Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        2.6.2 Теория вероятностей в примерах
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

RKI



Долгожитель

ПРИМЕР87.
Случайная величина X имеет математическое ожидание a и дисперсию (d^2). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y=(X-a)/d.
РЕШЕНИЕ.
M(X) = a
D(X) = d^2

M(Y) = M((X-a)/d) = (1/d)*M(X-a) = (1/d)*(M(X)-M(a)) =
= (1/d)*(a-a) = (1/d)*0 = 0
M(Y) = 0

D(Y) = D((X-a)/d) = (1/d^2)*D(X-a) = (1/d^2)*D(X) =
= (1/d^2)*(d^2) = 1
D(Y) = 1

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 янв. 2009 12:27 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР88.
Стрелок стреляет по движущейся мишени до первого попадания в неё, причём успевает сделать не более четырёх выстрелов. Найти математическое ожидание и дисперсию числа сделанных выстрелов, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X - число сделанных выстрелов. Данная случайная величина принимает следующие значения
{X=1} - стрелок сразу попал в мишень
{X=2} - стрелок попал в мишень со второго раза
{X=3} - стрелок попал в мишень с третьего раза
{X=4} - стрелок попал в мишень с четвёртого раза ИЛИ не попал в мишень вообще

P(X=1) = 0.6
P(X=2) = (0.4)*(0.6) = 0.24
P(X=3) = (0.4)*(0.4)*(0.6) = 0.096
P(X=4) = (0.4)*(0.4)*(0.4)*(0.4 + 0.6) = 0.064

Ряд распределения случайной величины X Имеет вид
X   1      2        3          4
P   0.6   0.24   0.096   0.064

M(X) = 1*(0.6) + 2*(0.24) + 3*(0.096) + 4*(0.064) =
= 0.6 + 0.48 + 0.288 + 0.256 = 1.624

M(X^2) = 1*(0.6) + 4*(0.24) + 9*(0.096) + 16*(0.064) =
= 0.6 + 0.96 + 0.864 + 1.024 = 3.448
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 3.448 - 2.637376 = 0.810624

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 янв. 2009 12:37 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР89.
Пусть случайная величина X имеет следующий закон распределения
X    -1    0       2
P   1/4   1/4   1/2
Вычислить математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднеквадратическое отклонение б.
РЕШЕНИЕ.
M(X) = (-1)*(1/4) + 0*(1/4) + 2*(1/2) = 3/4

M(X^2) = 1*(1/4) + 0*(1/4) + 4*(1/2) = 9/4
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = (9/4) - (9/16) = 27/16

б(X) = sqrt(D(X)) = sqrt(27)/4 = 3sqrt(3)/4

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 янв. 2009 12:49 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР90.
Среди 10 деталей три - нужного размера. Детали извлекают поочередно, пока не подберут две детали нужного размера, при этом делают не более четырех проб. Найти распределение числа извлеченных деталей.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X - число извлеченных деталей. Данная случайная величина может принимать следующие значения
{X=2} - вытянули две детали нужного размера
{X=3} - одна из первых двух и третья детали нужного размера
{X=4} - одна из первых трёх деталей нужного размера, а четвертая деталь - нужного размера или нет ИЛИ первые три детали неподходящего размера, а четвертая деталь - нужного размера или нет

P(X=2) = (3/10)*(2/9) =6/90 = 1/15
P(X=3) = C(1;2)*(7/10)*(3/9)*(2/8) = 84/720 = 7/60
P(X=4) = C(1;3)*(7/10)*(6/9)*(3/8)*(2/7 + 5/7) +
+ (7/10)*(6/9)*(5/8)*(4/7 + 3/7) =
= 378/720 + 210/720 = 588/720 = 49/60

Ряд распределения случайной величины X имеет вид
X    2        3        4
P   1/15   7/60   49/60

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 янв. 2009 13:56 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР91.
ОТК должен проверить 100 комплектов, состоящих из четырех изделий каждый. Найти математическое ожидание числа комплектов, состоящих из стандартных деталей, если каждая деталь может быть стандартной с вероятностью 0,8.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X - число комплектов, состоящих из стандартных деталей.
p = (0.8)^4 = 0.4096 - вероятность того, что комплект состоит из стандартных деталей.
X=m, m=1,2,...,100
P(X=m) = ((a^m)/m!)*e^(-a), где
a = np = 100*(0.4096) = 40.96
Таким образом, получаем, что случайная величина X распределена по закону Пуассона.
M(X) = a = 40.96 (см.пример 79)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 янв. 2009 14:11 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР92.
Игральная кость подбрасывается до:
а) второго;
б) третьего
появления грани с номером "три". Найти среднее число подбрасываний.
-----------------------------------------------------------------------
РЕШЕНИЕ.
а) Случайная величина X - число подбрасываний до второго появления грани с номером "три"
X = A + B

