RKI 
Долгожитель
|
   
ПРИМЕР67.
Три стрелка с вероятностями попадания в цель при отдельном выстреле 0,7, 0,8 и 0,9 соответственно делают по одному выстрелу. Найти распределение вероятностей для общего числа попаданий.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X - общее число попаданий.
Данная случайная величина может принимать следующие значения:
{X=0} - ни одного попадания
{X=1} - только одно попадание
{X=2} - два попадания
{X=3} - три попадания
P(X=0) = (0.3)*(0.2)*(0.1) = 0.006
P(X=1) = (0.7)*(0.2)*(0.1) + (0.3)*(0.8)*(0.1) + (0.3)*(0.2)*(0.9) = 0.014 + 0.024 + 0.054 = 0.092
P(X=2) = (0.7)*(0.8)*(0.1) + (0.7)*(0.2)*(0.9) + (0.3)*(0.8)*(0.9) = 0.056 + 0.126 + 0.216 = 0.398
P(X=3) = (0.7)*(0.8)*(0.9) = 0.504
Закон распределения случайной величины X имеет вид
X 0 1 2 3
P 0.006 0.092 0.398 0.504
(Сообщение отредактировал RKI 18 янв. 2009 11:20)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 16 янв. 2009 15:39 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР68.
Вероятность того, что лотерейный билет окажется выигрышеым, равна 0,1. Покупатель купил 5 билетов. Найти распределение вероятностей для числа выигрышей у владельца этих пяти билетов.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X - число выигрышей. Данная случайная величина может принимать следующие значения
{X=0} - нет выигрышей
{X=1} - только один выигрыш
{X=2} - два выигрыша
{X=3} - три выигрыша
{X=4} - четыре выигрыша
{X=5} - пять выигрышей
P(X=0) = (0.9)^5 = 0.59049
P(X=1) = C(1;5)*(0.1)*(0.9)^4 = 0.32805
P(X=2) = C(2;5)*(0.1)^2*(0.9)^3 = 0.0729
P(X=3) = C(3;5)*(0.1)^3*(0.9)^2 = 0.0081
P(X=4) = C(4;5)*(0.1)^4*(0.9) = 0.00045
P(X=5) = (0.1)^5 = 0.00001
Закон распределения случайной величины X имеет вид
X 0 1 2 3 4 5
P 0.59049 0.32805 0.0729 0.0081 0.00045 0.00001
(Сообщение отредактировал RKI 18 янв. 2009 11:22)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 16 янв. 2009 15:49 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР69.
Стрелок поражает мишень с вероятностью 0,7 при одном выстреле. Он стреляет до первого попадания, но делает не более трех выстрелов. Найти распределение вероятностей для числа выстрелов.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X - число выстрелов. Данная случайная величина может принимать следующие значения
{X=1} - стрелок сделал один выстрел и попал
{X=2} - стрелок сделал два выстрела: первый раз промахнулся и второй раз попал
{X=3} - стрелок сделал три выстрела: два раза промахнулся и в третий раз попал ИЛИ промахнулся три раза
P(X=1) = 0.7
P(X=2) = (0.3)*(0.7) = 0.21
P(X=3) = (0.3)*(0.3)*(0.7) + (0.3)*(0.3)*(0.3) = 0.09
Закон распределения случайной величины X имеет вид:
X 1 2 3
P 0.7 0.21 0.09
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 16 янв. 2009 16:12 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР70.
