Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        2.6.2 Теория вероятностей в примерах
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

RKI



Долгожитель

ПРИМЕР77.
Монету подбрасывают до тех пор, пока герб не выпадет второй раз, при этом делают не более четырех проб. Найти распределение вероятностей числа подбрасываний.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X - число подбрасываний до второго выпадения герба. Данная случайная величина может принимать следующие значения
{X=2} - герб выпал первый и второй раз
{X=3} - герб выпал в один из первых двух опытов и в третьем опыте
{X=4} - герб выпал в один из трех опытов и в четвертом опыте ИЛИ герб выпал только в четвертом опыте ИЛИ герб не выпал вообще ИЛИ герб выпал в одном из трех опытов, а в четвертом опыте выпала решка

P(X=2) = (1/2)*(1/2) = 1/4
P(X=3) = C(1;2)*(1/2)*(1/2)*(1/2) = 2*(1/8) = 1/4
P(X=4) = C(1;3)*(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2) +
+ (1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2) + (1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2) +
+ C(1;3)*(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2) =
= 3/16 + 1/16 + 1/16 + 3/16 = 8/16 = 1/2

Закон распределения случайной величины X имеет вид
X   2      3      4
P  1/4   1/4   1/2

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 19 янв. 2009 17:51 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР78.
Среди пяти ключей два подходят к двери. Ключи пробуют один за другим, пока не откроют дверь. Найти распределение вероятностей для числа опробованных ключей.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X - число опробованных ключей. Данная случайная величина может принимать следующие значения
{X=1} - первый ключ подошёл
{X=2} - первый ключ не подошёл, второй ключ подошёл
{X=3} - первый и второй ключи не подошли, третий ключ подошёл
{X=4} - первые три ключа не подошли, четвёртый ключ подошёл

P(X=1) = 2/5 = 0.4
P(X=2) = (3/5)*(2/4) = 3/10 = 0.3
P(X=3) = (3/5)*(2/4)*(2/3) = 1/5 = 0.2
P(X=4) = (3/5)*(2/4)*(1/3)*(2/2) = 1/10 = 0.1

Закон распределения случайной величины X имеет вид
X   1      2      3      4
P   0.4   0.3   0.2   0.1

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 19 янв. 2009 18:09 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР79.
Докажите, что для случайной величины X, паспределенной по закону Пуассона с параметром a(лямбда), математическое ожидание M(X)=a, а дисперсия D(X)=a.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Распределение Пуассона
X=m, m=0,1,2,...
P(X=m) = (a^m)*e^(-a)/m!, m=0,1,2,...

M(X) = sum_{m=0}^{00} m*(a^m)*e^(-a)/m! =
= e^(-a)*sum_{m=1}^{00} m*(a^m)/m! =
= e^(-a)*sum_{m=1}^{00} (a^m)/(m-1)! =
= e^(-a)*sum_{m=1}^{00} a*(a^(m-1))/(m-1)! =
= e^(-a)*a*sum_{m=1}^{00} (a^(m-1))/(m-1)! =
= e^(-a)*a*sum_{n=0}^{00} (a^n)/n! =
= e^(-a)*a*e^(a) = a
M(X) = a

M(X^2) =  sum_{m=0}^{00} (m^2)*(a^m)*e^(-a)/m! =
= e^(-a)*sum_{m=1}^{00} (m^2)*(a^m)/m! =
= e^(-a)*sum_{m=1}^{00} m*(a^m)/(m-1)! =
= e^(-a)*sum_{m=1}^{00} (m-1+1)*(a^m)/(m-1)! =
= e^(-a)*sum_{m=1}^{00}[(m-1)*(a^m)/(m-1)! + (a^m)/(m-1)!]= e^(-a)*sum_{m=1}^{00} (m-1)*(a^m)/(m-1)! +
+ e^(-a)*sum_{m=1}^{00} (a^m)/(m-1)! =
= e^(-a)*sum_{m=2}^{00} (m-1)*(a^m)/(m-1)! +
+ e^(-a)*sum_{m=1}^{00} (a^m)/(m-1)! =
= e^(-a)*sum_{m=2}^{00} (a^m)/(m-2)! +
+ e^(-a)*sum_{m=1}^{00} (a^m)/(m-1)! =
= e^(-a)*sum_{m=2}^{00} (a^2)*(a^(m-2))/(m-2)! +
+ e^(-a)*sum_{m=1}^{00} a*(a^(m-1))/(m-1)! =
= e^(-a)*(a^2)*sum_{m=2}^{00} (a^(m-2))/(m-2)! +
+ e^(-a)*a*sum_{m=1}^{00} (a^(m-1))/(m-1)! =
= e^(-a)*(a^2)*sum_{n=0}^{00} (a^n)/n! +
+ e^(-a)*a*sum_{m=k}^{00} (a^k)/k! =
= e^(-a)*(a^2)*e^a + e^(-a)*a*e^a = a^2 + a

