Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        2.6.2 Теория вероятностей в примерах
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

RKI



Долгожитель

ПРИМЕР 573 (см. пример 566, 568)
Средние ежедневные расходы на покупку канцелярских принадлежностей для офиса банка составляют 1 000 рублей, а среднее квадратичное отклонение этой случайной величины не превышает 200 рублей. Оценить вероятность того, что расходы на канцелярские принадлежности в любой наугад выбранный день не превысят 2 000 рублей, используя:
а) неравенство Маркова;
б) неравенство Чебышёва.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X - ежедневные расходы на покупку канцелярских принадлежностей.
Известно, что M(X) = 1000, б(X) = 200.

а) P(X <= 2000) = 1 - P(X > 2000) >= 1 - M(X)/2000 =
= 1 - 1000/2000 = 1 - 0.5 = 0.5

P(X <= 2000) >= 0.5

б) D(X) = (б(X))^2 = 40000

P(X <= 2000) = P(0 <= X <= 2000) =
= P(0 - M(X) <= X - M(X) <= 2000) =
= P(0 - 1000 <= X - M(X) <= 2000 - 1000) =
= P(-1000 <= X - M(X) <= 1000) = P(|X - M(X)| <= 1000) =
= 1 - P(|X - M(X)| > 1000) >= 1 - D(X)/1000000 =
= 1 - 40000/1000000 = 1 - 0.04 = 0.96

P(X <= 2000) >= 0.96

Таким образом, неравенство Чебышева дает более точную оценку.

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 1 сен. 2009 10:45 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР 574
По статистическим данным в среднем 87% новорождённых доживают до 50 лет (то есть вероятность дожития до 50 лет равна 0,87). С помощью неравенства Чебышёва оценить вероятность того, что из 1 000 новорождённых доля (относительная частота) доживших до 50 лет будет отличаться от вероятности не более, чем на 0,04 (по модулю).
РЕШЕНИЕ.
Пусть случайная величина X - число новорожденных детей, доживших до 50 лет. Данная случайная величина имеет распределение Бернулли с параметрами n = 1000 и p = 0.87: X ~ B(1000; 0.87).

M(X) = np = 1000*(0.87) = 870
D(X) = np(1-p) = 1000*(0.87)*(0.13) = 113.1

P(|X/n - 0.87| <= 0.04) = P(|X/1000 - 0.87| <= 0.04) =
= P(|X - 870| <= 40) = P(|X - M(X)| <= 40) =
= 1 - P(|X - M(X)| > 40) > 1 - D(X)/1600 = 1 - (113.1)/1600 =
= 1 - 0.0706875 = 0.9293125

P(|X/n - 0.87| <= 0.04) >= 0.9293125

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 1 сен. 2009 10:58 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР 575
Доказать неравенство Йенсена. Пусть функция g(.) выпукла. Тогда для любой случайной величины X с конечным первым моментом верно неравенство:
M(g(X)) >= g(M(X)).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Известно следующее свойство. Пусть функция g(.) выпукла. Тогда для всякого y найдется число c такое, что при всех x:
g(x) >= g(y) + c(x - y).
Это свойство означает, что график выпуклой функции лежит полностью выше любой из касательных к этому графику.

Положим x = X, y = M(X). Тогда
g(X) >= g(M(X)) + c(X - M(X)).

Вычислим математическое ожидание обеих частей.
С левой стороны неравенства получаем M(g(X)).
С правой стороны неравенства получаем
M(g(M(X)) + c(X - M(X))) = M(g(M(X))) + M(c(X - M(X))) =
= g(M(X)) + cM(X - M(X)) = g(M(X)) + c(M(X) - M(M(X))) =
= g(M(X)) + c(M(X) - M(X)) = g(M(X)) + 0 = g(M(X)).

Неравенство между математическими ожиданиями сохраняется. Следовательно,
M(g(X)) >= M(g(M(X)) + c(X - M(X)))
M(g(X)) >= g(M(X)).

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 1 сен. 2009 11:12 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР 576
Пусть X - положительная случайная величина с конечным первым моментом. Доказать, что 1/M(X) <= M(1/X).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Рассмотрим функцию g(x) = 1/x на промежутке (0;+бесконечность). На данном промежутке функция g(x) является выпуклой.

Воспользуемся неравенством Йенсена (пример 575):
M(g(X)) >= g(M(X))
M(1/X) >= 1/M(X)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 1 сен. 2009 11:20 | IP
lolth3


Новичок

всем привет.
ребята, как скинуть сюда отсканированую задачу?
кто знает, подскажите, как и через какой интернет-ресурс это проделывается...

Всего сообщений: 4 | Присоединился: январь 2010 | Отправлено: 31 янв. 2010 0:25 | IP
VF



Administrator


Цитата: lolth3 написал 31 янв. 2010 2:25
всем привет.
ребята, как скинуть сюда отсканированую задачу?
кто знает, подскажите, как и через какой интернет-ресурс это проделывается...


Я обычно пользуюсь http://imageshack.us/

Всего сообщений: 3109 | Присоединился: май 2002 | Отправлено: 1 фев. 2010 10:08 | IP
Vladimir87


Новичок

Пожалуйста помогите решить

1) Два специалиста ОТК проверяют качество выпускаемых изделий, причем каждое изделие с одинаковой вероятностью может быть проверено любым из них. Вероятность выявления дефекта первым специалистом равна 0,8, а вторым — 0,9. Из массы проверенных изделий наугад выбирается одно. Оно оказалось с дефектом. Какова вероятность того, что ошибку допустил второй контролер?

2)Вероятность поражения мишени при одном выстреле первым стрелком 0,8, вторым – 0,9. Найти вероятность того, что оба стрелка поразят мишень.

Всего сообщений: 3 | Присоединился: февраль 2010 | Отправлено: 7 фев. 2010 15:17 | IP
Reshalka



Новичок

1) По формуле Байеса
P(A2/A)=P(A/A2)*P(A2)/P(A)
P(A)=P(A/A1)*P(A1)+P(A/A2)*P(A2)
где А-не выявления дефекта
А2-не выявления дефекта вторым специалистом P(A2)=0.2
P(A/A2)=P(A/A1)=0.5
P(A)=0.5*0.1+0.5*0.2=0.15
P(A2/A=0.2*0.5/0.15=2/3
ответ 2/3

2) P(A)=P(A1)*P(A2)=0.8*0.9=0.72  события независимые


(Сообщение отредактировал Reshalka 7 фев. 2010 14:57)

-----
Помочь ¬значить дать толчок для последующего движения, но не постоянно же толкать ленивого. Поверь в свои способности и не остановись.

Всего сообщений: 15 | Присоединился: февраль 2010 | Отправлено: 7 фев. 2010 15:50 | IP
RKI



Долгожитель

Существует тема
http://exir.ru/cgi-bin/ikonboard/topic.cgi?forum=7&topic=2890&start=270

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 7 фев. 2010 15:51 | IP
Reshalka



Новичок

Ой извините, мы немного подпортили вашу тему. Замечательно придумали. Столько задач перерешено, и многие не простые. Приятно удивлён.

Всего сообщений: 15 | Присоединился: февраль 2010 | Отправлено: 7 фев. 2010 16:13 | IP

Эта тема закрыта, новые ответы не принимаются

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 ]

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com