RKI 
Долгожитель
|
   
ПРИМЕР131.
Найти распределение суммы независимых случайных величин X и Y, где X имеет равномерное на отрезке [0;1] распределение, а Y имеет показательное распределение с параметром a.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [0;1]. Следовательно, плотность распределения случайной величины X имеет вид:
f(x) = {1, 0<=x<=1
{0, x<0, x>1
Случайная величина Y имеет показательное распределение с параметром a. Следовательно, плотность распределения случайной величины Y имеет вид:
g(y) = {a*(e^(-ay)), y>=0
{0, y<0
Плотность распределения суммы X+Y вычисляется по формуле свертки:
h(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x-y)g(y)dy =
= int_{-бесконечность}^{0} f(x-y)g(y)dy +
+ int_{0}^{+бесконечность} f(x-y)g(y)dy =
= int_{-бесконечность}^{0} f(x-y)*0*dy +
+ int_{0}^{+бесконечность} f(x-y)*a*(e^(-ay))dy =
= int_{0}^{+бесконечность} f(x-y)*a*(e^(-ay))dy =
сделаем замену z=x-y
= int_{x}^{-бесконечность} f(z)*a*(e^(az-ax))*(-dz) =
= int_{-бесконечность}^{x} f(z)*a*(e^(az-ax))*dz
Если x<0, то
h(x) = int_{-бесконечность}^{x} 0*a*(e^(az-ax))*dz = 0
Если 0<=x<=1, то
h(x) = int_{-бесконечность}^{0} f(z)*a*(e^(az-ax))*dz +
+ int_{0}^{x} f(z)*a*(e^(az-ax))*dz =
= int_{-бесконечность}^{0} 0*a*(e^(az-ax))*dz +
+ int_{0}^{x} 1*a*(e^(az-ax))*dz =
= int_{0}^{x} a*(e^(az))*(e^(-ax))dz =
= (e^(-ax))*(e^(az)) |_{0}^{x} =
= (e^(-ax))*((e^(ax)) - 1) = 1 - e^(-ax)
Если x>1, то
h(x) = int_{-бесконечность}^{0} f(z)*a*(e^(az-ax))*dz +
+ int_{0}^{1} f(z)*a*(e^(az-ax))*dz +
+ int_{1}^{x} f(z)*a*(e^(az-ax))*dz =
= int_{-бесконечность}^{0} 0*a*(e^(az-ax))*dz +
+ int_{0}^{1} 1*a*(e^(az-ax))*dz +
+ int_{1}^{x} 0*a*(e^(az-ax))*dz =
= int_{0}^{1} a*(e^(az))*(e^(-ax))dz =
= (e^(-ax))*(e^(az)) |_{0}^{1} =
= (e^(-ax))*((e^(a)) - 1)
Плотность распределения суммы двух случайных величин X и Y имеет вид:
h(x) = {0, x<0
{1 - e^(-ax), 0<=x<=1
{(e^(-ax))*((e^(a)) - 1), x>1
F(x) = P(X+Y<x) = int_{-бесконечность}^{x} h(t)dt
Если x<0, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{x} 0*dt = 0
Если 0<=x<=1, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{0} h(t)dt + int_{0}^{x} h(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{0} 0*dt +
+ int_{0}^{x} (1 - e^(-at)) dt =
= int_{0}^{x} (1 - e^(-at)) dt =
= t + (1/a)(e^(-at)) |_{0}^{x} =
= x + (1/a)(e^(-ax)) - 0 - (1/a) = x + (1/a)(e^(-ax)) - (1/a)
Если x>1, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{0} h(t)dt + int_{0}^{1} h(t)dt +
+ int_{1}^{x} h(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{0} 0*dt +
+ int_{0}^{1} (1 - e^(-at)) dt +
+ int_{1}^{x} (e^(-at))*((e^(a)) - 1) dt =
= int_{0}^{1} (1 - e^(-at)) dt +
+ (e^(a) - 1) * int_{1}^{x} (e^(-at)) dt =
= t + (1/a)(e^(-at)) |_{0}^{1} +
+ (-1/a)*(e^(a) - 1)*(e^(-at)) |_{1}^{x} =
= 1 + (1/a)(e^(-a)) - 0 - (1/a) + (-1/a)*(e^(a) - 1)*(e^(-ax)) -
- (-1/a)*(e^(a) - 1)*(e^(-a)) =
= 1 + (1/a)(e^(-a)) - (1/a) - (1/a)(e^(a))(e^(-ax)) +
+ (1/a)(e^(-ax)) + (1/a) - (1/a)(e^(-a)) =
= 1 - (1/a)(e^(a))(e^(-ax)) + (1/a)(e^(-ax)) =
= 1 - (1/a)(e^(-ax))((e^(a)) - 1)
Функция распределения суммы случайных величин X и Y имеет вид:
F(x) = {0, x<0
{x + (1/a)(e^(-ax)) - (1/a), 0<=x<=1
{1 - (1/a)(e^(-ax))((e^(a)) - 1), x>1
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 29 янв. 2009 14:54 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР132.
