RKI 
Долгожитель
|
   
Уже решив много однотипных задач, решила привести в этой теме стандартные.
ПРИМЕР1. В первом ящике 2 красных и 5 синих папок,во втором-4 красных и 3 синих. Из первого ящика переложили 2 папки во второй,после чего из второго ящика наудачу достали одну папку.Какова вероятность того,что она красного цвета?
РЕШЕНИЕ.
A = {из второго ящика достали красную папку}
Сначала составим гипотезы
H1 = {из первого ящика достали 2 красных папки}
Всего в первом ящике 7 папок. Сколькими способами можно достать 2 папки из 7 - это C из 7 по 2
Это равно 7!/2!5! = 21
Но нас интересуют только красные папки. Сколькими способами из 2 имеющихся красных папок можно достать 2 красные папки. Только одним способом.
Тогда P(H1) = 1/21
H2 = {из первого ящика достали 2 синих папки}
Всего в первом ящике 7 папок. Сколькими способами можно достать 2 папки из 7 - это C из 7 по 2
Это равно 7!/2!5! = 21
Но нас интересуют только синие папки. Сколькими способами из 5 имеющихся синих папок можно достать 2 синие папки. Это C из 5 по 2 = 5!/2!3! = 10
Тогда P(H2) = 10/21
H3 = {из первого ящика достали 1 синию папку и 1 красную папку}
Всего в первом ящике 7 папок. Сколькими способами можно достать 2 папки из 7 - это C из 7 по 2
Это равно 7!/2!5! = 21
Из имеющихся 2 красных папок одну красную папку можно достать 2 способами. Из имеющихся 5 синих папок одну синию папку можно достать 5 способами. Тогда достать одновременно одну синию и одну красную папку можно 5*2 = 10 способами.
Тогда P(H3) = 10/21
A|H1 = {из второго ящика достали красную папку, если переложили две красные папки}
Когда переложили две красные папки во второй ящик, то во втором ящике стало 6 красных и 3 синих папки (9 папок)
Всего достать одну папку можно 9 способами. А достать одну красную папку только 6 способами
P(A|H1) = 6/9 = 2/3
A|H2 = {из второго ящика достали красную папку, если переложили две синих папки}
Когда переложили две синих папки во второй ящик, то во втором ящике стало 4 красных и 5 синих папки (9 папок)
Всего достать одну папку можно 9 способами. А достать одну красную папку только 4 способами
P(A|H2) = 4/9
A|H3 = {из второго ящика достали красную папку, если переложили одну синию и одну красную папки}
Когда переложили одну синию и одну красную папки во второй ящик, то во втором ящике стало 5 красных и 4 синих папки (9 папок)
Всего достать одну папку можно 9 способами. А достать одну красную папку только 5 способами
P(A|H3) = 5/9
По формуле полной вероятности
P(A) = P(H1)P(A|H1)+P(H2)P(A|H2)+P(H3)P(A|H3) - подставить и посчитать
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 5 нояб. 2008 14:03 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР 2. Имеем две коробки с шарами. В первой находится 4 красных и 6 черных шаров, во второй - 5 красных и 5 черных. Из первой коробки во вторую переложили два шара. Затем из второй коробки вынимают 3. шара. Вычислить вероятность того, что среди вынутых шаров хотя бы один красный.
РЕШЕНИЕ.
A = {среди вынутых шаров НЕ будет красного}
H1 = {переложили два черных шара}
H2 = {переложили два красных шара}
H3 = {переложили один черный и один красный шары}
P(H1) = 15/45
P(H2) = 6/45
P(H3) = 24/45
A|H1 = {среди вынутых шаров не будет красного, если переложили два черных шара}
Во второй урне стало 5 красных и 7 черных шаров
P(A|H1) = 35/220
A|H2 = {среди вынутых шаров не будет красного, если переложили два красных шара}
Во второй урне стало 7 красных и 5 черных шаров
P(A|H2) = 10/220
A|H3 = {среди вынутых шаров не будет красного, если переложили один черный и один красный шары}
Во второй урне стало 6 красных и 6 черных шаров
P(A|H2) = 20/220
По формуле полной вероятности
P(A) = P(H1)P(A|H1)+P(H2)P(A|H2)+P(H3)P(A|H3) - подставьте числа и посчитайте
Но Вам необходимо найти P(B), где
B = {из вынутых шаров хотя бы один красный}
P(B) = 1-P(A) - это и есть ответ
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 5 нояб. 2008 14:04 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР3. В каждой из урн содержится 2 черных и 8 белых шаров. Из первой урны наудачу извлечен 1 шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны извлечен шар. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны, окажется белым.
