin(87°), ..., sin(43°)*sin(47°)
в результате придём к логарифму от суммы косинусов.

Дальше видимо придётся использовать всяческие приближения.

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 10 янв. 2008 21:24 | IP
looser



Участник

Неа, все получилось)))
Под логарифмом:вторую половину синусов (после 45) превращаем в косинусы. Будет произведение синусов 1, 3,...,43, 45 градусов и еще умножить на произведение косинусов 1,3,...,43 градусов. Перемножаем попарно синус-косинус, получаем (формула син двойного угла) син2*син6*син10*...*син86*(1/2)^22(т.к.22 пары) *син45

Син45, понятно, 2^(-1/2), короче двойки эти все вынесутся из логарифма, сделавшись числом. -22,5

Осталось син2*син6*...*син86=кос4*кос8*кос12*...*кос88=(кос2*кос4*кос6*кос8*кос10* ...*кос86*кос88)/(кос2*кос6*кос10*...*кос86). Перемножаем в числителе косинусы первый-последний, второй-предпоследний... все косинусы сумм равны нулю (все суммы 90), овтаются косинусы разностей и коэф. 2^-22.Получаем
(кос86*кос82*...*кос2)/(кос2*...*кос82*кос86)=1. Логарифм 0, вот и всё. Осталось только -22,5-22=-44,5.

Спасибо.

Всего сообщений: 116 | Присоединился: март 2007 | Отправлено: 10 янв. 2008 22:17 | IP
Roman Osipov



Долгожитель

красиво

Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 10 янв. 2008 22:43 | IP
MEHT



Долгожитель

Браво! Отличное решение!
Вы просто умничка!

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 10 янв. 2008 23:39 | IP
cyradin



Новичок

мне срочно нужен решебник сканави 3 и 8 глава!!!!! спасите я в тригонометрии не рублю совсем!!!

Всего сообщений: 4 | Присоединился: январь 2008 | Отправлено: 19 янв. 2008 19:32 | IP
alex142



Полноправный участник


Всего сообщений: 158 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 23 янв. 2008 11:25 | IP

Эта тема закрыта, новые ответы не принимаются

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 ]

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com