Показать, что если X имеет непрерывную функцию распределения F(x) = P(X<x), то случайная величина Y=F(X) имеет равномерное распределение на отрезке [0;1].
РЕШЕНИЕ.
F(x) = P(X<x) - функция распределения случайной величины X
Функция распределения обладает следующими свойствами:
1) для любого x из R справедливо неравенство 0<=F(x)<=1
2) функция распределения является неубывающей функцией
По условию задачи функция распределения y=F(x) является непрерывной. По второму свойству функция распределения y=F(x) является неубывающей. Из данных двух предложений следует, что существует обратная функция F^(-1)(y) к исходной функции распределения F(x).
F(y) = P(Y<y) = P(F(X)<y)
Если y<=0, то по первому свойству F(y) = 0.
Если 0<y<=1, то
F(y) = P(F(X)<y) = P( X < F^(-1)(y) ) = F( F^(-1)(y) ) = y
Если y>1, то по первому свойству F(y) = 1.
F(y) = {0, y<=0
{y, 0<y<=1
{1, y>1
f(y) = {0, y<=0, y>1
{1, 0<y<=1 - равномерное распределение
на отрезке [0;1]
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 29 янв. 2009 17:35 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР133.
Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [0;1]. Найти плотность распределения случайной величины
Y = tg(П(X-1/2)).
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [0;1]. Следовательно, плотность распределения случайной величины X имеет вид:
f(x) = {1, 0<=x<=1
{0, x<0, x>1
Y = tg(П(X-1/2))
y = tg(П(x-1/2)) = tg(Пx - П/2) = -ctg(Пx)
Y = -ctg(ПX)
F(y) = P(Y<y) = P( -ctg(ПX) < y) =
= ... + int_{-2}^{(1/П)arcctg(-y)-2} f(x)dx +
+ int_{-1}^{(1/П)arcctg(-y)-1} f(x)dx +
+ int_{0}^{(1/П)arcctg(-y)} f(x)dx +
+ int_{1}^{(1/П)arcctg(-y)+1} f(x)dx + ... =
= ... + int_{-2}^{(1/П)arcctg(-y)-2} 0*dx +
+ int_{-1}^{(1/П)arcctg(-y)-1} 0*dx +
+ int_{0}^{(1/П)arcctg(-y)} 1*dx +
+ int_{1}^{(1/П)arcctg(-y)+1} 0*dx + ... =
= ... + 0 + 0 + int_{0}^{(1/П)arcctg(-y)} dx + 0 + ... =
= (1/П)arcctg(-y) - 0 = (1/П)arcctg(-y) = (1/П)(П - arcctgy) =
= 1 - (1/П)arcctgy
F(y) = 1 - (1/П)arcctgy
f(y) = 1/(П(1+(y^2))) - распределение Коши
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 29 янв. 2009 19:06 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР134.
Найти P( |X-M(X)| < 3sqrt(D(X)) ), если X имеет:
а) нормальное распределение с параметрами a и (б^2);
б) показательное распределение с параметром a;
в) равномерное распределение на отрезке [-1;1].
РЕШЕНИЕ.
а) Параметры нормального распределения суть математическое ожидание M(X)=a и дисперсия D(X)=(б^2).