РЕШЕНИЕ.
A = {из второй урны достали белый шар}
H1 = {из первой урны достали белый шар}
P(H1) = 8/10
H2 = {из первой урны достали черный шар}
P(H2) = 2/10
A|H1 = {из второй урны достали белый шар при условии, что переложили белый шар}
Во второй урне стало 2 черных и 9 белых шариков
P(A|H1) = 9/11
A|H2 = {из второй урны достали белый шар при условии, что переложили черный шар}
Во второй урне стало 3 черных и 8 белых шариков
P(A|H1) = 8/11
По формуле полной вероятности
P(A) = P(H1)P(A|H1)+P(H2)P(A|H2) - подставьте числа и посчитайте, это и есть ответ
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 5 нояб. 2008 14:06 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР4.
Из корзины в которой лежит А белых и В черных шаров, вынимают шары. Найти вероятность того, что второй шар будет белый.
РЕШЕНИЕ.
A = {второй шар будет белым}
H1 = {первый шар - белый} P(H1)=A/(A+B)
H2 = {первый шар - черный} P(H2)=B/(A+B)
A|H1 = {второй шар белый при условии, что первый шар также белый}
В этом случае в урне A+B-1 шаров, из них A-1 белых и B черных
P(A|H1) = (A-1)/(A-1+B)
A|H2 = {второй шар белый при условии, что первый шар - черный}
В этом случае в урне A+B-1 шаров, из них A белых и B-1 черных
P(A|H2) = A/(A-1+B)
По формуле полной вероятности
P(A) = P(H1)P(A|H1) + P(H2)P(A|H2) - подставьте буквенные значения, приведите к общему знаменателю, приведите подобные в числители, и это будет ответ
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 5 нояб. 2008 14:07 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР5.
В коробке 18 шариков, причем 12 из них - зеленые, остальные красные. Наудачу берут один шарик и откладывают в сторону, затем вынимают еще один. Он оказался красным. Какова вероятность того, что первый шарик зеленого цвета?
РЕШЕНИЕ.
H1 = {первый шарик зеленого цвета} P(H1) = 12/18 = 2/3
H2 = {первый шарик красного цвета} P(H2) = 6/18 = 1/3
A = {второй шарик оказался красным}
A|H1 = {второй шарик красный при условии, что первый шарик - зеленый}
Вынули первый шарик, он оказался зеленым. Значит в коробке осталось 17 шариков - 11 зеленых и 6 красных
P(A|H1) = 6/17
A|H2 = {второй шарик красный при условии, что первый шарик - красный}
Вынули первый шарик, он оказался красным. Значит в коробке осталось 17 шариков - 12 зеленых и 5 красных
P(A|H1) = 5/17
По формуле полной вероятности
P(A) = P(H1)P(A|H1)+P(H2)P(A|H2) - подставьте числа и посчитайте
Но Вам надо найти P(H1|A)
H1|A = {первый шарик зеленый, если мы знаем, что второй красный}
По формуле Байеса
P(H1|A) = P(H1)P(A|H1)/P(A) - подставьте числа и посчитайте - это и будет ответ
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 5 нояб. 2008 14:08 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР 6.
Радиолампа, поставленная в телевизор, может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями 0,25; 0,25; 0,5. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов, для этих партий равны соответственно 0,8; 0,95; 0,99. Какова вероятность того, что лампа принадлежит первой партии, если известно, что она не проработала заданное число часов?
РЕШЕНИЕ.
H1 = {радиолампа принадлежит первой партии} P(H1) = 0.25
H2 = {радиолампа принадлежит второй партии} P(H2) = 0.25
H3 = {радиолампа принадлежит третьей партии} P(H3) = 0.5
A = {лампа не проработала заданное количество часов}
A|H1 = {лампа не проработала заданное количество часов при условии, что она принадлежит первой партии}
P(A|H1) = 1 - 0.8 = 0.2
A|H2 = {лампа не проработала заданное количество часов при условии, что она принадлежит второй партии}
P(A|H2) = 1 - 0.95 = 0.05
A|H3 = {лампа не проработала заданное количество часов при условии, что она принадлежит третьей партии}
P(A|H3) = 1 - 0.99 = 0.01
По формуле полной вероятности
P(A) = P(H1)P(A|H1)+P(H2)P(A|H2)+P(H3)P(A|H3) - подставьте числа и посчитайте
Но Вам необходимо найти P(H1|A)
H1|A = {лапма принадлжеит первой партии, если известно что она не проработала заданное количество часов}
По формуле Байеса
P(H1|A) = P(H1)P(A|H1)/P(A) - подставьте числа и посчитайте - это и будет ответ
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 5 нояб. 2008 14:09 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР7.