Два станка выпускают деталь с вероятностями брака 0,01 и 0,05 соответственно. В выборке одна деталь выпущена первым станком и две вторым станком. Найти закон распределения для числа бракованных деталей в выборке.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X - число бракованных деталей в выборке. Данная случайная величина может принимать следующие значения
{X=0} - все детали качественные
{X=1} - одна деталь бракованная и две качественные
{X=2} - две детали бракованные и одна качественная
{X=3} - все три детали бракованные
P(X=0) = (0.99)*(0.95)*(0.95) = 0.893475
P(X=1) = (0.01)*(0.95)*(0.95) + (0.99)*(0.05)*(0.95) +
+ (0.99)*(0.95)*(0.05) = 0.103075
P(X=2) = (0.01)*(0.05)*(0.95) + (0.01)*(0.95)*(0.05) +
+ (0.99)*(0.05)*(0.05) = 0.003425
P(X=3) = (0.01)*(0.05)*(0.05) = 0.000025
Закон распределения случайной величины X имеет вид
X 0 1 2 3
P 0.893475 0.103075 0.003425 0.000025
(Сообщение отредактировал RKI 18 янв. 2009 11:22)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 18 янв. 2009 9:25 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР71.
Прибор комплектуется из двух деталей, вероятность брака для первой - 0,1, для второй - 0,05. Выбрано 4 прибора. Прибор считается бракованным, если в нем есть хотя бы одна бракованная деталь. Построить закон распредедления для числа бракованных приборов среди выбранных четырех приборов.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X - чило бракованных приборов среди выбранных четырех приборов.
Данная случайная величина может принимать следующие значения
{X=0} - все приборы качественные
{X=1} - один прибор бракованный и три качественных
{X=2} - два прибора бракованные и два качественных
{X=3} - три прибора бракованных и один качественный
{X=4} - все четыре прибора бракованные
A = {прибор качественный}
P(A) = (0.9)*(0.95) = 0.855
p = 0.855 - вероятность того, что прибор качественный
q = 1 - 0.855 = 0.145 - вероятность того, что прибор бракованный
P(X=0) = (0.855)^4 = 0.534397550625
P(X=1) = C(1;4)*(0.145)*(0.855)^3 = 0.3625152975
P(X=2) = C(2;4)*(0.145)^2*(0.855)^2 = 0.09221880375
P(X=3) = C(3;4)*(0.145)^3*(0.855) = 0.0104262975
P(X=4) = (0.145)^4 = 0.000442050625
Закон распределения случайной величины X имеет вид
X 0 1 2 3 4
P P(X=0) P(X=1) P(X=2) P(X=3) P(X=4)
(Сообщение отредактировал RKI 18 янв. 2009 11:24)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 18 янв. 2009 9:43 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР72.
Два стрелка поражают мишень с вероятностью 0,8 и 0,9 соответственно (при одном выстреле). Найти распределение вероятностей для общего числа попаданий в мишень, если первый стрелок выстрелил один раз, а второй - дважды.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X - общее число попаданий в мишень. Данная случайная величина может принимать следующие значения
{X=0} - три промаха
{X=1} - одно попадание и два промаха
{X=2} - два попадания и один промах
{X=3} - три попадания
P(X=0) = (0.2)*(0.1)*(0.1) = 0.002
P(X=1) = (0.8)*(0.1)*(0.1) + (0.2)*(0.9)*(0.1) + (0.2)*(0.1)*(0.9) = 0.044
P(X=2) = (0.8)*(0.9)*(0.1) + (0.8)*(0.1)*(0.9) + (0.2)*(0.9)*(0.9) = 0.306
P(X=3) = (0.8)*(0.9)*(0.9) = 0.648
Закон рапределения случайной величины X имеет вид
X 0 1 2 3
P 0.002 0.044 0.306 0.648
(Сообщение отредактировал RKI 18 янв. 2009 11:24)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 18 янв. 2009 11:13 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР73.
