Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        2.3.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

Anna90



Новичок

Помогите! Нужно решить систему и перейти из полярной системы координат в декартову. Подскажите лучше не решение, а алгоритм решения:

r'=(r-1)*(4-r)
q'=1

(r - полярный радиус; q - угол)

Всего сообщений: 11 | Присоединился: сентябрь 2009 | Отправлено: 18 сен. 2009 21:30 | IP
Roman Osipov



Долгожитель

Это обыкновенные ДУ с разделяющимися переменными.
Для перевода в декартову систему координат примените уравнения связи:
x=r*cos(q)
y=r*sin(q).
Если есть вопросы, задавайте.

-----
Уникальный курс "Технологии Wolfram в действии" о Mathematica 10, Wolfram Cloud, Wolfram|ALpha, CDF и многом другом, не пропустите! Подробнее....

Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 18 сен. 2009 21:43 | IP
Roman Osipov



Долгожитель

Обсуждение прошу продолжать в теме
2.3.3 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
перенеся вопрос туда.

-----
Уникальный курс "Технологии Wolfram в действии" о Mathematica 10, Wolfram Cloud, Wolfram|ALpha, CDF и многом другом, не пропустите! Подробнее....

Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 18 сен. 2009 21:44 | IP
Anna90



Новичок

Проблема в том, что после перевода в декартову нужно построить фазовые траектории, так что по идее относительно x,y должна получиться линейная система, а она не получается. Если в первом уравнении r'=dr/dq, то во втором за q' что брать?
PS: простите, поздно заметила второе сообщение. Перехожу.

(Сообщение отредактировал Anna90 18 сен. 2009 21:49)

Всего сообщений: 11 | Присоединился: сентябрь 2009 | Отправлено: 18 сен. 2009 21:46 | IP
Njutochka27



Новичок

Помогите, пожалуйста, понять, в правильном ли направлении двигаюсь?
Найти общее решение или общий интеграл ДУ второго порядка:

y'(1+y'^2)=y''

y'=p(y)  y''=p'p

dp/(1+p^2)=dy

1/2ln|1+p^2|=y+C

lnsqrt(1+p^2)=y+C

И как отсюда выразить y?

Всего сообщений: 26 | Присоединился: сентябрь 2009 | Отправлено: 18 сен. 2009 21:57 | IP
Roman Osipov



Долгожитель

Integral[dp/(1+p^2)]=arctg(p)+C
Отсюда:
arctg(p)+C=y<=>p=tan(y+С)<=>dy/dx=tan(y+С)<=>
<=>dy/tan(y+C)=dx
Integral[dy/tan(y+C)]=ln[sin(y+С)]+С1
Отсюда:
dy/tan(y+C)=dx<=>ln[sin(y+С)]+С1=x<=>
<=>ln[sin(y+С1)]=x+C2<=>sin(y+С1)=exp[x+C2]<=>
<=>y=C1+arcsin(exp[x+C2])

И еще решение p=0<=>y'=0<=>y=C.

-----
Уникальный курс "Технологии Wolfram в действии" о Mathematica 10, Wolfram Cloud, Wolfram|ALpha, CDF и многом другом, не пропустите! Подробнее....

Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 18 сен. 2009 22:12 | IP
Njutochka27



Новичок

Ой, ну надо ж было так стормозить с интегралом! Спасибо, Roman Osipov! Тогда

x-C1=ln|sin(y-C2)|  

это общий интеграл?

Всего сообщений: 26 | Присоединился: сентябрь 2009 | Отправлено: 18 сен. 2009 22:43 | IP
Roman Osipov



Долгожитель

Да.
Но еще есть решение, о котором я написал. Вы его потеряли, т. к. поделили обе части равенства на p, потеряв таким образом решение p=0. Я написал об этом выше.

-----
Уникальный курс "Технологии Wolfram в действии" о Mathematica 10, Wolfram Cloud, Wolfram|ALpha, CDF и многом другом, не пропустите! Подробнее....

Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 18 сен. 2009 22:50 | IP
Njutochka27



Новичок

Здравствуйте! Посмотрите, пожалуйста, правильно ли я решила, или опять все напутала? Заранее огромное спасибо!

Найти общее решение или общий интеграл ДУ второго порядка

yy''+y'^2=0

y'=p(y)   y''=p'p

распадается на два

p=0, откуда y'=0 y=C

ydp/dy+p=0

dp/p=-dy/y

ln|p|=-ln|y|+lnC1

p=-C1y

dy/y=-C1dx

ln|y|=-C1x+C2

y=-exp[C1x+C2]


(Сообщение отредактировал Njutochka27 22 сен. 2009 13:09)

Всего сообщений: 26 | Присоединился: сентябрь 2009 | Отправлено: 22 сен. 2009 11:11 | IP
Trushkov


Долгожитель

Njutochka27, всё гораздо проще.

Проинтегрируем уравнение раз. Получим yy'=c1.
Проинтегрируем уравнение два. Получим y^2/2=c1x+c2.

Всего сообщений: 273 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 22 сен. 2009 11:16 | IP

Эта тема закрыта, новые ответы не принимаются

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 ]

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com