Случайная величина A - число подбрасываний до первого выпадения грани с номером "три".
p = 1/6 - вероятность выпадения грани с номером "три"
A = m, m=1,2,3,...
P(A=m) = p*(1-p)^(m-1)
Таким образом, получили, что случайная величина A распределена по геометрическому закону.
M(A) = 1/p = 1/(1/6) = 6

Случайная величина B - число подбрасываний от первого до второго выпадения грани с номером "три".
p = 1/6 - вероятность выпадения грани с номером "три"
B = n, n=1,2,3,...
P(B=n) = p*(1-p)^(n-1)
Таким образом, получили, что случайная величина B распределена по геометрическому закону.
M(B) = 1/p = 1/(1/6) = 6

M(X) = M(A+B) = M(A)+M(B) = 6+6 = 12
-----------------------------------------------------------------------------

б) Случайная величина X - число подбрасываний до третьего появления грани с номером "три"
X = A + B + C

Случайная величина A - число подбрасываний до первого выпадения грани с номером "три".
p = 1/6 - вероятность выпадения грани с номером "три"
A = m, m=1,2,3,...
P(A=m) = p*(1-p)^(m-1)
Таким образом, получили, что случайная величина A распределена по геометрическому закону.
M(A) = 1/p = 1/(1/6) = 6

Случайная величина B - число подбрасываний от первого до второго выпадения грани с номером "три".
p = 1/6 - вероятность выпадения грани с номером "три"
B = n, n=1,2,3,...
P(B=n) = p*(1-p)^(n-1)
Таким образом, получили, что случайная величина B распределена по геометрическому закону.
M(B) = 1/p = 1/(1/6) = 6

Случайная величина C - число подбрасываний от второго до третьего выпадения грани с номером "три".
p = 1/6 - вероятность выпадения грани с номером "три"
C = k, k=1,2,3,...
P(C=k) = p*(1-p)^(k-1)
Таким образом, получили, что случайная величина C распределена по геометрическому закону.
M(C) = 1/p = 1/(1/6) = 6

M(X) = M(A+B+C) = M(A)+M(B)+M(C) = 6+6+6 = 18


(Сообщение отредактировал RKI 20 янв. 2009 14:45)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 янв. 2009 14:26 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР93.
Найти математическое ожидание и дисперсию суммы выпавших очков при бросании четырех игральных костей.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X - сумма выпавших очков при бросании четырех игральных костей.

X = A1 + A2 + A3 + A4

Случайная величина Ai - сумма выпавших очков при бросании
i-той игральной кости.
Ряд распределения случайной величины Ai имеет вид:
Ai   1      2      3      4       5      6
P   1/6   1/6   1/6   1/6   1/6   1/6

M(Ai) = (1/6)*(1+2+3+4+5+6) = 21/6 = 7/2
M((Ai)^2) = (1/6)*(1+4+9+16+25+36) = 91/6
D(Ai) = M((Ai)^2) - (M(Ai))^2 = (91/6) - (49/4) = 70/24 = 35/12

M(X) = M(A1+A2+A3+A4) = M(A1)+M(A2)+M(A3)+M(A4) =
= (7/2)+(7/2)+(7/2)+(7/2) = 14

D(X) = D(A1+A2+A3+A4) = D(A1)+D(A2)+D(A3)+D(A4) =
= (35/12)+(35/12)+(35/12)+(35/12) = 35/3

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 янв. 2009 14:41 | IP
RKI



Долгожитель



(Сообщение отредактировал RKI 21 янв. 2010 15:30)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 янв. 2009 15:09 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР95.
Бросают две правильные кости. Пусть X1, X2 - число очков на первой и второй кости соответственно, а Y - максимальное из двух выпавших чисел: Y=max{X1,X2}. Запишите совместное распределение X1 и Y.

РЕШЕНИЕ.
X1 - число очков на первой кости. Ряд распределения случайной величины X1 имеет вид
X1    1      2      3      4      5       6
P     1/6   1/6   1/6   1/6   1/6   1/6

X2 - число очков на второй кости. Ряд распределения случайной величины X2 имеет вид
X2    1      2      3      4      5       6
P     1/6   1/6   1/6   1/6   1/6   1/6
------------------------------------------------------------------------
Y = max{X1, X2}
Случайная величина Y принимает следующие значения

