Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        Тригонометрия
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

Jari


Новичок

Буду весьма признателен, если кто-нибудь все же поможет мне с системой, находящейся тремя постами выше.

Очень интересный пример. Несколько знакомых мне учетилей математики (пусть только школьных) его решить не смогли...

Всего сообщений: 18 | Присоединился: декабрь 2006 | Отправлено: 26 янв. 2007 17:32 | IP
MEHT



Долгожитель


Цитата: Jari написал 26 янв. 2007 17:32
Буду весьма признателен, если кто-нибудь все же поможет мне с системой, находящейся тремя постами выше.

Очень интересный пример. Несколько знакомых мне учетилей математики (пусть только школьных) его решить не смогли...



Первое уравнение системы можно преобразовать так:

sinx + cosx = (1/sqrt(2)) + siny – cosy,

(sqrt(2))*[sin(x + pi/4)]=(1/sqrt(2)) + (sqrt(2))*[sin(y - pi/4),
или
sin(x + pi/4) = 1/2 + sin(y - pi/4);
сделав замену
a=x + pi/4,
b=y - pi/4,
первое уравнение запишется как

sin(a) = 1/2 + sin(b).

Тогда второе уравнение преобразуется следующим образом

2*sin(2a - pi/2) = 3/2 + sin(2b + pi/2),
-2*cos(2a) = 3/2 + cos(2b),
или, расписывая косинус двойного аргумента через квадрат синуса,

-2*[1-2*sin^2(a)] = 3/2 + 1-2*sin^2(b),
8*sin^2(a)] + 4*sin^2(b) = 9;
Таким образом система сводиться к системе

sin(a) = 1/2 + sin(b),
8*sin^2(a)] + 4*sin^2(b) = 9.

Далее, выражая из первого уравнения системы sin^2(a) или sin^2(b), подставляя во второе, получаем квадратное ур. для sin(a) или sin(b) соответственно. Далее находятся а и b, а следовательно и x и y.


(Сообщение отредактировал MEHT 27 янв. 2007 4:46)

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 26 янв. 2007 19:18 | IP
undeddy



Долгожитель

Такое уравнение.

2sin( sqrt(x) + PI/2 ) = sqrt(3)

Хитрость состоит в том, что ответ (+- PI/6 + 2PI*n)^2, n E Z (!) является верным. Но почему?

Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 28 янв. 2007 15:46 | IP
Karachun


Удален

Может быть я чего и не понимаю, но почему бы ответу этому верным не являться.
sin(sqrt(x)+pi/2)=sqrt(3)/2
sqrt(x)+pi/2=(-1)^n*(PI/3)+Pi*n;
x=((-1)^n*(Pi/3)-Pi/2+Pi*n)^2;
Далее рассмотрим для n- четной и нечетной, то есть n=2*k или n=2*k+1;
Ответ и будет (+-Pi/6+2*Pi*k)^2 где K E Z
P.S. Как видишь ответ при n E Z, а у меня при k E Z; если проблема в этом, то стоит подумать еще.

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 28 янв. 2007 16:23 | IP
undeddy



Долгожитель

Дело в том, что sqrt(x) = a эквивалентно x = a^2, только если a>=0, а у вас это условие при возведении в квадрат не соблюдено.

Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 28 янв. 2007 16:33 | IP
Karachun


Удален

Да ты прав естественно. И честно говоря, мне кажется, что ответ не верный, такого быть не может?

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 28 янв. 2007 20:51 | IP
Jari


Новичок

МЕНТ, извините пожалуйста за ошибку и за ваше потраченное время... Увы, но ваши старания прошли даром: этот пример я уже давно решил. Дело в том, что я одновременно с этой задачей в другую тему выкладывал еще один:

Графику функции у = х3 + а*х^2 + bх +с принадлежат точки А и B, симметричные относительно прямой х = 2. Касательные к этому графику в точках А и В параллельны между собой. Одна из этих касательных проходит через точку С (0;-1), а другая – через точку D (0;-5). Найти коэффициенты а, b и с.

И вот теперь случайно засунул свой пост не в ту тему... Еще раз извините...

Всего сообщений: 18 | Присоединился: декабрь 2006 | Отправлено: 28 янв. 2007 21:31 | IP
undeddy



Долгожитель

В том-то все и дело, что автор в ответе говорит, что вся хитрость этого примера в ответе. Он верный. Но почему? Ведь отсутствуют ограничения на переменную n(k). Вот этого я и не могу понять.

Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 28 янв. 2007 21:34 | IP
MEHT



Долгожитель


Цитата: undeddy написал 28 янв. 2007 21:34
В том-то все и дело, что автор в ответе говорит, что вся хитрость этого примера в ответе. Он верный. Но почему? Ведь отсутствуют ограничения на переменную n(k). Вот этого я и не могу понять.


