Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        2.6.2 Теория вероятностей в примерах
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

RKI



Долгожитель

ПРИМЕР96.
Функция плотности непрерывной случайной величины имет вид
f(x) = {Cx^2, 0<=x<=2
         {0, x<0, x>2
Определить константу C, построить функцию распределения
F(x), вычислить вероятность P(-1<=X<=1). Вычислить математическое ожидание и дисперсию.

РЕШЕНИЕ.
Константа C находится из условия
int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x)dx = 1.

1 = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{0}^{2} Cx^2 dx = Cx^3/3 |_{0}^{2} =
= 8C/3  =>  C=3/8

f(x) = {(3/8)*x^2, 0<=x<=2
         {0, x<0, x>2
---------------------------------------------------------------------
F(x) = P(X<x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt

Если x<0, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{x} 0 dt = 0

Если 0<=x<=2, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{0} f(t)dt + int_{0}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{0} 0 dt + int_{0}^{x} (3/8)t^2dt =
= 0 + (1/8)t^3 |_{0}^{x} = (x^3)/8

Если x>2, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{0} f(t)dt + int_{0}^{2} f(t)dt +
+ int_{2}^{x} f(t)dt  =
= int_{-бесконечность}^{0} 0 dt + int_{0}^{2} (3/8)t^2dt +
+ int_{2}^{x} 0 dt =
= 0 + (1/8)t^3 |_{0}^{2} + 0 = 1

Функция распределения имеет вид
          {0, x<0
F(x) = {(x^3)/8, 0<=x<=2
          {1, x>2
-----------------------------------------------------------------------------
P(-1<=X<=1) = F(1) - F(-1) = 1/8 - 0 = 1/8
-----------------------------------------------------------------------------
M(X) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xf(x)dx =
= int_{0}^{2} (3/8)x^3 = (3/32)(x^4) |_{0}^{2} =
= (3/32)*16 = 3/2

M(X^2) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} (x^2)f(x)dx = int_{0}^{2} (3/8)x^4 = (3/40)(x^5) |_{0}^{2} =
= (3/40)*32 = 12/5

D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = (12/5) - (9/4) = 3/20
 




Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 21 янв. 2009 14:14 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР97.
Пусть задана случайная величина X, распределенная по закону N(1;4). Ввчислить вероятность P(0<X<3).
РЕШЕНИЕ.
N(1;4)  =>  a=1; б=2
P(0<X<3) = Ф((3-1)/2) - Ф((0-1)/2) = Ф(1) - Ф(-0.5) =
= Ф(1) + Ф(0.5) = 0.3413 + 0.1915 = 0.5328

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 21 янв. 2009 14:19 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР98.
Случайная величина X распределена по закону Коши
f(x) = a/(1+x^2). Найти:
а) коэффициент a;
б) функцию распределения;
в) вероятность попадания на интервал (-1;1).
Показать, что математического ожидания X не существует.
РЕШЕНИЕ.
а) 1 = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{+бесконечность} a*dx/(1+x^2) =
= a*int_{-бесконечность}^{+бесконечность} dx/(1+x^2) =
= a*arctgx |_{-бесконечность}^{+бесконечность} =
= a*( lim{x->+бесконечность} arctgx -
- lim{x->-бесконечность} arctgx ) =
= a*( П/2 + П/2) = a*П   =>   a = 1/П

f(x) = 1/П(1+x^2)

б) F(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{x} dt/П(1+t^2) =
= (1/П)*int_{-бесконечность}^{x} dt/(1+t^2) =
= (1/П)*arctg t |_{-бесконечность}^{x} =
= (1/П)*arctgx - (1/П)*lim{t->-бесконечность} arctg t =
= (1/П)*arctgx + (1/П)*(П/2) =
= (1/П)*arctgx + 1/2

в) P(-1<X<1) = F(1) - F(-1) =
= (1/П)*arctg(1) + 1/2 - (1/П)*arctg(-1) - 1/2 =
= (1/П)*(П/4) + (1/П)*(П/4) = (1/4) + (1/4) = 1/2

M(X) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xf(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xdx/П(1+x^2) =
= (1/П)*int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xdx/(1+x^2)
= (1/П)*(1/2)*ln(1+x^2) |_{-бесконечность}^{+бесконечность} = бесконечность