D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = a^2 + a - a^2 = a
D(X) = a

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 19 янв. 2009 18:44 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР80.
Докажите, что для случайной величины X, распределенной по закону Бернулли с параметрами n и p, математическое ожидание M(X)=np, D(X)=np(1-p).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
X - случайная величина, распределённая по закону Бернулли с параметрами n и p.
X=m, m=0,1,2,...,n
P(X=m) = C(m;n)*(p^m)*((1-p)^(n-m))

Представим случайную величину X в виде
X = X1 + X2 + ... + Xn, где Xi=0 в случае неудачи в i-том испытании (вероятность p) и Xi=1 - в случае удачи (вероятность 1-p).

M(Xi) = 0*(1-p) + 1*p = p
M(X) = M(X1 + X2 + ... + Xn) = M(X1) + M(X2) + ... + M(Xn) =
= p + p + ... + p = np
M(X) = np

M((Xi)^2) = 0*(1-p) + 1*p = p
D(Xi) = M((Xi)^2) - (M(Xi))^2 = p - p^2 = p(1-p)
D(X) = D(X1 + X2 + ... + Xn) = D(X1) + D(X2) + ... + D(Xn) =
= p(1-p) + p(1-p) + ... + p(1-p) = np(1-p)
D(X) = np(1-p)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 19 янв. 2009 19:14 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР81.
Докажите, что для случайной величины X, распределенной по геометрическому закону с параметром p, математическое ожидание M(X)=1/p, а дисперсия D(X)=(1-p)/p^2.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
X - случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром p.
X=m, m=1,2,...
P(X=m) = p(1-p)^(m-1)

M(X) = sum_{m=1}^{00} mp(1-p)^(m-1) =
= p*sum_{m=1}^{00} m(1-p)^(m-1) =
= -p*sum_{m=0}^{00} ((1-p)^m)' =
= -p*(sum_{m=0}^{00} (1-p)^m)' =
= -p*(1/(1-1+p))' =
= -p*(1/p)' = (-p)*(-1/p^2) = 1/p
M(X) = 1/p

M(X^2) = sum_{m=1}^{00} (m^2)*p(1-p)^(m-1) =
= p*sum_{m=1}^{00} (m^2)*(1-p)^(m-1) =
= p*sum_{m=1}^{00} m*m*(1-p)^(m-1) =
= p*sum_{m=1}^{00} m*(m-1+1)*(1-p)^(m-1) =
= p*sum_{m=1}^{00} m*(m-1)*(1-p)^(m-1) +
+ p*sum_{m=1}^{00} m*(1-p)^(m-1) =
= p*(1-p)*sum_{m=2}^{00} m*(m-1)*(1-p)^(m-2) +
+ p*sum_{m=1}^{00} m*(1-p)^(m-1) =
= p*(1-p)*sum_{m=0}^{00} ((1-p)^m)'' -
- p*sum_{m=0}^{00} ((1-p)^m)' =
= p*(1-p)*(sum_{m=0}^{00} (1-p)^m )'' -
- p*(sum_{m=0}^{00} (1-p)^m )' =
= p*(1-p)*(1/(1-1+p))'' - p*(1/(1-1+p))' =
= p(1-p)*(1/p)'' - p*(1/p)' =
= p(1-p)*(2/p^3) + p*(1/p^2) =
= (2-p)/p^2

D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 =
= (2-p)/p^2 - (1/p^2) = (1-p)/p^2
D(X) = (1-p)/p^2

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 янв. 2009 11:17 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР82.
К контролёру с конвейера поступили 4 детали. Вероятность брака для каждой детали равна 0,1. Детали проверяют одну за другой, пока не наберут две доброкачественные. Найти распределение вероятностей для числа проверенных деталей.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X - число проверенных деталей.
Данная случайная величина принимает следующие значения
{X=2} - первая и вторая деаль доброкачественные
{X=3} - одна из первых двух и третья детали доброкачественные
{X=4} - все четыре детали бракованные ИЛИ одна из первых трех деталей доброкачественная, а четвертая деталь - бракованная или доброкачественная ИЛИ первые три детали бракованные, а четвертая деталь - качественная.