P( |X-M(X)| < 3sqrt(D(X)) ) = P( |X-a| < 3б ) =
= P( -3б < X-a < 3б ) = P( a-3б < X < a+3б ) =
= Ф((a+3б-a)/б) - Ф((a-3б-a)/б) = Ф(3) - Ф(-3) =
= 2Ф(3) = 2*(0.49865) = 0.9973
б) Плотность распределения случайной величины X имеет вид:
f(x) = {a*(e^(-ax)), x>=0
{0, x<0
Математическое ожидание и дисперсия равны M(X)=1/a,
D(X) = 1/(a^2).
P( |X-M(X)| < 3sqrt(D(X)) ) = P( |X-(1/a)| < (3/a) ) =
= P( -(3/a) < X-(1/a) < (3/a) ) = P( -(2/a) < X < (4/a) ) =
= int_{-2/a}^{4/a} f(x)dx =
= int_{-2/a}^{0} f(x)dx + int_{0}^{4/a} f(x)dx =
= int_{-2/a}^{0} 0*dx + int_{0}^{4/a} a*(e^(-ax)) dx =
= 0 + a*int_{0}^{4/a} (e^(-ax)) dx =
= -(e^(-ax)) |_{0}^{4/a} = -( (e^(-4)) - 1) =
= 1 - (e^(-4)) = 0.98168...
в) Плотность распределения случайной величины X имеет вид:
f(x) = {1/2, -1<=x<=1
{0, x<-1, x>1
Математическое ожидание равно M(X) = (-1+1)/2 = 0.
Дисперсия равна D(X) = ((1+1)^2)/12 = 4/12 = 1/3
P( |X-M(X)| < 3sqrt(D(X)) ) = P( |X|<sqrt(3) ) =
= P( -sqrt(3) < X < sqrt(3) ) = int_{-sqrt(3)}^{sqrt(3)} f(x)dx =
= int_{-sqrt(3)}^{-1} f(x)dx + int_{-1}^{1} f(x)dx +
+ int_{1}^{sqrt(3)} f(x)dx =
= int_{-sqrt(3)}^{-1} 0*dx + int_{-1}^{1} (1/2)dx +
+ int_{1}^{sqrt(3)} 0*dx =
= 0 + (1/2)*int_{-1}^{1} dx + 0 = (1/2)*(1+1) = 1
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 29 янв. 2009 19:23 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР135.
Совместная плотность двух случайных величин X и Y равна
f(x,y) = {4(e^(2y)), y<=0, x<=0, y<=x
{0, в остальных случаях
Найти плотности X, Y. Исследовать вопрос о зависимости X и Y.
РЕШЕНИЕ.
Совместная плотность двух случайных величин X и Y равна
f(x,y) = {4(e^(2y)), y<=0, x<=0, y<=x
{0, в остальных случаях
Частная плотность случайной величины X имеет вид
g(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x,y)dy
Если x>0, то
g(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} 0*dy = 0
Если x<=0, то
g(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(x,y)dy =
= int_{-бесконечность}^{x} 4(e^(2y))dy =
= 2(e^(2y)) |_{-бесконечность}^{x} =
= 2(e^(2x)) - lim{y->-бесконечность} 2(e^(2y)) =
= 2(e^(2x)) - 0 = 2(e^(2x))
g(x) = {0, x>0
{2(e^(2x)), x<=0
Частная плотность случайной величины Y имеет вид
h(y) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x,y)dx
Если y>0, то
h(y) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} 0*dx = 0
Если y<=0, то
h(y) = int_{y}^{0} f(x,y)dx = int_{y}^{0} 4(e^(2y))dx =
= 4(e^(2y))*int_{y}^{0} dx = 4(e^(2y))*(0-y) =
= -4y(e^(2y))
h(y) = {0, y>0
{-4y(e^(2y)), y<=0
f(x,y) =/= g(x)*h(y) Следовательно, случайные величины X и Y зависимы.
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 29 янв. 2009 19:38 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР136.
Двумерная случайная величина (X;Y) равномерно распределена в квадрате с вершинами (2;0), (0;2), (-2;0),
(0;-2). Найти значение совместной функции распределения в точке (1;-1).
РЕШЕНИЕ.
Обозначим K - квадрат с вершинами (2;0), (0;2), (-2;0), (0;-2).