(Сообщение отредактировал RKI 21 янв. 2009 16:17)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 21 янв. 2009 16:16 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР99.
Случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами a и б^2. Показать, что величина (X-a)/б нормально распределена с параметрами 0 и 1.
РЕШЕНИЕ.
X~N(a;б^2)
Плотность распределения случайной величины X имеет вид:
f(x) = (1/бsqrt(2П))*e^(-((x-a)^2)/2б^2)

Y = (X-a)/б
F(y) = P(Y<y) = P((X-a)/б < y) = P(X<a+бy) =
= int_{-бесконечность}^{a+бy} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{a+бy} (1/бsqrt(2П))*e^(-((x-a)^2)/2б^2) dt =
Сделаем замену t=a+бz
= int_{-бесконечность}^{y} (1/бsqrt(2П))*e^(-(z^2)/2) бdz =
= int_{-бесконечность}^{y} (1/sqrt(2П))*e^(-(z^2)/2) dz =
= (1/sqrt(2П))*int_{-бесконечность}^{y} e^(-(z^2)/2) dz

F(y) = (1/sqrt(2П))*int_{-бесконечность}^{y} e^(-(z^2)/2) dz - функция распределения случайной величины Y

f(y) = (1/sqrt(2П))*e^(-(y^2)/2) - плотность распределения случайной величины Y

Y~N(0;1)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 21 янв. 2009 18:25 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР100.
Случайная величина X подчинена закону Симпсона на отрезке [-a;a]. Найти M(X) и D(X).
РЕШЕНИЕ.
Плотность распределения случайной величины X имеет вид
         {0, x<-a
f(x) = {x+a, -a<=x<0
        {a-x, 0<=x<=a
        {0, x>a

M(X) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xf(x) dx =

= int_{-бесконечность}^{-a} xf(x) dx + int_{-a}^{0} xf(x) dx +
+ int_{0}^{a} xf(x) dx + int_{a}^{+бесконечность} xf(x) dx =

= int_{-бесконечность}^{-a} x*0 dx +
+ int_{-a}^{0} x(x+a) dx + int_{0}^{a} x(a-x) dx +
+ int_{a}^{+бесконечность} x*0 dx =

= 0+ int_{-a}^{0} (x^2 +ax)dx + int_{0}^{a} (ax-x^2)dx +0 =
= ((x^3)/3 + (ax^2)/2) |_{-a}^{0} +
+ ((ax^2)/2 - (x^3)/3) |_{0}^{a} =
= (a^3)/3 - (a^3)/2 + (a^3)/2 - (a^3)/3 = 0

M(X) = 0

M(X^2) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} (x^2)f(x)dx

= int_{-a}^{0} (x^2)(x+a)dx + int_{0}^{a} (x^2)(a-x)dx =

= int_{-a}^{0} (x^3+ax^2)dx + int_{0}^{a} (ax^2-x^3)dx =

= ((x^4)/4 + (ax^3)/3) |_{-a}^{0} +
+ ((ax^3)/3 - (x^4)/4) |_{0}^{a} =

= -(a^4)/4 + (a^4)/3 + (a^4)/3 - (a^4)/4 =

= (2a^4)/12 = (a^4)/6

D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = (a^4)/6 - 0 = (a^4)/6
D(X) = (a^4)/6

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 21 янв. 2009 18:41 | IP
Skavyy



Новичок



(Сообщение отредактировал Skavyy 21 янв. 2009 19:41)

Всего сообщений: 9 | Присоединился: январь 2009 | Отправлено: 21 янв. 2009 19:25 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР101.
Плотность распределения случайной величины имеет вид
f(x) = {C(x+1), -1<=x<=2
         {0, x<-1, x>2
Вычислить константу C, функцию распределения F(x), M(X) и вероятность P(X^2 <1).
РЕШЕНИЕ.
1 = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x)dx =

= int_{-бесконечность}^{-1} f(x)dx + int_{-1}^{2} f(x)dx +
+ int_{2}^{+бесконечность} f(x)dx =

= int_{-бесконечность}^{-1} 0*dx +
+ int_{-1}^{2} C(x+1)dx +
+ int_{2}^{+бесконечность} 0*dx =

