Jari
Новичок
|
Буду весьма признателен, если кто-нибудь все же поможет мне с системой, находящейся тремя постами выше. Очень интересный пример. Несколько знакомых мне учетилей математики (пусть только школьных) его решить не смогли...
|
Всего сообщений: 18 | Присоединился: декабрь 2006 | Отправлено: 26 янв. 2007 17:32 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Цитата: Jari написал 26 янв. 2007 17:32 Буду весьма признателен, если кто-нибудь все же поможет мне с системой, находящейся тремя постами выше. Очень интересный пример. Несколько знакомых мне учетилей математики (пусть только школьных) его решить не смогли...
Первое уравнение системы можно преобразовать так: sinx + cosx = (1/sqrt(2)) + siny – cosy, (sqrt(2))*[sin(x + pi/4)]=(1/sqrt(2)) + (sqrt(2))*[sin(y - pi/4), или sin(x + pi/4) = 1/2 + sin(y - pi/4); сделав замену a=x + pi/4, b=y - pi/4, первое уравнение запишется как sin(a) = 1/2 + sin(b). Тогда второе уравнение преобразуется следующим образом 2*sin(2a - pi/2) = 3/2 + sin(2b + pi/2), -2*cos(2a) = 3/2 + cos(2b), или, расписывая косинус двойного аргумента через квадрат синуса, -2*[1-2*sin^2(a)] = 3/2 + 1-2*sin^2(b), 8*sin^2(a)] + 4*sin^2(b) = 9; Таким образом система сводиться к системе sin(a) = 1/2 + sin(b), 8*sin^2(a)] + 4*sin^2(b) = 9. Далее, выражая из первого уравнения системы sin^2(a) или sin^2(b), подставляя во второе, получаем квадратное ур. для sin(a) или sin(b) соответственно. Далее находятся а и b, а следовательно и x и y. (Сообщение отредактировал MEHT 27 янв. 2007 4:46)
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 26 янв. 2007 19:18 | IP
|
|
undeddy
Долгожитель
|
Такое уравнение. 2sin( sqrt(x) + PI/2 ) = sqrt(3) Хитрость состоит в том, что ответ (+- PI/6 + 2PI*n)^2, n E Z (!) является верным. Но почему?
|
Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 28 янв. 2007 15:46 | IP
|
|
Karachun
Удален
|
Может быть я чего и не понимаю, но почему бы ответу этому верным не являться. sin(sqrt(x)+pi/2)=sqrt(3)/2 sqrt(x)+pi/2=(-1)^n*(PI/3)+Pi*n; x=((-1)^n*(Pi/3)-Pi/2+Pi*n)^2; Далее рассмотрим для n- четной и нечетной, то есть n=2*k или n=2*k+1; Ответ и будет (+-Pi/6+2*Pi*k)^2 где K E Z P.S. Как видишь ответ при n E Z, а у меня при k E Z; если проблема в этом, то стоит подумать еще.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 28 янв. 2007 16:23 | IP
|
|
undeddy
Долгожитель
|
Дело в том, что sqrt(x) = a эквивалентно x = a^2, только если a>=0, а у вас это условие при возведении в квадрат не соблюдено.
|
Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 28 янв. 2007 16:33 | IP
|
|
Karachun
Удален
|
Да ты прав естественно. И честно говоря, мне кажется, что ответ не верный, такого быть не может?
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 28 янв. 2007 20:51 | IP
|
|
Jari
Новичок
|
МЕНТ, извините пожалуйста за ошибку и за ваше потраченное время... Увы, но ваши старания прошли даром: этот пример я уже давно решил. Дело в том, что я одновременно с этой задачей в другую тему выкладывал еще один: Графику функции у = х3 + а*х^2 + bх +с принадлежат точки А и B, симметричные относительно прямой х = 2. Касательные к этому графику в точках А и В параллельны между собой. Одна из этих касательных проходит через точку С (0;-1), а другая – через точку D (0;-5). Найти коэффициенты а, b и с. И вот теперь случайно засунул свой пост не в ту тему... Еще раз извините...
|
Всего сообщений: 18 | Присоединился: декабрь 2006 | Отправлено: 28 янв. 2007 21:31 | IP
|
|
undeddy
Долгожитель
|
В том-то все и дело, что автор в ответе говорит, что вся хитрость этого примера в ответе. Он верный. Но почему? Ведь отсутствуют ограничения на переменную n(k). Вот этого я и не могу понять.
|
Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 28 янв. 2007 21:34 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Цитата: undeddy написал 28 янв. 2007 21:34 В том-то все и дело, что автор в ответе говорит, что вся хитрость этого примера в ответе. Он верный. Но почему? Ведь отсутствуют ограничения на переменную n(k). Вот этого я и не могу понять.