Каждая из пяти лампочек имеет дефект с вероятностью 0,1. Дефектная лампочка при включении сразу перегорает, и её заменяют новой. Построить закон распределения для числа испробованных ламп.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X - число испробованных ламп. Данная случайная величина может принимать следующие значения
{X=1} - первая лампочка не перегорела
{X=2} - первая лампочка не перегорела, вторая лампочка перегорела
{X=3} - первая и вторая лампочки не перегорели, третья лампочка перегорела
{X=4} - первая, вторая и третья лампочка перегорели, четвертая лампочка перегорела
{X=5} - первая, вторая, третья и четвертая лампочка перегорели, пятая лампочка или перегорела или не перегорела
P(X=1) = 0.9
P(X=2) = (0.1)*(0.9) = 0.09
P(X=3) = (0.1)*(0.1)*(0.9) = 0.009
P(X=4) = (0.1)*(0.1)*(0.1)*(0.9) = 0.0009
P(X=5) = (0.1)*(0.1)*(0.1)*(0.1)*(0.1+0.9) = 0.0001
Закон распределения случайной величины X имеет вид
X 1 2 3 4 5
P 0.9 0.09 0.009 0.0009 0.0001
(Сообщение отредактировал RKI 18 янв. 2009 11:49)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 18 янв. 2009 11:23 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР74.
В связке из трех ключей только один подходитк двери. Ключи перебирают до тех пор, пока не отыщут подходящий ключ. Построить закон распределения для случайной величины X - числа опробованных ключей. Построить функцию распределения.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X - число опробованных ключей.
Данная случайная величина может принимать следующие значения
{X=1} - первый ключ подошел
{X=2} - первый ключ не подошел, второй ключ подошел
{X=3} - первые два ключа не подошли, третий ключ подошел.
P(X=1) = 1/3
P(X=2) = (2/3)*(1/2) = 1/3
P(X=3) = (2/3)*(1/2)*1 = 1/3
Закон распределения случайной величины X имеет вид
X 1 2 3
P 1/3 1/3 1/3
Функцияраспределения случайной величины X имеет вид
{0, x<1
F(x) = {1/3; 1<=x<2
{2/3; 2<=x<3;
{1; x>=3
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 19 янв. 2009 14:01 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР75.
Закон распределения случайной величины X имеет вид
X 0 1 2 3
P 1/8 3/8 3/8 1/8
Найти функцию распределения случайной величины X, вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение. Вычислите вероятность
P(-1<X<1.5).
РЕШЕНИЕ.
Функция распределения случайной величины X имеет вид
{0, x<0
{1/8, 0<=X<1
F(x) = {1/2, 1<=X<2
{7/8, 2<=X<3
{1, X>=3
M(X) = 0*(1/8) + 1*(3/8) + 2*(3/8) + 3*(1/8) = 12/8 = 3/2
M(X^2) = 0*(1/8) + 1*(3/8) + 4*(3/8) + 9*(1/8) = 24/8 = 3
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 9 - 9/4 = 27/4
б(X) = sqrt(D(X)) = 3sqrt(3)/2
P(-1<X<1.5) = P(X=0) + P(X=1) = 1/8 + 3/8 = 4/8 = 1/2
(Сообщение отредактировал RKI 19 янв. 2009 17:34)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 19 янв. 2009 17:18 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР76.
Закон распределения случайной величины X имеет вид
X -1 2 3 5
P 1/4 1/2 1/8 1/8
Найти функцию распределения случайной величины X, вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение. Вычислить вероятность
P(2.5<X<5).
РЕШЕНИЕ.
Функция распределения случайной величины X имеет вид
{0, x<-1
{1/4, -1<=x<2
F(x) = {3/4, 2<=<x<3
{7/8, 3<=x<5
{1, x>=5
M(X) = (-1)*(1/4) + 2*(1/2) + 3*(1/8) + 5*(1/8) = 14/8 = 7/4
M(X^2) = 1*(1/4) + 4*(1/2) + 9*(1/8) + 25*(1/8) = 52/8 = 13/2
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 13/2 - 49/16 = 55/16
б(X) = sqrt(D(X)) = sqrt(55)/4
P(2.5<X<5) = P(X=3) = 1/8
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 19 янв. 2009 17:34 | IP
|
|
|
Форум
2.6.2 Теория вероятностей в примерах