K = {(x,y): |x|+|y| <= 2}
S(K) = 2sqrt(2)*2sqrt(2) = 8
Совместная функция распределения случайных величин X, Y имеет вид:
f(x,y) = {1/S(K), (x,y) из K
{0, (x,y) не из K
f(x,y) = {1/8, |x|+|y| <= 2
{0, |x|+|y| > 2
(1;-1): |1|+|-1| = 2
f(1;-1) = 1/8
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 29 янв. 2009 19:59 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР137.
Случайные величины X и Y независимы и равномерно распределены на отрезках [0;4] и [1;2] соответственно. Вычислить функцию и плотность суммы X+Y.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [0;4]. Следовательно, плотность распределения случайной величины X имеет вид:
f(x) = {1/4, 0<=x<=4
{0, x<0, x>4
Случайная величина Y равномерно распределена на отрезке [1;2]. Следовательно, плотность распределения случайной величины Y имеет вид:
g(y) = {1, 1<=y<=2
{0, y<1, y>2
Плотность случайной величины X+Y вычисляется по формуле свертки:
h(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x-y)g(y)dy =
= int_{-бесконечность}^{1} f(x-y)g(y)dy +
+ int_{1}^{2} f(x-y)g(y)dy +
+ int_{2}^{+бесконечность} f(x-y)g(y)dy =
= int_{-бесконечность}^{1} f(x-y)*0*dy +
+ int_{1}^{2} f(x-y)*1*dy +
+ int_{2}^{+бесконечность} f(x-y)*0*dy =
= int_{1}^{2} f(x-y)dy =
сделаем замену z=x-y
= int_{x-1}^{x-2} f(z)*(-dx) = int_{x-2}^{x-1} f(z)dz
Если x<1 (=> x-2 < -1; x-1 < 0), то
h(x) = int_{x-2}^{x-1} 0*dz = 0
Если 1<=x<2 (=> -1 <= x-2 < 0; 0 <= x-1 < 1), то
h(x) = int_{x-2}^{0} f(z)dz + int_{0}^{x-1} f(z)dz =
= int_{x-2}^{0} 0*dz + int_{0}^{x-1} (1/4)dz =
= 0 + (1/4)*int_{0}^{x-1} = (x-1)/4
Если 2<=x<5 (=> 0 <= x-2 < 3; 1 <= x-1 < 4), то
h(x) = int_{x-2}^{x-1} f(z)dz = int_{x-2}^{x-1} (1/4)dz =
= (1/4)*int_{x-2}^{x-1} dz = (1/4)*(x-1-x+2) = 1/4
Если 5<=x<6 (=> 3 <= x-2 < 4; 4 <= x-1 < 5), то
h(x) = int_{x-2}^{4} f(z)dz + int_{4}^{x-1} f(z)dz =
= int_{x-2}^{4} (1/4)dz + int_{4}^{x-1} 0*dz =
= (1/4)*int_{x-2}^{4} dz + 0 = (1/4)*(4-x+2) = (6-x)/4
Если x>=6 (=> x-2 >= 4; x-1 >= 5), то
h(x) = int_{x-2}^{x-1} f(z)dz = int_{x-2}^{x-1} 0*dz = 0
h(x) = {0, x<1, x>=6
{(x-1)/4, 1<=x<2 - плотность распределения
{1/4, 2<=x<5 суммы X+Y
{(6-x)/4, 5<=x<6
F(x) = P(X+Y<x) = int_{-бесконечность}^{x} h(t)dt
Если x<1, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{x} 0*dt = 0
Если 1<=x<2, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{1} h(t)dt + int_{1}^{x} h(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{1} 0*dt + int_{1}^{x} (1/4)(t-1)dt =
= 0 + (1/4)*int_{1}^{x} (t-1)dt = (1/4)*((t^2)/2 - t) |_{1}^{x} =
= (1/4)*((x^2)/2 - x + 1/2) = (1/8)*((x^2) - 2x + 1) =
= (1/8)*((x-1)^2)
Если 2<=x<5, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{1} h(t)dt + int_{1}^{2} h(t)dt +
+ int_{2}^{x} h(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{1} 0*dt + int_{1}^{2} (1/4)(t-1)dt +
+ int_{2}^{x} (1/4)dt =
= 0 + (1/4)*int_{1}^{2} (t-1)dt + (1/4)*int_{2}^{x} dt =
= (1/4)*((t^2)/2 - t) |_{1}^{2} + (1/4)*(x-2) =
= (1/4)*(0 + 1/2) + (1/4)*(x-2) = (1/4)*(1/2 + x - 2) =
= (1/4)*(x - 3/2) = (1/8)*(2x-3)
Если 5<=x<6, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{1} h(t)dt + int_{1}^{2} h(t)dt +
+ int_{2}^{5} h(t)dt + int_{5}^{x} h(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{1} 0*dt + int_{1}^{2} (1/4)(t-1)dt +
+ int_{2}^{5} (1/4)dt + int_{5}^{x} (1/4)(6-t)dt =
= 0 + (1/4)*int_{1}^{2} (t-1)dt + (1/4)*int_{2}^{5} dt +