= 0 + C*int_{-1}^{2} (x+1)dx + 0 =

= (C(x+1)^2)/2 |_{-1}^{2} = 9C/2

1 = 9C/2   =>   C = 2/9

f(x) = {2(x+1)/9, -1<=x<=2
         {0, x<-1, x>2
-----------------------------------------------------------------------------
F(x) = P(X<x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt

Если x<-1, то F(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{x} 0*dt = 0

Если -1<=x<=2, то F(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{-1} f(t)dt + int_{-1}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{-1} 0*dt +
+ int_{-1}^{x} 2(t+1)dt/9 =
= 0 + (2/9)*int_{-1}^{x} (t+1)dt =
= (2/9)*((t+1)^2)/2 |_{-1}^{x} =
= (1/9)*(t+1)^2 |_{-1}^{x} = ((x+1)^2)/9

Если x>2, то F(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{-1} f(t)dt + int_{-1}^{2} f(t)dt +
+ int_{2}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{-1} 0*dt +
+ int_{-1}^{2} 2(t+1)dt/9 + int_{2}^{x} 0*dt =
= 0 + (2/9)*int_{-1}^{2} (t+1)dt + 0 =
= (2/9)*((t+1)^2)/2 |_{-1}^{2} =
= (1/9)*(t+1)^2 |_{-1}^{2} = 1

F(x) = {0, x<-1
         {((x+1)^2)/9, -1<=x<=2
         {1, x>2
----------------------------------------------------------------------------
M(X) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xf(x)dx =

= int_{-бесконечность}^{-1} xf(x)dx + int_{-1}^{2} xf(x)dx +
+ int_{2}^{+бесконечность} xf(x)dx =

= int_{-бесконечность}^{-1} x*0 dx +
+ int_{-1}^{2} 2x(x+1)dx/9 +
+ int_{2}^{+бесконечность} x*0 dx =

= 0 + (2/9)*int_{-1}^{2} (x^2 + x)dx + 0 =

= (2/9)*( (x^3)/3 + (x^2)/2 ) |_{-1}^{2} =

= (2/9)*(8/3 + 2 +1/3 - 1/2) = (2/9)*(9/2) = 1

M(X) = 1
------------------------------------------------------------------------
M(X^2) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} (x^2)f(x)dx
= int_{-1}^{2} (2/9)*(x^2)*(x+1)dx =
= (2/9)*int_{-1}^{2} (x^3 + x^2)dx =
= (2/9)*((x^4)/4 + (x^3)/3) |_{-1}^{2} =
= (2/9)*(4 + 8/3 - 1/4 + 1/3) = (2/9)*(27/4) = 3/2

D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 3/2 - 1 = 1/2
----------------------------------------------------------------------------
P(X^2<1) = P(-1<X<1) = F(1) - F(-1) = 4/9 - 0 = 4/9


(Сообщение отредактировал RKI 22 янв. 2009 13:13)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 22 янв. 2009 13:01 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР102.
Случайная величина равномерно распределена на отрезке [2;6]. Выписать плотность распределения. Найти функцию распределения. Найти вероятность попадания случайной величины на отрезок [2;5] и на отрезок [5;7].
РЕШЕНИЕ.
Плотность распределения случайной величины X:
f(x) = {1/4, 2<=x<=6
         {0, x<2, x>6

F(x) = P(X<x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt

Если x<2, то F(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{x} 0*dt = 0

Если 2<=x<=6, то F(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{2} f(t)dt + int_{2}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{2} 0*dt + int_{2}^{x} dt/4 =
= 0 + (1/4)*int_{2}^{x} dt = (x-2)/4

Если x>6, то F(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{2} f(t)dt +
+ int_{2}^{6} f(t)dt + int_{6}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{2} 0*dt +
+ int_{2}^{6} (dt/4) + int_{6}^{x} 0*dt =
= 0 + (1/4)*int_{2}^{6} dt + 0 = (6-2)/4 = 1

Функция распределения случайной величины X:
F(x) = {0, x<2
          {(x-2)/4, 2<=x<=6
          {1, x>6

P(2<=X<=5) = F(5) - F(2) = 3/4 - 0 = 3/4
P(5<=X<=7) = F(7) - F(5) = 1 - 3/4 = 1/4

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 22 янв. 2009 13:12 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР103.
Случайные величины X1, X2, ..., Xn распределены и независимы и имеют одинаковую функцию плотности распределения:
f(x) = {ae^(-ax), x>0
         {0, x<=0
Найти функция распределения и плотность распределения величин:
а) Y1 = min{X1, X2, ..., Xn}
б) Y2 = max{X1, X2, ..., Xn}