{Y=1} = {X1=1, X2=1}

{Y=2} = {X1=2, X2=1} + {X1=1, X2=2} + {X1=2, X2=2}

{Y=3} = {X1=3, X2=1} + {X1=3, X2=2} + {X1=1, X2=3} +
+ {X1=2, X2=3} + {X1=3, X2=3}

{Y=4} = {X1=4, X2=1} + {X1=4, X2=2} + {X1=4, X2=3} +
+ {X1=1, X2=4} + {X1=2, X2=4} + {X1=3, X2=4} +
+ {X1=4, X2=4}

{Y=5} = {X1=5, X2=1} + {X1=5, X2=2} + {X1=5, X2=3} +
+ {X1=5, X2=4} + {X1=1, X2=5} + {X1=2, X2=5} +
+ {X1=3, X2=5} + {X1=4, X2=5} + {X1=5, X2=5}  

{Y=6} = {X1=6, X2=1} + {X1=6, X2=2} + {X1=6, X2=3} +
+ {X1=6, X2=4} + {X1=6, X2=5} + {X1=1, X2=6} +
+ {X1=2, X2=6} + {X1=3, X2=6} + {X1=4, X2=6} +
+ {X1=5, X2=6} + {X1=6, X2=6}  

P(Y=1) = P(X1=1, X2=1) = P(X1=1)*P(X2=1) = (1/6)*(1/6) = 1/36

P(Y=2) = P(X1=2, X2=1) + P(X1=1, X2=2) + P(X1=2, X2=2) =
= P(X1=2)*P(X2=1) + P(X1=1)*P(X2=2) + P(X1=2)*P(X2=2) =
= (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) = 3/36

P(Y=3) = P(X1=3, X2=1) + P(X1=3, X2=2) + P(X1=1, X2=3) +
+ P(X1=2, X2=3) + P(X1=3, X2=3) =
= P(X1=3)*P(X2=1) + P(X1=3)*P(X2=2) + P(X1=1)*P(X2=3) +
+ P(X1=2)*P(X2=3) + P(X1=3)*P(X2=3) =
= (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) +
+ (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) = 5/36

P(Y=4) = P(X1=4, X2=1) + P(X1=4, X2=2) + P(X1=4, X2=3) +
+ P(X1=1, X2=4) + P(X1=2, X2=4) + P(X1=3, X2=4) +
+ P(X1=4, X2=4) =
= P(X1=4)*P(X2=1) + P(X1=4)*P(X2=2) + P(X1=4)*P(X2=3) +
+ P(X1=1)*P(X2=4) + P(X1=2)*P(X2=4) + P(X1=3)*P(X2=4) +
+ P(X1=4)*P(X2=4) =
= (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) +
+ (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) = 7/36

P(Y=5) = P(X1=5, X2=1) + P(X1=5, X2=2) + P(X1=5, X2=3) +
+ P(X1=5, X2=4) + P(X1=1, X2=5) + P(X1=2, X2=5) +
+ P(X1=3, X2=5) + P(X1=4, X2=5) + P(X1=5, X2=5) =
= P(X1=5)*P(X2=1) + P(X1=5)*P(X2=2) + P(X1=5)*P(X2=3) +
+ P(X1=5)*P(X2=4) + P(X1=1)*P(X2=5) + P(X1=2)*P(X2=5) +
+ P(X1=3)*P(X2=5) + P(X1=4)*P(X2=5) + P(X1=5)*P(X2=5) =
= (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) +
+ (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) +
+ (1/6)*(1/6) = 9/36

P(Y=6) = P(X1=6, X2=1) + P(X1=6, X2=2) + P(X1=6, X2=3) +
+ P(X1=6, X2=4) + P(X1=6, X2=5) + P(X1=1, X2=6) +
+ P(X1=2, X2=6) + P(X1=3, X2=6) + P(X1=4, X2=6) +
+ P(X1=5, X2=6) + P(X1=6, X2=6) =
= P(X1=6)*P(X2=1) + P(X1=6)*P(X2=2) + P(X1=6)*P(X2=3) +
+ P(X1=6)*P(X2=4) + P(X1=6)*P(X2=5) + P(X1=1)*P(X2=6) +
+ P(X1=2)*P(X2=6) + P(X1=3)*P(X2=6) + P(X1=4)*P(X2=6) +
+ P(X1=5)*P(X2=6) + P(X1=6)*P(X2=6) =
= (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) +
+ (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) +
+ (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) = 11/36

Случайная величина Y=max{X1,X2} имеет следующий ряд распределения
Y    1        2        3        4        5        6
P   1/36   3/36   5/36   7/36   9/36   1/36

продолжение примера 95

(Сообщение отредактировал RKI 20 янв. 2009 16:46)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 янв. 2009 16:45 | IP
RKI



Долгожитель

ПРОДОЛЖЕНИЕ ПРИМЕРА95.