+ (1/4)*int_{5}^{x} (6-t)dt =
= (1/4)*((t^2)/2 - t) |_{1}^{2} + (1/4)*(5-2) +
+ (1/4)*(6t - (t^2)/2) |_{5}^{x} =
= (1/4)*(0 + 1/2) + (3/4) + (1/4)*(6x - (x^2)/2 - 35/2) =
= (7/8) + (1/8)*(12x - (x^2) - 35) =
= (1/8)*(12x - (x^2) - 28)
Если x>=6, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{1} h(t)dt + int_{1}^{2} h(t)dt +
+ int_{2}^{5} h(t)dt + int_{5}^{6} h(t)dt +
+ int_{6}^{x} h(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{1} 0*dt + int_{1}^{2} (1/4)(t-1)dt +
+ int_{2}^{5} (1/4)dt + int_{5}^{6} (1/4)(6-t)dt +
+ int_{6}^{x} 0*dt =
= 0 + (1/4)*int_{1}^{2} (t-1)dt + (1/4)*int_{2}^{5} dt +
+ (1/4)*int_{5}^{6} (6-t)dt + 0 =
= (1/4)*((t^2)/2 - t) |_{1}^{2} + (1/4)*(5-2) +
+ (1/4)*(6t - (t^2)/2) |_{5}^{6} =
= (1/4)*(1/2) + (3/4) + (1/4)*(18 - 35/2) =
= (1/8) + (3/4) + (1/8) = 1
Функция распределения суммы X+Y:
F(x) = {0, x<1
{(1/8)*((x-1)^2), 1<=x<2
{(1/8)*(2x-3), 2<=x<5
{(1/8)*(12x - (x^2) - 28), 5<=x<6
{1, x>=6
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 30 янв. 2009 12:41 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
(Сообщение отредактировал RKI 21 янв. 2010 15:34)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 30 янв. 2009 13:04 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР139.
Случайная пара (X,Y) равномерно распределена внутри полукруга K = {(x,y): ((x-1)^2) + (y^2) <= 1, y>=0}. Найти плотности X и Y, исследовать вопрос об их зависимости.
РЕШЕНИЕ.
K = {(x,y): ((x-1)^2) + (y^2) <= 1, y>=0}
S(K) = П/2
Совместная плотность распределения случайных величин X и Y равна:
f(x,y) = {1/S(K), (x,y) из K
{0, (x,y) не из K
f(x,y) = {2/П, (x,y) из K
{0, (x,y) не из K
--------------------------------------------------------------
g(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x,y)dy
Если x<0, x>2, то
g(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} 0*dy = 0
Если 0<=x<=2, то
g(x) = int_{-бесконечность}^{0} f(x,y)dy +
+ int_{0}^{sqrt(1 - ((x-1)^2))} f(x,y)dy +
+ int_{sqrt(1 - ((x-1)^2))}^{+бесконечность} f(x,y)dy =
= int_{-бесконечность}^{0} 0*dy +
+ int_{0}^{sqrt(1 - ((x-1)^2))} (2/П)*dy +
+ int_{sqrt(1 - ((x-1)^2))}^{+бесконечность} 0*dy =
= 0 + (2/П)*int_{0}^{sqrt(1 - ((x-1)^2))} dy + 0 =
= (2/П)*sqrt(1 - ((x-1)^2))
Частная плотность распределения случайной величины X равна:
g(x) = {(2/П)*sqrt(1 - ((x-1)^2)), 0<=x<=2
{0, x<0, x>2
----------------------------------------------------------------
h(y) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x,y)dx
Если y<0, y>1, то
h(y) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} 0*dx = 0
Если 0<=y<=1, то
h(y) = int_{_бесконечность}^{1-sqrt(1-(y^2))} f(x,y)dx +
+ int_{1-sqrt(1-(y^2))}^{1+sqrt(1-(y^2))} f(x,y)dx +
+ int_{1+sqrt(1+(y^2))}^{+бесконечность} f(x,y)dx =
= int_{_бесконечность}^{1-sqrt(1-(y^2))} 0*dx +
+ int_{1-sqrt(1-(y^2))}^{1+sqrt(1-(y^2))} (2/П)dx +
+ int_{1+sqrt(1+(y^2))}^{+бесконечность} 0*dx =
= 0 + (2/П)* int_{1-sqrt(1-(y^2))}^{1+sqrt(1-(y^2))} dx + 0 =
= (4/П)*sqrt(1-(y^2))
Частная плотность распределения случайной величины Y равна:
h(y) = {0, y<0, y>1
{(4/П)*sqrt(1-(y^2)), 0<=y<=1
------------------------------------------------------------------
f(x,y) =/= g(x)*h(y) => случайные величины X и Y зависимы
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 30 янв. 2009 13:59 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР140.