РЕШЕНИЕ.
fi(x) = {ae^(-ax), x>0
         {0, x<=0

P(Xi<x) = int_{-бесконечность}^{x} fi(t)dt

Если x<=0, то P(Xi<x) = int_{-бесконечность}^{x} fi(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{x} 0*dt = 0

Если x>0, то P(Xi<x) = int_{-бесконечность}^{x} fi(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{0} fi(t)dt + int_{0}^{x} fi(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{0} 0*dt + int_{0}^{x} ae^(-at) dt =
= 0 + a*int_{0}^{x} e^(-at) dt =
= a*(-1/a)*e^(-at) |_{0}^{x} =
= -e^(-at) |_{0}^{x} =
= -(e^(-ax)-1) = 1-e^(-ax)

P(Xi>=x) = 1 - P(Xi<x)

Если x<=0, то P(Xi>=x) = 1-0 = 1
Если x>0, то P(Xi>=x) = 1 - 1 + e^(-ax) = e^(-ax)

а) Y1 = min{X1, X2, ..., Xn}
F(y) = P(Y1<y) = 1 - P(Y1>=y) = 1 - P(min{X1, X2, ..., Xn}>=y) =
= 1 - P(X1>=y, X2>=y, ..., Xn>=y) =
случайные величины X1, X2, ..., Xn независимы
= 1 - P(X1>=y)*P(X2>=y)*...*P(Xn>=y)

Если y<=0, то F(y) = 1-1 = 0
Если y>0, то F(y) = 1 - (e^(-ay))*(e^(-ay))*...*(e^(-ay)) =
= 1 - e^(-nay)

Функция распределения случайной величины Y1:
F(y) = {0, y<=0
          {1-e^(-nay), y>0

Плотность распределения случайной величины Y1:
g(y) = {0, y<=0
          {nae^(-nay), y>0

б) Y2 = max{X1, X2, ..., Xn}
F(z) = P(Y2<z) = P(max{X1, X2, ..., Xn}<z) =
= P(X1<z, X2<z, ..., Xn<z) =
случайные величины X1, X2, ..., Xn независимы
= P(X1<z)*P(X2<z)*...*P(Xn<z)

Если z<=0, то F(z) = 0
Если z>0, то F(z) = (1-e^(-az))*(1-e^(-az))*...*(1-e^(-az)) =
= (1-e^(-az))^n

Функция распределения случайной величины Y2:
F(z) = {0, z<=0
         { (1-e^(-az)), z>0

Плотность распределения случайной величины Y2:
h(z) = {0, z<=0
          {na(e^(-az))(1-e^(-az))^(n-1), z>0  



(Сообщение отредактировал RKI 22 янв. 2009 13:57)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 22 янв. 2009 13:36 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР104.
Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [0;2]. Найти плотность случайной величины Y=-sqrt(X+1).
РЕШЕНИЕ.
Пусть заданы плотность f(x) случайной величины X и монотонная дифференцируемая функция y=Ф(x). Тогда плотность распределения случайной величины Y=Ф(X) равна
g(y) = f(Ф^(-1)(y))*|dФ^(-1)(y)/dy|. Здесь Ф^(-1)(y) - функция, обратная функции y=Ф(x).
------------------------------------------------------------------------------
Из условия задачи следует, что
f(x) = {0, x<0, x>2
         {1/2, 0<=x<=2
Функция y=-sqrt(x+1) является монотонной и дифференцируемой функцией на отрезке [0;2] и имеет обратную функцию x=Ф^(-1)(y) = y^2 - 1, производная которой равна dФ^(-1)(y)/dy = 2y.
Следовательно,
g(y) = f(Ф^(-1)(y))*|dФ^(-1)(y)/dy| =
= f(y^2 - 1)*|2y| =
= 2*|y|*{0, y^2-1<0, y^2-1>2
             {1/2, 0<=y^2-1<=2
Значит,
g(y) = {0, y<-sqrt(3), y>-1
          {-y, -sqrt(3)<=y<=-1

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 22 янв. 2009 13:56 | IP

Эта тема закрыта, новые ответы не принимаются

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 ]

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com