2*sin( sqrt(x) + PI/2 ) = sqrt(3), или
2*cos(sqrt(x))=sqrt(3),
cos(sqrt(x))=sqrt(3)/2, откуда
sqrt(x)=+-pi/6 +2*pi*n, n - любое целое, при котором равенство имеет смысл в в случае действительных корней x (т.е. для всех положительных n, а также при n=0, в случае, когда перед +-pi/6 выбран знак "+" ).
Однако при возведении в квадрат

x=(+-pi/6 +2*pi*n)^2

область значений n можно расширить на множество всех целых n. Действительно, если n<0, то

(+-pi/6 + 2*pi*n)^2=(+-pi/6 - 2*pi*|n|)^2 = (-1)^2 * (-+pi/6 + 2*pi*|n|)^2 = (+-pi/6 + 2*pi*|n|)^2,
т.е. каждому отрицательному целому значению n соответствует свое положительное |n|.
Аналогичным образом можно показать и в случае n=0 в случае, когда перед +-pi/6 выбирается знак "-" - данному решению будет соответвовать решение при n=0  с +pi/6.
Поэтому можно сказать, что решение справедливо при любом целом n, т.к. решения при равных модулях n совпадают.

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 29 янв. 2007 18:12 | IP
MEHT



Долгожитель


Цитата: Jari написал 28 янв. 2007 21:31
МЕНТ, извините пожалуйста за ошибку и за ваше потраченное время... Увы, но ваши старания прошли даром: этот пример я уже давно решил. Дело в том, что я одновременно с этой задачей в другую тему выкладывал еще один:

Графику функции у = х3 + а*х^2 + bх +с принадлежат точки А и B, симметричные относительно прямой х = 2. Касательные к этому графику в точках А и В параллельны между собой. Одна из этих касательных проходит через точку С (0;-1), а другая – через точку D (0;-5). Найти коэффициенты а, b и с.



Да, задачка действительно интересная. Из области аналитич. геометрии. Ну раз уж Вы запостили ее здесь, то тут и отпишусь

Обозначим функцию заданную в условии через f(x).
Пусть точка А имеет координаты (x0,y0).
Тогда симметричная ей относительно прямой x=2 точка B будет иметь координаты (4-x0,y0).
Данные точки принадлежат кривой y(x), следовательно должны выполняться равенства
y0=f(x0)=f(4-x0).

Известно, что касательные к графику в точках A и B параллельны, а значит в этих точках будут одинаковыми и тангенсы наклона этих прямых к оси абсцисс, что равносильно равенству производных в этих точках, поэтому можем записать:

k=f'(x0)=f'(4-x0),
где через k обозначен сам тангенс наклона.

Сами уравнения касательных в точках A и B можно записать как

y = y0 + k * (x-x0),
y = y0 + k * [x-(4-x0)].

Исходя из условия задачи ясно, что какому-то из этих уравнений удовлетворяет точка C, а следовательно другому - D. Далее можно рассмотреть 2 случая: первый - точка С удовл. 1-му ур., второй - С удовлетворяет 2-у уравнению.


Теперь можно решать саму задачу. Взяв от f производную получим
f'(x)=3*x^2 + 2*a*x + b.
Теперь подставляя ее в равенство f'(x0)=f'(4-x0), и, перенося все в левую часть и упрощая, приходим к соотношению
(x0-2)*(a+6)=0, откуда следует, что должно выполняться хотя бы одно из равенств
x0=2, или a=-6.
Но равенство x0=2 означает, что точка A совпадает с B, а следовательно совпадают и касательные, которые по условию должны проходить через разные точки C и D, что невозможно. Следовательно, x0 не равно 2. Поэтому сразу получаем значение

a=-6.

Теперь, аналогично предыдущему, расписываем равенство
f(x0)=f(4-x0). Перенося все в левую часть получаем следующее
(x0-2)*[(x0^2 - 4*x0 + 16)+4*a + b]=0,
или, учитывая что x0 не равно 2 и a=-6, для b получаем:

b=-x0^2 + 4*x0 + 8.

Найдем теперь угловой коэффициент k.

k = f'(x0) = 3*x0^2 + 2*a*x0 + b = 3*x0^2 - 12*x0 - x0^2 + 4*x0 + 8 =
=2*(x0^2 - 4*x0 + 4) = 2*(x0 - 2)^2.


Рассмотрим теперь сами уравнения касательных. Пусть имеет место 1-й случай, когда координаты точки С удовлетворяют первому уравнению. Тогда получаем систему:

-1 = y0 + k * (0-x0),
-5 = y0 + k * [0-(4-x0)], или

-1 = y0 - k * x0,
-5 = y0 + k * (-4+x0);

вычтем из второго уравнения первое, получим

-4 = k * (-4+2*x0), или -2 = k * (x0 - 2).
Подставляя сюда выражение для k, выражаем x0 :

-2 = 2*(x0 - 2)^3,
x0=1.

При x0=1, получаем
k=2*(1 - 2)^2 = 2, и, подставляя в систему, находим что
y0=1.

Теперь можно выразить все коэффициенты.

b = -x0^2 + 4*x0 + 8 = 11;

у0 = f(x0) = х0^3 + а*х0^2 + b*х0 + с, откуда

с = у0 - (х0^3 + а*х0^2 + b*х0) = -5.


Во втором случае, когда координаты точки C удовлетворяют второму уравнению, аналогично можно показать, что коэффициенты b и c остануться прежними, а координаты точки А будут уже (3;1).
Этого и следовало ожидать, т.к. принадлежность точек С и D разным касательным равносильно замене координат симметричных точек А и B
(т.е. когда точка В имеет координаты (x0,y0), а A соответственно (4-x0,y0) ).

Таким образом получаем единственное решение задачи: a=-6, b=11, c=-5.

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 29 янв. 2007 18:25 | IP

Эта тема закрыта, новые ответы не принимаются

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 ]

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com