Совместное распределение X, Y является равномерным в квадрате K = {(x,y): |x|+|y| <= 2}. Найти вероятность
P(1/2<=X<=1, 1/2<=Y<=1). Являются ли X и Y независимыми?
РЕШЕНИЕ.
K = {(x,y): |x|+|y| <= 2}
S(K) = 2sqrt(2)*2sqrt(2) = 8
Совместная плотность распределения случайных величин X и Y равна:
f(x,y) = {1/S(K), (x,y) из K
{0, (x,y) не из K
f(x,y) = {1/8, (x,y) из K
{0, (x,y) не из K
B = {1/2<=x<=1, 1/2<=y<=1} - квадрат со стороной 1/2
S(B) = (1/2)*(1/2) = 1/4
Пересечение B и K - множество B
P(1/2<=X<=1, 1/2<=Y<=1) = P((X,Y) из B) =
= int int_{B} f(x,y)dxdy = int int_{B} (1/8)dxdy =
= (1/8)*int int_{B} dxdy = (1/8)*S(B) = (1/8)*(1/4) = 1/32
------------------------------------------------------------------------
g(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x,y)dy
Если x<-2, x>2, то
g(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} 0*dy = 0
Если -2<=x<=2, то
g(x) = int_{-бесконечность}^{|x|-2} f(x,y)dy +
+ int_{|x|-2}^{2-|x|} f(x,y)dy +
+ int_{2-|x|}^{+бесконечность} f(x,y)dy =
= int_{-бесконечность}^{|x|-2} 0*dy +
+ int_{|x|-2}^{2-|x|} (1/8)*dy +
+ int_{2-|x|}^{+бесконечность} 0*dy =
= 0 + (1/8)*int_{|x|-2}^{2-|x|} dy + 0 =
= (1/8)*(2-|x|-|x|+2) = (2-|x|)/4
Частная плотность распределения случайной величины X равна:
g(x) = {0, x<-2, x>2
{(2-|x|)/4, -2<=x<=2
h(y) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x,y)dx
Если y<-2, y>2, то
h(y) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} 0*dx = 0
Если -2<=y<=2, то
h(y) = int_{-бесконечность}^{|y|-2} f(x,y)dx +
+ int_{|y|-2}^{2-|y|} f(x,y)dx +
+ int_{2-|y|}^{+бесконечность} f(x,y)dx =
= int_{-бесконечность}^{|y|-2} 0*dx +
+ int_{|y|-2}^{2-|y|} (1/8)*dx +
+ int_{2-|y|}^{+бесконечность} 0*dx =
= 0 + (1/8)*int_{|y|-2}^{2-|y|} dx + 0 =
= (1/8)*(2-|y|-|y|+2) = (2-|y|)/4
Частная плотность распределения случайной величины Y равна:
h(y) = {0, x<-2, x>2
{(2-|y|)/4, -2<=x<=2
f(x,y) =/= g(x)*h(y) => случайные величины X и Y зависимы
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 30 янв. 2009 14:51 | IP
|
|
|
Форум
2.6.2 Теория вероятностей в примерах