Среди преступлений 10 % составляют убийства, 25 % -кражи. Раскрывают 2 из 3 убийств, 3 из 5 краж и каждое второе преступление других видов. Определить вероятность того, что: раскрытое преступление убийство.
РЕШЕНИЕ.
={преступление раскрыто}
H1 = {преступление - убийство} P(H1)=0.1 P(A|H1) = 2/3
H2 = {преступление - кража} P(H2)=0.25 P(A|H2) = 3/5
H3 = {преступление - другие} P(H3)=0.65 P(A|H3) = 1/2
Вам надо найти P(H1|A).
По формуле полной вероятности
P(A)=P(H1)*P(A|H1)+P(H2)*P(A|H2)+P(H3)*P(A|H3) - подставить цифры и посчитать
По формуле Байеса
P(H1|A) = P(H1)*P(A|H1)/P(A) - также подставить числа и посчитать (это и будет ответ)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 5 нояб. 2008 14:16 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР8.
В первой коробке 35 радиоламп, среди них 4 нестандартные. Во второй коробке 20 радиоламп, среди них 1 нестандартная. В третьей коробке 45 радиоламп, в том числе 5 нестандартных. Из третьей коробки взяли на удачу 1 радиолампу и переложили в первую коробку. Затем из второй коробки была наудачу взята радиолампа и переложена в первую коробку. После этого из первой коробки наудачу извлекли радиолампу. Какова вероятность того, что эта лампа стандартная.
РЕШЕНИЕ.
Выдвенем гипотезы:
H(00) - переложены нестандартные лампы,
Н(10) - переложены из второй коробки стандартная а из третьей нестандартная лампы,
Н(01) - переложены из второй коробки нестандартная а из третьей стандартная лампы,
Н(11) - переложены стандартная лампы.
Пусть А - вытащили стандартную лампу из первой коробки.
Тогда по формуле полной вероятности получим
Р(А) = Р(H(00))*Р(A|H(00)) + Р(H(10))*Р(A|H(10)) + Р(H(01))*Р(A|H(01)) + Р(H(11))*Р(A|H(11)) = 1/20*5/45*31/37 +19/20*5/45*32/37+1/20*40/45*32/37+19/20*40/45*33/37
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 5 нояб. 2008 14:18 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР9.
Прибор установленый на борту самолёта, может работать в 2 режимах: в условиях нормального крейсерского полета и в условиях перегрузки при взлете и посадке. Крейсерский режим полета занимает 80% всего времени полета,в условиях прегрузки - 20%. Вероятность отказа прбора за время крейсерского полета равна 0,1, в условиях перегрузки-0,4:
А)Найдите надежность(вероятность безупречной работи) прибора во время полета;
Б)Во время полета прибор отказал. Найдите верояность того , что полет проходил: 1) в крейсерском режиме; 2)в условиях прегрузки.
РЕШЕНИЕ.
Распишем гипотезы
H1 = {крейсерский полет} P(H1) = 0.8
H2 = {условия перегрузки} P(H2) = 0.2
A = {отказ прибора} P(A|H1) = 0.1 P(A|H2) = 0.4
1) B = {безупречная работа}
P(B) = 1 - P(A)
по формуле полной вероятности
P(A) = P(H1)P(A|H1) + P(H2)P(A|H2)
вам осталось просто подставить числа и посчитать P(B)
2) Вам надо найти P(H1|A) и P(H2|A)
Это формулы Байеса
P(H1|A) = P(H1)P(A|H1)/P(A)
P(H2|A) = P(H2)P(A|H2)/P(A)
Также осталось просто подставить числа и посчитать
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 5 нояб. 2008 14:19 | IP
|
|
Roman Osipov
Долгожитель
|
   
Блестяще, надеюсь поток однотипных вопросов по теории вероятности уменьшится, хотя, думаю, очень слабо.
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 5 нояб. 2008 15:17 | IP
|
|
|
Форум
2.6.2 Теория вероятностей в примерах