P(X=2) = (0.9)*(0.9) = 0.81
P(X=3) = C(1;2)*(0.1)*(0.9)*(0.9) = 0.162
P(X=4) = (0.1)^4 + C(1;3)*(0.9)*(0.1)*(0.1)*(0.1 + 0.9) +
+ (0.9)*(0.1)^3 =
= 0.0001 + 0.027 + 0.0009 = 0.028

Ряд распределения случайной величины X имеет вид
X   2         3         4
P   0.81   0.162   0.028

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 янв. 2009 11:27 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР83.
На станцию обслуживания заявки поступают случайно в соответствии с распределением Пуассона при a=2. Мощность станции позволяет обслуживать не более двух заявок за единицу времени. Найти вероятность того, что в течение данной единицы времени:
а) станция не справится с потоком заказов и образуется очередь;
б) станция обслуживания будет простаивать или работать не на полную мощность;
в) на станции обслуживания очередь не образуется.
РЕШЕНИЕ.
a=2

a) P(m>2) = 1 - P(m<=2) =
= 1 - P(m=0) - P(m=1) - P(m=2) =
= 1 - ((2^0)/0!)*e^(-2) - ((2^1)/1!)*e^(-2) - ((2^2)/2!)*e^(-2) =
= 1 - e^(-2) - 2e^(-2) - 2e^(-2) =
= 1 - 5e^(-2) = 0.3233

б) P(m=0) + P(m=1) =
= ((2^0)/0!)*e^(-2) + ((2^1)/1!)*e^(-2) =
= e^(-2) + 2e^(-2) = 3e^(-2) = 0.4060

в) P(m=0) + P(m=1) + P(m=2) =
= ((2^0)/0!)*e^(-2) + ((2^1)/1!)*e^(-2) + ((2^2)/2!)*e^(-2) =
= e^(-2) + 2e^(-2) + 2e^(-2) = 5e^(-2) = 0.6767

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 янв. 2009 11:38 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР84.
В процессе производства изделие высшего качества удается получить только с вероятностью 0,2. С конвейера наугад берут детали до тех пор, пока не будет отобрано изделие высшего качества. Найти математическое ожидание числа проверенных деталей.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X  - число проверенных деталей
X=m, m=1,2,3,...
P(X=m) = p(1-p)^(m-1)
p=0.2
Случайная величина X распределена по геометрическому закону с параметром p=0.2.
M(X) = 1/(0.2) = 5 (см. пример 81).


(Сообщение отредактировал RKI 20 янв. 2009 11:51)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 янв. 2009 11:43 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР85.
Сдача экзамена по математике производится до получения положительного результата. Шансы сдать экзамен остаются неизменными и составляют 20%. Найти математическое ожидание числа попыток сдачи экзамена.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X  - число попыток сдачи экзамена.
X=m, m=1,2,3,...
P(X=m) = p(1-p)^(m-1)
p=0.2
Случайная величина X распределена по геометрическому закону с параметром p=0.2.
M(X) = 1/(0.2) = 5 (см. пример 81).

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 янв. 2009 11:50 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР86.
В шестиламповом радиоприемнике перегорела одна лампа. Лампы заменяют одну за другой, пока приёмник не заработает. Найти математическое ожидание и дисперсию числа замененных ламп.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X - число замененных ламп.
Данная случайная величина может принимать следующие значения
{X=1} - заменили перегоревшую лампу
{X=2} - заменили работающую и перегоревшую лампы
{X=3} - заменили две работающих и перегоревшую лампы
{X=4} - заменили три работающих и перегоревшую лампы
{X=5} - заменили четыре реботающих и одну перегоревшую лампы
{X=6} - заменили все работающие и перегоревшую лампы

P(X=1) = 1/6
P(X=2) = (5/6)*(1/5) = 1/6
P(X=3) = (5/6)*(4/5)*(1/4) = 1/6
P(X=4) = (5/6)*(4/5)*(3/4)*(1/3) = 1/6
P(X=5) = (5/6)*(4/5)*(3/4)*(2/3)*(1/2) = 1/6
P(X=6) = (5/6)*(4/5)*(3/4)*(2/3)*(1/2)*(1/1) = 1/6

Ряд распределения случайной величины X имеет вид
X    1      2      3       4      5      6
P   1/6   1/6   1/6   1/6   1/6   1/6

M(X) = 1*(1/6) + 2*(1/6) + 3*(1/6) + 4*(1/6) + 5*(1/6) + 6*(1/6) = (1/6)*(1+2+3+4+5+6) = 21/6 = 7/2

M(X^2) = (1/6)*(1+4+9+16+25+36) = 91/6
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = (91/6) - (49/4) =
= (364-294)/24 = 70/24 = 35/12

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 янв. 2009 12:06 | IP

Эта тема закрыта, новые ответы не принимаются

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 ]

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com