P(X1=1, Y=1) = P(Y=1)*P(X1=1|Y=1) = (1/36)*1 = 1/36

P(X1=2, Y=1) = P(Y=1)*P(X1=2|Y=1) = (1/36)*0 = 0

P(X1=3, Y=1) = P(Y=1)*P(X1=3|Y=1) = (1/36)*0 = 0

P(X1=4, Y=1) = P(Y=1)*P(X1=4|Y=1) = (1/36)*0 = 0

P(X1=5, Y=1) = P(Y=1)*P(X1=5|Y=1) = (1/36)*0 = 0

P(X1=6, Y=1) = P(Y=1)*P(X1=6|Y=1) = (1/36)*0 = 0

P(X1=1, Y=2) = P(Y=2)*P(X1=1|Y=2) = (3/36)*(1/3) = 1/36

P(X1=2, Y=2) = P(Y=2)*P(X1=2|Y=2) = (3/36)*(2/3) = 2/36

P(X1=3, Y=2) = P(Y=2)*P(X1=3|Y=2) = (3/36)*0 = 0

P(X1=4, Y=2) = P(Y=2)*P(X1=4|Y=2) = (3/36)*0 = 0

P(X1=5, Y=2) = P(Y=2)*P(X1=5|Y=2) = (3/36)*0 = 0

P(X1=6, Y=2) = P(Y=2)*P(X1=6|Y=2) = (3/36)*0 = 0

P(X1=1, Y=3) = P(Y=3)*P(X1=1|Y=3) = (5/36)*(1/5) = 1/36

P(X1=2, Y=3) = P(Y=3)*P(X1=2|Y=3) = (5/36)*(1/5) = 1/36

P(X1=3, Y=3) = P(Y=3)*P(X1=3|Y=3) = (5/36)*(3/5) = 3/36

P(X1=4, Y=3) = P(Y=3)*P(X1=4|Y=3) = (5/36)*0 = 0

P(X1=5, Y=3) = P(Y=3)*P(X1=5|Y=3) = (5/36)*0 = 0

P(X1=6, Y=3) = P(Y=3)*P(X1=6|Y=3) = (5/36)*0 = 0

P(X1=1, Y=4) = P(Y=4)*P(X1=1|Y=4) = (7/36)*(1/7) = 1/36

P(X1=2, Y=4) = P(Y=4)*P(X1=2|Y=4) = (7/36)*(1/7) = 1/36

P(X1=3, Y=4) = P(Y=4)*P(X1=3|Y=4) = (7/36)*(1/7) = 1/36

P(X1=4, Y=4) = P(Y=4)*P(X1=4|Y=4) = (7/36)*(4/7) = 4/36

P(X1=5, Y=4) = P(Y=4)*P(X1=5|Y=4) = (7/36)*0 = 0

P(X1=6, Y=4) = P(Y=4)*P(X1=6|Y=4) = (7/36)*0 = 0

P(X1=1, Y=5) = P(Y=5)*P(X1=1|Y=5) = (9/36)*(1/9) = 1/36

P(X1=2, Y=5) = P(Y=5)*P(X1=2|Y=5) = (9/36)*(1/9) = 1/36

P(X1=3, Y=5) = P(Y=5)*P(X1=3|Y=5) = (9/36)*(1/9) = 1/36

P(X1=4, Y=5) = P(Y=5)*P(X1=4|Y=5) = (9/36)*(1/9) = 1/36

P(X1=5, Y=5) = P(Y=5)*P(X1=5|Y=5) = (9/36)*(5/9) = 5/36

P(X1=6, Y=5) = P(Y=5)*P(X1=6|Y=5) = (9/36)*0 = 0

P(X1=1, Y=6) = P(Y=6)*P(X1=1|Y=6) = (11/36)*(1/11) = 1/36

P(X1=2, Y=6) = P(Y=6)*P(X1=2|Y=6) = (11/36)*(1/11) = 1/36

P(X1=3, Y=6) = P(Y=6)*P(X1=3|Y=6) = (11/36)*(1/11) = 1/36

P(X1=4, Y=6) = P(Y=6)*P(X1=4|Y=6) = (11/36)*(1/11) = 1/36

P(X1=5, Y=6) = P(Y=6)*P(X1=5|Y=6) = (11/36)*(1/11) = 1/36

P(X1=6, Y=6) = P(Y=6)*P(X1=6|Y=6) = (11/36)*(6/11) = 6/36

Совместное распределение X1 и Y имеет вид

 Y   1         2       3         4        5        6
X

1     1/36   1/36   1/36   1/36   1/36   1/36

2     0        2/36   1/36   1/36   1/36   1/36

3     0       0         3/36   1/36   1/36   1/36

4     0       0         0        4/36   1/36   1/36

5     0       0         0        0        5/36   1/36

6     0       0         0        0        0        6/36


(Сообщение отредактировал RKI 20 янв. 2009 17:16)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 янв. 2009 17:15 | IP

Эта тема закрыта, новые ответы не принимаются

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 ]

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com