2*sin( sqrt(x) + PI/2 ) = sqrt(3), или 2*cos(sqrt(x))=sqrt(3), cos(sqrt(x))=sqrt(3)/2, откуда sqrt(x)=+-pi/6 +2*pi*n, n - любое целое, при котором равенство имеет смысл в в случае действительных корней x (т.е. для всех положительных n, а также при n=0, в случае, когда перед +-pi/6 выбран знак "+" ). Однако при возведении в квадрат x=(+-pi/6 +2*pi*n)^2 область значений n можно расширить на множество всех целых n. Действительно, если n<0, то (+-pi/6 + 2*pi*n)^2=(+-pi/6 - 2*pi*|n|)^2 = (-1)^2 * (-+pi/6 + 2*pi*|n|)^2 = (+-pi/6 + 2*pi*|n|)^2, т.е. каждому отрицательному целому значению n соответствует свое положительное |n|. Аналогичным образом можно показать и в случае n=0 в случае, когда перед +-pi/6 выбирается знак "-" - данному решению будет соответвовать решение при n=0 с +pi/6. Поэтому можно сказать, что решение справедливо при любом целом n, т.к. решения при равных модулях n совпадают.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 29 янв. 2007 18:12 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Цитата: Jari написал 28 янв. 2007 21:31 МЕНТ, извините пожалуйста за ошибку и за ваше потраченное время... Увы, но ваши старания прошли даром: этот пример я уже давно решил. Дело в том, что я одновременно с этой задачей в другую тему выкладывал еще один: Графику функции у = х3 + а*х^2 + bх +с принадлежат точки А и B, симметричные относительно прямой х = 2. Касательные к этому графику в точках А и В параллельны между собой. Одна из этих касательных проходит через точку С (0;-1), а другая – через точку D (0;-5). Найти коэффициенты а, b и с.
Да, задачка действительно интересная. Из области аналитич. геометрии. Ну раз уж Вы запостили ее здесь, то тут и отпишусь Обозначим функцию заданную в условии через f(x). Пусть точка А имеет координаты (x0,y0). Тогда симметричная ей относительно прямой x=2 точка B будет иметь координаты (4-x0,y0). Данные точки принадлежат кривой y(x), следовательно должны выполняться равенства y0=f(x0)=f(4-x0). Известно, что касательные к графику в точках A и B параллельны, а значит в этих точках будут одинаковыми и тангенсы наклона этих прямых к оси абсцисс, что равносильно равенству производных в этих точках, поэтому можем записать: k=f'(x0)=f'(4-x0), где через k обозначен сам тангенс наклона. Сами уравнения касательных в точках A и B можно записать как y = y0 + k * (x-x0), y = y0 + k * [x-(4-x0)]. Исходя из условия задачи ясно, что какому-то из этих уравнений удовлетворяет точка C, а следовательно другому - D. Далее можно рассмотреть 2 случая: первый - точка С удовл. 1-му ур., второй - С удовлетворяет 2-у уравнению. Теперь можно решать саму задачу. Взяв от f производную получим f'(x)=3*x^2 + 2*a*x + b. Теперь подставляя ее в равенство f'(x0)=f'(4-x0), и, перенося все в левую часть и упрощая, приходим к соотношению (x0-2)*(a+6)=0, откуда следует, что должно выполняться хотя бы одно из равенств x0=2, или a=-6. Но равенство x0=2 означает, что точка A совпадает с B, а следовательно совпадают и касательные, которые по условию должны проходить через разные точки C и D, что невозможно. Следовательно, x0 не равно 2. Поэтому сразу получаем значение a=-6. Теперь, аналогично предыдущему, расписываем равенство f(x0)=f(4-x0). Перенося все в левую часть получаем следующее (x0-2)*[(x0^2 - 4*x0 + 16)+4*a + b]=0, или, учитывая что x0 не равно 2 и a=-6, для b получаем: b=-x0^2 + 4*x0 + 8. Найдем теперь угловой коэффициент k. k = f'(x0) = 3*x0^2 + 2*a*x0 + b = 3*x0^2 - 12*x0 - x0^2 + 4*x0 + 8 = =2*(x0^2 - 4*x0 + 4) = 2*(x0 - 2)^2. Рассмотрим теперь сами уравнения касательных. Пусть имеет место 1-й случай, когда координаты точки С удовлетворяют первому уравнению. Тогда получаем систему: -1 = y0 + k * (0-x0), -5 = y0 + k * [0-(4-x0)], или -1 = y0 - k * x0, -5 = y0 + k * (-4+x0); вычтем из второго уравнения первое, получим -4 = k * (-4+2*x0), или -2 = k * (x0 - 2). Подставляя сюда выражение для k, выражаем x0 : -2 = 2*(x0 - 2)^3, x0=1. При x0=1, получаем k=2*(1 - 2)^2 = 2, и, подставляя в систему, находим что y0=1. Теперь можно выразить все коэффициенты. b = -x0^2 + 4*x0 + 8 = 11; у0 = f(x0) = х0^3 + а*х0^2 + b*х0 + с, откуда с = у0 - (х0^3 + а*х0^2 + b*х0) = -5. Во втором случае, когда координаты точки C удовлетворяют второму уравнению, аналогично можно показать, что коэффициенты b и c остануться прежними, а координаты точки А будут уже (3;1). Этого и следовало ожидать, т.к. принадлежность точек С и D разным касательным равносильно замене координат симметричных точек А и B (т.е. когда точка В имеет координаты (x0,y0), а A соответственно (4-x0,y0) ). Таким образом получаем единственное решение задачи: a=-6, b=11, c=-5.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 29 янв. 2007 18:25 | IP
|
|
|